MATEMATIKA I

Literatura. Klíč a kolektiv: Matematika I pro strukturované studium Heřmánek a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky pro strukturované studium Na opakování střední školy: Klíč, Hapalová: Úvod do studia matematiky na VŠCHT

Úvodní poznámky Jazyk matematiky používá definice a věty. Definice – zavádí nové pojmy Věta – říká, jaké vlastnosti zavedené pojmy mají a jak spolu souvisí. Měla by být vždy dokázána, to ale budeme zřídka dělat Formulace definic a vět jsou složené výroky. Vznikají z jednoduchých výroků pomocí logických operátorů. Logické operátory:

Číselné množiny Přirozená čísla … 1, 2, 3, 4, atd., označují se N Celá čísla … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, atd., označují se Z Racionální čísla … zlomky, když provedeme dělení, dostaneme desetinný rozvoj buď ukončený nebo periodický, označují se Q Obecný tvar Iracionální čísla … odmocnina ze dvou, pí, logaritmy …když je vyjádříme desetinným číslem, dostaneme neukončený a neperiodický rozvoj, označují se I Reálná čísla, označujeme je R, Komplexní čísla, označují se C, jsou tvaru z=a+ib, kde i je imaginární jednotka,

Omezené a neomezené množiny Číselná osa – obraz reálných čísel, každému bodu odpovídá jedno reálné číslo. nevlastní reálná čísla, pouze symboly … pro každé reálné číslo pak platí Intervaly: uzavřené, otevřené, polouzavřené: <a, b>, (a, b), <a, b), (a, b> Intervaly omezené … <a, b>, (a, b), <a, b), (a, b> a neomezené: omezený shora omezený zdola

D: Číselná množina je omezená, když je podmnožinou nějakého omezeného intervalu. Je omezená zdola, jestliže existuje takové číslo K, že pro všechny její prvky platí x>K. Je omezená shora, jestliže je poslední nerovnost opačná. Př.: je omezená je podmnožinou (0, 7) je omezená zdola K=0 K=3 je omezená shora

Funkce D: Je-li M podmnožina reálných čísel, pak reálná funkce jedné reálné proměnné je předpis f, který každému x z M přiřadí právě jedno reálné číslo y. Píšeme y=f(x). x … nezávislá proměnná y … závislá proměnná Předpis f je možno zadat různě, pro nás to bude hlavně nějaký analytický výraz – vzorec. Na jménu proměnných nezáleží, f(x) = x - 1 je stejná funkce jako f(t) = t - 1.

Definiční obor funkce je ta množina M, pro nás konkrétně množina těch x, pro něž má vzorec smysl, označuje se D(f). Konkrétně: ve jmenovateli zlomku nesmí být nula, druhá odmocnina a logaritmus jsou definovány jen pro kladná x atd. Obor hodnot je ta podmnožina reálných čísel na níž se definiční obor zobrazí, označuje se H(f). Je to tedy množina: Je vždy na ose y!! Graf funkce je podmnožina roviny … obvykle křivka, která vznikne z bodů (x, f(x)). Tedy:

y H(f) graf f f(x) x x D(f) Kolmý průmět grafu na osu x je vždy definiční obor D(f) Kolmý průmět grafu na osu y je vždy obor hodnot H(f) Cíl dalšího snažení – vyšetřit co nejvíce vlastností funkce a nakreslit její graf.

Elementární funkce Jsou to funkce, z nichž se všechny ostatní tvoří: konstantní funkce – f(x) = k, k je konstanta. Její graf je přímka, rovnoběžná s osou x. D(f)=R, H(f)={k} Př.: y f(x) = 2 f(x) = -1 k x

2) lineární funkce –f(x) = ax + b, a,b jsou konstanty, Její graf je přímka. Pro a=0 je to předchozí funkce. D(f)=R, H(f)=R y číslo b je úsek, který přímka vytíná na ose y, tj. hodnota funkce pro x=0. Číslo a je tzv. směrnice, což je tangenta směrového úhlu přímky . b a= tg x

ze dvou bodů kreslení přímky: pomocí směrnice Př.: y=3x-1 x=0 y=-1 x=1 y=2 y=3x-1 2 3 1 tg =3 -1 -1 1

mocninná funkce – Její vlastnosti závisí na exponentu n … ať je n jakékoliv, je definována pro x >0. Záporné a lomené exponenty Př.:

Vzorce pro práci s mocninami: Př.: Zjednodušme:

