Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Komplexní čísla Při výpočtu algebraických rovnic s vyšším exponentem lze narazit na nemožnost řešení v oboru reálných čísel. Například rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel, neboť V reálných číslech √-1 neexistuje. Tento výraz lze ale definovat jako existující. Obvykle se značí i = √-1 a nazývá se imaginární jednotka. Jednotku i lze násobit libovolným reálným číslem. Vzniklé součiny se nazývají čistě imaginární čísla – např. 5i, -2i, 0.125i a podobně. Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Komplexní čísla Imaginární čísla lze přičítat k reálným. Vznikají tak čísla komplexní, např. 3 + i, 2 – 5i, -3 + 4i, -6 – 5i a podobně. Množina komplexních čísel se značí C, je uzavřená vůči základním operacím (a tedy je tělesem). Libovolná odmocnina z jakéhokoliv komplexního čísla je opět komplexním číslem. Rovnice má řešení Komplexní čísla lze zobrazit v tzv. Gaussově rovině, kdy k reálné číselné ose přibude ještě jedna, která je na ni kolmá. Na té se vynášejí imaginární čísla. Každé komplexní číslo se tak zobrazí jako bod. Je zřejmé, že takto zkonstruo- vanou číselnou množinu nelze seřadit podle velikosti!

Gaussova rovina Každému komplexnímu číslu z = a + i.b lze jednoznačně přiřadit dvojici reálných čísel Takováto dvojice reálných čísel pak může být interpretována jako souřad-nice v rovině. Každému komplexnímu číslu tedy jednoznačně odpovídá právě jeden bod v rovině :

Gaussova rovina Karl Friedrich Gauss 1777-1855 Tato dvourozměrná analogie číselné osy se nazývá Gaussova rovina. Reálná čísla se zobrazí na vodorovné číselné ose, komplexní čísla s nenulovou imaginární složkou pak nad nebo pod ní.

Reálná a imaginární část, abs. hodnota Číslu a říkáme reálná část, číslu b imaginární část. Značíme Každému číslu z lze přiřadit absolutní hodnotu výrazem Geometricky se jedná o vzdálenost čísla z od počátku v Gaussově rovině: Re z = 8 Im z = 6 |z| = 10

Operace s komplexními čísly Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Řekneme, že z1 = z2 právě tehdy, když a1 = a2 a b1 = b2. Definice 22. Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Definujme jejich součet jako z = z1 + z2 takto : a = a1 + a2 , b = b1 + b2 . Definice 23. Buďte z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 komplexní čísla. Definujme jejich součin jako z = z1 . z2 takto : a = a1.a2 - b1.b2 , b = a1.b2 + a2.b1 . Pozn.: tato definice je zřejmá, roznásobíme-li mechanicky Definice 24.

Operace s komplexními čísly Buď z = a + ib komplexní číslo. Řekneme, že číslo z = a - ib je komplexně sdružené k číslu z. Pozn. : čísla z a z leží symetricky podle osy x. Platí z = z a vždy Definice 25. V některé literatuře je komplexně sdružené číslo značeno Buďte z = a + ib komplexní číslo. Definujme jeho převrácenou hodnotu jako Definice 26. Tato definice se stane zřejmou, uvědomíme-li si, že zjistit hodnotu výrazu 1/z je možné, pokud zlomek rozšíříme právě komplexně sdruženým číslem:

Operace s komplexními čísly Příklad Určete

Operace s komplexními čísly Příklad Určete

Mocniny v oboru C n-tá mocnina z komplexního čísla z je definována obdobně jako v R : n-krát Stejně jako v R platí: Speciálně pro imaginární jednotku i platí :

Goniometrický tvar komplexních čísel Každému komplexnímu číslu z = a + i.b lze jednoznačně přiřadit dvojici reálných čísel Tato čísla odpovídají bodu v rovině. Bod lze ale popsat i jinak, než sou-řadnicemi na osách – je možné použít i vzdálenost os počátku a úhel: r = 1 x φ Jednotková kružnice cos x cos φ sin x sin φ |z| . cos φ [ a , b ] |z| |z| . sin φ φ

Goniometrický tvar komplexních čísel Definice 27. Buď z = a + ib komplexní číslo. Goniometrickým tvarem čísla z nazýváme zápis kde pokládáme Úhel φ se nazývá argument komplexního čísla. Pro převod mezi algebraickým a goniometrickým tvarem slouží vzorce

Goniometrický tvar komplexních čísel Z goniometrického tvaru komplexních čísel je zjevné, že všechna čísla se stejným |z| leží na kružnici. Speciálně všechna čísla, pro která |z| = 1 se nazývají komplexní jednotky. Tj. na rozdíl od reálných čísel, kde rovnice |x| = a má nejvýše dvě řešení, rovnice |z| = a v oboru komplexním má řešení nekonečně mnoho! |z|=5 |z|=4 |z|=1

