Systémy hromadné obsluhy Základní pojmy Zdroj požadavků: konečný, nekonečný Příchod požadavků do systému: pevný , náhodný, v dávkách Režim fronty: FIFO, LIFO, SIRO, PŘI Chování ve frontě: trpělivost, výběr fronty Počet a uspořádání kanálů obsluhy: homogenní, nehomogenní, paralelní, sériové, s 1 s více frontami Výstup z obsluhy: výstupní potok regulární,náhodný Kendallova klasifikace systémů hromadné obsluhy Elementární vstupní tok Poissonovo rozdělení počtu událostí za časový interval Exponenciální rozdělení intervalů mezi událostmi Markovské systémy v hromadné obsluze Rovnice ve stabilizovaném tvaru Základní charakteristiky systémů M/M/1 Nákladový problém – minimalizace celkových nákladů

Členění modelů HO Z hlediska výpočtu: Analytické simulační Z hlediska počtu linek rozlišujeme: Systémy s konečným počtem linek Systémy s nekonečným počtem linek Systémy s čekáním (tj. požadavek čeká na obsluhu a vytváří se fronta) Systémy se ztrátami (tj. požadavek systém ihned opouští bez obsluhy a fronty se nevytváří) Systémy smíšené

Základní charakteristiky modelů HO Zdroj požadavků Populace,struktura Příchod do systému Vstupní potok Režim fronty Chování ve frontě Trpělivost Počet a uspořádání kanálů obsluhy Doba obsluhy Výstup ze systému Výstupní potok Q…queue S…servis T…time L…length

Intenzita vstupu jednotek do systému Interval mezi vstupy po sobě následujících jednotek X1,X2,… Intenzita obsluhy Počet kanálů obsluhy m Intenzita provozu systému HO Střední doba čekání ve frontě TQ Střední doba obsluhy TS Střední hodnota celkové doby v systému, tj. doba čekání plus doba obsluhy T Pravděpodobnost, že v systému není žádná jednotka P0 Pravděpodobnost, že v systému je n jednotek pn Střední počet jednotek ve frontě LQ Střední počet jednotek v kanálech obsluhy LS Střední počet jednotek v systému L

Kendallova klasifikace:A/B/C/D/E/F Typ pravděpodobnostního rozdělení intervalů mezi vstupy požadavků do systému M – Poissonův proces vstupu, tj. exponenciální rozdělení intervalů mezi vstupy Ek – Erlangovo rozdělení intervalů mezi vstupy požadavků D – pravidelné vstupy požadavků G – obecný případ, jakékoliv rozdělení B Typ pravděpodobnostního rozdělení doby trvání obsluhy M – exponenciální rozdělení doby trvání obsluhy Ek – Erlangovo rozdělení doby trvání obsluhy D – konstantní doba obsluhy G – jakékoliv rozdělení trvání obsluhy C Počet paralelních obslužných linek m=1, 2, .. (celé kladné číslo) D Kapacita systému hromadné obsluhy, tj. místa v obsluze a ve frontě E Početnost zdroje požadavků F Režim fronty FIFO, LIFO, PRI, SIRO

MODEL M/M/1 S ČEKÁNÍM Vstupní tok požadavků je stacionární, beznásledný a ordinární Pravděpodobnost, že za časový interval délky t nastane právě k událostí, je: Pravděpodobnost žádného vstupu: Střední počet událostí za jednotku času je roven:

Markovský vstup Počet jednotek, které vstoupí do systému v intervalu t má Poissonovské rozdělení pravděpodobnosti s intenzitou λ Intervaly mezi vstupy po sobě následujících jednotek mají exponenciální rozdělení pravděpodobnosti Střední interval mezi vstupy: Pravděpodobnost, že nastane jeden a více vstupů:

Graf hustoty pravděpodobnosti exponenciální náhodné proměnné

Markovská obsluha Pravděpodobnost, že doba obsluhy TS bude větší než t0 ( v intervalu nebude ukončena) vypočteme jako: pravděpodobnost, že obsluha požadavků bude ukončena v průběhu intervalu za podmínky, že obsluha již probíhá po dobu t0:

Odvození charakteristik pro M/M/1 E0  E0 Žádná jednotka nevstupuje. V systému není žádná jednotka a po uplynutí doby dt tam není opět žádná jednotka tj. žádná jednotka nevstoupí, s pravděpodobností 1 – λdt E0   E1 Jedna jednotka vstupuje. Stavu E1 lze z nulového stavu dosáhnout jedině tak, že do systému vstoupí jedna jednotka, s pravděpodobností λdt E1   E0 Jedna jednotka je obsloužena a žádná nevstupuje. Žádná jednotka nevstoupí a zároveň jedna bude během doby dt obsloužena. Oba případy musí nastat zároveň, tedy s pravděpodobností (1 – λdt) µdt = μdt – λµdt2; En   En Jedna jednotka vstupuje a jedna je obsloužena neboli nenastane žádná změna. žádná jednotka nevstoupí a žádná nebude obsloužena nebo (b) jedna vstoupí a současně jedna bude obsloužena. (1 – λdt) (1 – μdt) + λ dt μdt = 1 –λ dt – μdt + λ μdt2 = 1 –λ dt – μdt

Výchozí počet jednotek Změna stavu 1 2 (1- λ) dt λ dt μ dt 1-(λ +μ)dt λ dt 3

Výpočet limitních pravděpodobností Markovského řetězce p0(t +dt) = p0(t) (1 – λdt) + p1(t) μ dt p1(t +dt) = p0(t) λ dt + p1(t) (1 – λdt – μdt) + p2(t) μ dt pn(t +dt) = pn-1 λ(t) dt + pn(t) (1 – λdt – μdt) + pn+1(t) μ dt

obě strany rovnice vydělíme "dt" a přejdeme k limitě pro dt  0 . Úprava rovnic První rovnici upravíme: p0(t +dt) = p0(t) – p0(t) λ dt+ p1(t) μ dt p0(t +dt) – p0(t) = –p0(t) λ dt+ p1(t) μ dt obě strany rovnice vydělíme "dt" a přejdeme k limitě pro dt  0 . . .

Rovnice pro stabilizovaný systém

Řešení soustavy rovnic ve stabilizovaném tvaru p1 = (λ / μ) p0 … pn = (λ / μ)n p0 p0(λ / μ)[1 + λ / μ + (λ / μ)2 + … + (λ / μ)n + … ] = 1 – p0 dosadit

[1 + λ / μ + (λ / μ)2 + … + (λ / μ)n + … ] Součet nekonečné geometrické řady,která konverguje, když Intenzita provozu Musí být menší než 1 (reálně do 0,8)

Intenzita provozu - příklad Lékař ošetřuje jednoho pacienta průměrně 20 minut. Za jednu hodinu přichází průměrně 5 pacientů. Bude tento systém fungovat?

Intenzita provozu - příklad Jak musí lékař zkrátit dobu ošetření,aby systém fungoval? Pracoval nejvýše 80 procent pracovní doby?

Výpočty základních charakteristik Pravděpodobnost, že jednotka nebude čekat ve frontě, tj., že systému není žádná jednotka Pravděpodobnost, že v systému je právě k jednotek Pravděpodobnost, že v systému je k nebo více jednotek Pravděpodobnost, že v systému je více než k jednotek Pravděpodobnost, že v systému je k nebo méně jednotek Střední počet jednotek v systému Střední počet jednotek ve frontě Střední doba strávená jednotkou v systému Střední doba strávená jednotkou ve frontě Střední doba obsluhy

Příklad Do obchodu vstupuje průměrně 20 zákazníků za hodinu. Obsluha jednoho zákazníka trvá přibližně 2 minuty. Jaká bude průměrná délka fronty? Jakou dobu průměrně zákazník v obchodě stráví?

Nákladový problém Náklady vzniklé pobytem jednotky v systému za jednotku času N1 Náklady na provoz jednoho kanálu obsluhy za jednotku času N2 Průměrný počet jednotek v systému L Počet kanálů obsluhy m Celkové náklady na provoz i pobyt jednotek v systému za jednotku času N .

Nákladový problém – lékař pracuje na 80 % Mzda lékaře je 500 Kč na hodinu. Náklady na pobyt pacienta ve zdravotnickém zařízení se odhadují na a) 50 Kč na hodinu b) 300 Kč na hodinu Vyplatí se, aby byly v provozu 2 ordinace zároveň? .