Je třeba znát tvary mocninné funkce pro některá speciální n: obecně n sudé obecně , n liché y y x x parabola

obecně , p liché obecně , p sudé y y x x

obecně , n je liché obecně , n je sudé y y x x rovnoosá hyperbola

Načrtněme grafy následujících funkcí:

logaritmická a exponenciální funkce Jejich vzájemný vztah, tj. definice logaritmu: logaritmická funkce y a>1 1 a a x 1 a<1

Pro a=10 … dekadický logaritmus … značí se log x Pro a=e=2,817… (Eulerovo číslo) … přirozený logaritmus, značí se ln x Základní vlastnosti logaritmů: Př.:

exponenciální funkce y a<1 a>1 1 x

Každou exponenciální funkci je možno převést na přirozený základ takto: zlogaritmujeme rovnici přirozeným logaritmem Proč? použijeme vlastnost logaritmů co se týče mocnin odlogaritmujeme přirozeným logaritmem Příklady:

goniometrické funkce ostrého úhlu a V pravoúhlém trojúhelníku je: b + Uvažujeme-li orientovaný úhel, měříme ho v obloukové míře. 1 Její jednotka je jeden radián, je to úhel, k němuž přísluší oblouk délky 1. - Vztah mezi stupni a radiány se vypočte trojčlenkou z úvahy:

Goniometrické funkce orientovaného úhlu. Jsou periodické. f(x)=sin x, D(f)=R, H(f)=<-1, 1>, perioda je f(x)=cos x, D(f)=R, H(f)=<-1, 1>, perioda je f(x)=tg x, f(x)=cotg x, Základní goniometrické vzorce, které se budou používat:

absolutní hodnota x když je x nezáporné Je definována takto: |x|= - x když je x záporné a proto je vždy nezáporná! y x

signum neboli znaménko f(x)= sgn x, D(f)=R, H(f)={-1, 0, 1} 1 pro x kladné Je definována takto: sgn x= 0 pro x=0 -1 pro x záporné y 1 x -1

Operace s funkcemi Z elementárních funkcí se tvoří složitější výrazy sčítáním a odčítáním, násobením, dělením a skládáním. Mějme dvě funkce f a g s definičními obory D(f) a D(g). Potom: Součet (nebo rozdíl) funkcí f a g je funkce h=f+(nebo -)g, definovaná rovnicí h(x)=f(x)+(nebo -)g(x) Součin funkcí f a g je funkce k=f.g, definovaná rovnicí k(x)=f(x).g(x) Podíl funkcí f a g je funkce l=f/g, definovaná vztahem l(x)=f(x)/g(x) pro všechna x, pro něž se funkce g(x) nerovná nule.

Skládání funkcí, ozn. f o g, v podstatě znamená, že do funkce f dosadíme za její proměnnou jinou funkci g. Přesněji: Složená funkce s=f o g je definována vztahem s(x)=g(f(x)) Skládat lze libovolně mnoho funkcí. Neplatí tedy jasně f o g = g o f. .

Je také třeba umět obrácený proces – poznat, ze kterých funkcí je ta daná složená. Aby byla druhá odmocnina definována, musí být její argument nezáporný, tedy funkce je složená takto: 2-x Aby byl logaritmus definován, musí být jeho argument kladný. Třetí odmocnina je kladná jen pro kladná x, čili D(f)=(0, ). funkce je složená takto:

funkce je složená takto: 1-2B sin x funkce je složená takto: sin B 3x 6x funkce je složená takto:

Základní vlastnosti funkcí a) Osová a středová symetrie podle počátku– funkce sudé a liché Aby mohla být funkce sudá nebo lichá, musí mít především definiční obor D(f) souměrný podle počátku. Potom: D: Funkce je sudá, je-li její graf souměrný podle osy y. Funkce je lichá, je-li její graf souměrný podle počátku. y y lichá sudá x x

V: Funkce je sudá, právě když pro všechna x z D(f) platí f( - x)=f(x). Funkce je lichá, právě když pro všechna x z D(f) platí f( - x)= - f(x). y y x -x x x -x x Poznáme je podle grafu nebo ověříme podmínky.