Goniometrický tvar komplexních čísel Příklad Převeďte na goniometrický tvar čísla

Goniometrický tvar komplexních čísel Příklad Převeďte na goniometrický tvar čísla

Goniometrický tvar komplexních čísel Příklad Převeďte na goniometrický tvar čísla

Goniometrický tvar komplexních čísel Příklad Převeďte na goniometrický tvar čísla

Součin komplexních čísel v geom. tvaru Vezměme dvě libovolné komplexní jednotky (tj. čísla, pro která |z1| = |z2| = 1). Ta se dají vyjádřit jako vynásobme je mezi sebou : Lze dokázat indukcí – zkuste si doma. součtový vzorec Násobíme-li dvě komplexní jednotky, vyjde opět komplexní jednotka. Argument násobku je součtem argumentů obou činitelů. Zcela obecně pak platí

Podíl komplexních čísel v geom. tvaru Obdobným způsobem lze ukázat, že podíl dvou komplexních jednotek je respektive pro nejednotková komplexní čísla Při odvození těchto vzorců bychom použili rozšíření číslem komplexně sdruženým: Součin ve jmenovateli je zde roven jedné.

Moivreova věta Z předchozích vzorců vychází Moivreova věta o n-té mocnině komplexního čísla: Věta je triviálním důsledkem vzorce pro násobení komplexních čísel v goniomet-rickém tvaru : n-krát n-krát n-krát n-krát Tato věta může mimo jiné zjednodušit výpočty typu (1 – i )15 :

Odbočka : binomický rozklad Pro vzorec (x + y)n lze zapsat rozklad obecně jako Čísla an nazýváme binomické koeficienty a mají velký hlavní význam v kombi-natorice. Pro rozklad binomického členu stačí vědět, že je lze získat z tzv. Pas-calova trojúhelníku. Ten sestavíme následovně: 1 napíšeme jedničku 1 1 dvě jedničky 1 2 1 tři čísla 1 3 3 1 čtyři čísla 1 4 6 4 1 pět čísel

Odbočka : binomický rozklad 1 2 3 4 6 5 10 15 20 7 21 35 n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7

Aplikace Moivreovy věty Pomocí binomického rozvoje a Moivreovy věty lze snadno odvodit součtové vzorce pro sinus a cosinus n-násobného úhlu: Moivreova věta Binomický rozvoj Rovnost dvou komplexních čísel

Aplikace Moivreovy věty Rovnost platí, pokud se rovnají reálné a imaginární části : Obdobným způsobem odvoďte vzorce pro sin(3φ), cos(3φ) sin(4φ) a cos(4φ), . Příklad Rovnost dvou komplexních čísel

Komplexní n-tá odmocnina Pro každé komplexní a a přirozené n je podle definice komplexní n-tá odmoc- nina čísla a tj. hledat n-tou odmocninu čísla a znamená řešit rovnici zn = a. Předpokládejme, že a ≠ 0 (pokud ano, je řešení triviálně z = 0) a zapišme si celý problém pomocí goniometrického tvaru a Moivreovy věty: Tato rovnost je splněna právě tehdy, když

Komplexní n-tá odmocnina Tato rovnost je splněna právě tehdy, když Jednoduchou úpravou dostáváme Číslo k nemusí probíhat všechna celá čísla, neboť výraz 2kπ / n pro jiná k než z výše uvedené množiny pouze dodá do funkcí sinus a cosinus nějaký násobek 2π navíc – a výsledky rovnice zn = a se začnou opakovat.

Komplexní n-tá odmocnina Z0 Z1 Z2 Zn-2 Zn-1 n-tá komplexní odmoc-nina je nejednoznačná, existuje n variant roz-místěných pravidelně na kružnici. Reálná odmocnina má buď právě jednu variantu (n liché), nebo dvě (n su-dé).

Komplexní exponent Buď z komplexní jednotka. Exponenciálním tvarem čísla z nazýváme zápis Definice 28. Pozn. : tento tvar nabude na zřejmosti až probereme rozvoj funkcí v nekonečné řady. Exponenciální zápis komplexních čísel má výhodu, že s mocninou lze praco-vat standardním způsobem, jak je to známo z reálného oboru. Pozn. : Libovolné komplexní číslo lze zapsat v exponenciálním tvaru jako Pozn. : komplexních čísel se často využívá v elektrotechnických výpočtech, imagi-nární jednotka se v nich ale značí j – jinak by se pletla s elektrickým proudem (který se rovněž značí i).

Shrnutí Zavedení komplexních čísel, i = √-1 Gaussova rovina Reálná a imaginární část, absolutní hodnota Operace s komplexními čísly, číslo komplexně sdružené Mocniny v oboru C Goniometrický tvar komplexních čísel Součin a podíl C čísel v goniometrickém tvaru Moivreova věta a její použití n-tá odmocnina v C Exponenciální tvar komplexních čísel