D(f)=R sudá D(f)=R lichá D(f)=(0, ) … není souměrný podle počátku, nemůže být sudá ani lichá D(f)=R lichá

Monotonní funkce – jsou to rostoucí, neklesající, nerostoucí a klesající funkce. Rostoucí a klesající jsou tzv. ryze monotonní. D: Funkce je na množině M rostoucí, jestliže pro všechny dvojice x<y z množiny M platí f(x)<f(y). Funkce je neklesající, jestliže poslední nerovnost je neostrá (jsou to jakési schody nahoru). rostoucí neklesající y y f(y) f(x) x x y x

Funkce je na množině M klesající, jestliže pro všechny dvojice x<y z množiny M platí f(x)>f(y). Funkce je nerostoucí, jestliže poslední nerovnost je neostrá (jsou to jakési schody dolů). klesající nerostoucí y y f(y) f(x) x x y x Monotonní funkce budeme poznávat z jejich grafu..

klesající rostoucí rostoucí rostoucí klesající

c) Omezené funkce D: Funkce je omezená, je-li její obor hodnot H(f) omezená množina. Funkce je zdola resp. shora omezená, jestliže její obor hodnot H(f) je zdola resp shora omezená množina. omezená zdola omezená omezená shora y y y H(f) H(f) H(f) x x x

Omezenost funkce znamená, že její hodnoty nejdou do nekonečna. Př.: sin x, cos x, sgn x Omezenost zdola znamená, že její hodnoty nejsou záporné, v absolutní hodnotě nekonečné. Př.: Omezenost shora naopak že její hodnoty nejsou nekonečně veliké kladné. Př.: Není-li funkce nějak omezená, je neomezená. Př.:

d) periodické funkce Chovají se podobně jako sinus – na jistém úseku, který má délku periody, mají určitý průběh, a pak se pořád opakují. D: Funkce je periodická, existuje-li číslo nenulové číslo p (perioda) tak, že platí: Podobně jako sinus, který má všechny periody tvaru i obecně je perioda každé číslo Nejmenší z takových čísel p, existuje-li, se nazývá primitivní perioda.

Př.: Nakresleme funkci, která je definována všude, je periodická a má periodu 2 a v intervalu <0,2) má tvar f(x) = 1 - x. y 1 x 2 4 -2 p ´-1

Výpočet periody je složitá věc. V některých případech je možné použít následující větu: V: Má-li funkce f periodu p a g je taková funkce, že jde s f složit, pak funkce h(x)=g(f(x)) má také periodu p. Je-li a číslo různé od nuly, má funkce k(x)=f(a.x) periodu . Př.: Funkce f(x) = log(sin x) má stejně jako sinus periodu dvě pí. Př.: Funkce f(x) = cos 2x má periodu pouze pí (a = 2).

Prosté a inverzní funkce Funkce je prostá, jestliže má v různých bodech různé hodnoty. Poznáme ji tak, že každá rovnoběžka s osou y protíná její graf jen v jednom bodě. y není prostá prostá y x x D: Funkce je prostá na množině M, jestliže pro každé dvojice čísel z množiny M platí:

Prostotu funkce budeme konstatovat buď z obrázku, nebo pomocí následující věty: V: Funkce složená z prostých funkcí je prostá. Př.: x-1 je složená ze dvou prostých, je prostá D(f)=R 1+B je složená ze tří prostých, je prostá

D(f)=R – (-2) Není to složená funkce, je to podíl dvou elementárních … nemůžeme použít větu … museli bychom použít definici nebo nakreslit obrázek….

Je-li funkce f(x) prostá, je přiřazeno různým x různé y=f(x) to znamená, že i každému y přísluší jen jedno x, které se na něj zobrazí, tedy ten obrácený postup je také funkce – tak zvaná inverzní, označuje se ,protože zobrazuje právě obráceně než funkce původní. y y H(f) y=f(x) D(f) x x

D: Je-li funkce f na svém D(f) prostá, existuje k ní funkce inverzní, která se označuje a je definovaná vztahem Jestliže funkce f (x) zobrazuje svůj D(f) na H(f), inverzní funkce , protože funguje obráceně, zobrazuje H(f) na D(f) tj. jak jsme viděli, Konkrétně ji najdeme tak, že z rovnice y=f(x) vypočítáme to x, když to jde…. je třeba umět základní inverzní vztahy předchozí vztahy mezi definičními obory nám umožní vybrat tu pravou, když jich vyjde víc…

Takto vypočtená inverzní funkce má nezávisle proměnnou na ose y a graf stejný jako původní funkce f, jen se na něj je třeba dívat ze strany, od osy y. Aby mohla operovat s ostatními funkcemi, musí mít nezávisle proměnnou také na ose x. Přejmenujeme proto její proměnné – místo x píšeme y a opačně. píšeme tedy Místo Tím jakoby přehodíme osy – osu x dáme místo osy y a obráceně, čili se celá rovina otočí kolem osy 1. a 3. kvadrantu. Tato funkce, která má stejný vzorec ale proměnná se ale jmenuje x, má definiční obor na ose x a obor hodnot na ose y… Její graf je s grafem původní funkce kvůli přejmenování proměnných souměrný podle osy 1. a 3. kvadrantu.

Jednoduchý ilustrační příklad: Př.: Mějme funkci . Vypočtěme k ní inverzní funkci. y Je prostá z obrázku, inverzní funkce existuje… Z rovnice vypočteme x: H(f) vyšly dvě funkce x D(f) Která z nich je ta naše? Protože je a je to tedy ta, která má hodnoty záporné, tj.

Graf funkce je stejný jako graf f(x). Přejmenujeme-li proměnné, graf funkce y je souměrný s grafem f(x) podle osy 1. a 3. kvadrantu. H(f) x D(f)

Známé inverzní vztahy pro některé elementární funkce: Př.: Mějme funkci . a) najděme její definiční obor b) zjistěme, jestli je prostá c) vypočtěme k ní inverzní funkci Ad a) Aby byla druhá odmocnina definována, musí být její argument nezáporný, tedy Ad b) Funkce je složená takto: 3+x Tvoří ji tři prosté funkce, je tedy prostá.

Ad c) Musíme z rovnice vypočítat x. Tedy: Umocníme na druhou Po záměně proměnných

Př.: Mějme funkci . . a) najděme její definiční obor b) zjistěme, jestli je prostá c) vypočtěme k ní inverzní funkci Ad a) Aby byl logaritmus definován, musí být jeho argument kladný, tedy Ad b) Funkce je složená takto: Tvoří ji tři prosté funkce, je tedy prostá.

Ad c) Musíme z rovnice vypočítat x. Tedy: odlogaritmujeme: Po záměně proměnných

9. Cyklometrické funkce Jsou inverzní ke goniometrickým, které jsou periodické, tedy nejsou prosté…. vždy je zvolen vhodný interval, kde ta každá z nich prostá je. a) arcsin x … arkussinus je inverzní k sinu v intervalu Je definována takto: Vlastnosti: protože sin x zobrazuje , je Funkce je lichá a rostoucí. Hodnota arcsin y je prakticky řešení rovnice sin x=y nejblíže počátku.

Hodnoty počítáme ze vztahu sin x tedy: arcsin x

b) arccos x …. arkuskosinus, je inverzní ke kosinu v intervalu Je definována takto: Vlastnosti: Protože cos x zobrazuje interval , je . Funkce není ani sudá, ani lichá a je klesající. Hodnota arccos y je zase řešení rovnice y=cos x, které je v intervalu Vztah mezi acsin x a arccos x je: Plyne z tohoto vztahu pro sinus a cosinus:

arctg x … arkustangens … je inverzní k tangentě v intervalu Je definován takto: Vlastnosti: protože tg x zobrazuje , je .

Je to funkce lichá a rostoucí. Hodnota arctg y je řešení rovnice y=tg x nejblíže počátku.

arccotg x .. arkuskotangens … je inverzní ke kotangentě v intervalu . Je definována takto: Vlastnosti: protože cotg x zobrazuje , je .

Není ani sudá ani lichá, je klesající a pořád kladná. Hodnota arccotg y je řešení rovnice y=cotg x v intervalu . Vztah mezi arctg x a arccotg x je opět

Příklady: najděme definiční obor, rozhodněme, zda je funkce prostá a vypočtěme inverzní funkci. Je složená ze tří prostých funkcí je tedy prostá… uděláme inverzi po záměně proměnných

Je složená ze tří prostých funkcí je tedy prostá… uděláme inverzi po záměně proměnných

Je složená ze tří prostých funkcí je tedy prostá… uděláme inverzi po záměně proměnných

Je složená ze tří prostých funkcí je tedy prostá… uděláme inverzi po záměně proměnných

Posloupnosti D.: Jestliže přiřadíme každému přirozenému číslu n reálné číslo , potom čísla tvoří posloupnost. ….n-tý člen posloupnosti, n … index členu Zápis symbolem Je to vlastně funkce, jejíž definiční obor jsou všechna přirozená čísla a obor hodnot je množina čísel . N-tý člen je vlastně funkční předpis této funkce,

Jako funkce má posloupnost některé funkční vlastnosti – může být rostoucí, klesající, omezená, periodická. Př.: je posloupnost klesající a omezená. je posloupnost rostoucí a zdola omezená. je posloupnost periodická s periodou 2 a omezená.

Aritmetická posloupnost: Geometrická posloupnost Př.: