Doc. Miloš Steinhart, 06 036, ext. 6029 Pokročilá fyzika C803 fIIp_13 Úvod do moderní fyziky V Exkurze do současné astrofyziky a kosmologie http://stein.upce.cz/msfIIp13.html Doc. Miloš Steinhart, 06 036, ext. 6029 8. 1. 2015

Hlavní body Hlavní myšlenky speciální teorie relativity základní postuláty odvození pomocí Bondiho k skládání rychlostí Lorentzova transformace relativistická dynamika Nástin obecné teorie relativity Současné problémy studia makrosvěta Jak starý je vesmír a čas? Je ve vesmíru život? 8. 1. 2015

Úvod do teorie relativity Teorie relativity se zabývá problémem vztažných soustav a jejich případné ekvivalence nebo výjimečnosti Speciální TR se zabývá soustavami inerciálními Obecná TR se zabývá soustavami neinerciálními 8. 1. 2015

Základní principy STR I Po strastiplném vývoji fyziky byl jako první postulát relativity přijat princip kovariance inerciálních soustav: pozorovatelé v každé soustavě vidí svět řízený stejnými fyzikálními zákony. žádná inerciální soustava není obecně výjimečná a žádným experimentem nelze zjistit, jestli je v klidu nebo se rovnoměrně pohybuje Konkrétní hodnoty fyzikálních veličin ale invariantní nejsou. Pro každé těleso je ale speciální soustava, vůči níž je v klidu, jeho klidová soustava. V ní je například nejlehčí a nejdelší. Ve vlastní klidové soustavě plyne čas (běží hodiny) nejrychleji. 8. 1. 2015

Základní principy STR II Dlouho se předpokládala platnost Galileova principu, který stanovil, že “zákony mechaniky mají ve všech soustavách stejný tvar” a ‘zřejmý fakt’, že čas běží v každé soustavě stejně rychle. Přesnější experimenty ovšem ukazují, že ”ve všech soustavách je rychlost světla konstantní”. A právě tato skutečnost, která ale odporuje principu stejného toku času (!!!), musela být přijata za druhý základní postulát STR. 8. 1. 2015

Základní principy STR III Nutné a často překvapivé důsledky jsou : v každé inerciální soustavě plyne vlastní čas. prostorové a časové souřadnice spolu neoddělitelně souvisí a tvoří společné časoprostorové souřadnice. na další fyzikální veličiny jako například délku, hmotnost, hybnost a energii je třeba hledět relativisticky. 8. 1. 2015

Základní principy STR IV Ukážeme, že souřadnice musíme chápat jako společné časoprostorové protože pozorovatelé ze všech inerciálních soustav vidí stejný časoprostorový interval. Úplnou závislost časoprostorových souřadnic v jedné soustavě na časoprostorových souřadnicích v soustavě druhé popisuje Lorentzova transformace. Odvodíme její speciální tvar pro soustavy, které se navzájem pohybují rovnoměrně ve směru společné osy x. Užijeme netradiční, ale velmi ilustrativní metody Minkowského grafikonů a Bondiho k. Tuto metodu skvěle zpracoval Přemysl Šedivý z GJKT v HK: fyzikalniolympiada.cz/texty/str2.pdf 8. 1. 2015

Časoprostorový interval I Mějme dvě soustavy, které se vůči sobě pohybují rovnoměrně přímočaře libovolným směrem. V jistém okamžiku, kdy se jejich počátky právě míjejí v jednom bodě, je z tohoto bodu vyslán světelný signál (kulová EMA vlna) a současně je v každé ze soustav vynulován čas. Z druhého postulátu plyne, že v obou soustavách musí signál vyhovovat rovnici koule a tedy platí: 8. 1. 2015

Časoprostorový interval II Tento vztah lze chápat ještě obecněji jako rovnost časoprostorového intervalu mezi dvěmi událostmi 1 a 2, viděnými z obou soustav. Označíme-li např. : nebo platí : Jedná se tedy o interval v čtyřrozměrném prostoru, kde : čas se násobí rychlostí světla c, aby všechny souřadnice měly shodně rozměr délky. neplatí Eukleidovská metrika, ale metrika Lorentzova a kvadrát časové souřadnice se totiž nepřičítá, ale odečítá. 8. 1. 2015

Časoprostorový interval III Zavedou-li se pro jednoduchost souřadnice tak, že vzájemný pohyb se odehrává pouze ve směru společné osy x, x’, může dojít k relativní změně jen ve směru této osy, takže platí a a tedy : Již zde je vidět, že časový interval mezi dvěmi událostmi je nejkratší v soustavě, kde se tyto události odehrávají na stejném místě. 8. 1. 2015

Bondiho k I Metoda Bondiho k je ilustrativní díky snadné měřitelnosti a ověřitelnosti relativistických efektů. Poprvé ji navrhl Herman Bondi (1919-2005). Předpokládejme konkrétně, že : pozorovatel A je trvale v počátku nečárkované soustavy a pozorovatel B je trvale v počátku soustavy čárkované. čárkovaná soustava se pohybuje vůči nečárkované jistou rychlostí u menší než c ve směru osy x a tedy nečárkovaná soustava se pohybuje vůči čárkované rychlostí -u ve směru osy x' neboli rychlostí u ve směru osy -x' v okamžiku, kdy se míjely počátky obou soustav, byly v obou (kvůli podstatnému zjednodušení popisu) vynulovány hodiny 8. 1. 2015

Bondiho k II Důležité dále je, že : Pozorovatelé A a B se vůči sobě pohybují podsvětelnou rychlostí, takže se spolu mohou průběžně domlouvat zařízením, které přenáší informaci rychlostí světla c, například pomocí radiových vln nebo světla (laseru) a tento signál vždy za jistou dobu dostihne druhou soustavu. Pozorovatel A například vyšle signál v čase t1, pozorovatel B jej zaregistruje a současně odrazí v čase t’2 a k pozorovateli A se signál vrátí v čase t3. Ten může signál opět odrazit, aby se k pozorovateli B vrátil v čase t’4 atd. Každý z pozorovatelů může při odrazu signálu navíc principiálně přidat informaci o času odrazu ve své soustavě, takže lze přímo porovnat časy v obou soustavách! 8. 1. 2015

Bondiho k III Stěžejní myšlenka spočívá v tom, že vzhledem k symetrii a ekvivalenci soustav, které se od sebe vzdalují stejnou konstantní vzájemnou rychlostí u, a faktu, že časy v obou soustavách byly v okamžiku míjení pozorovatelů vynulovány, lze předpokládat i dokázat přímou úměru času vyslání signálu v jedné soustavě a přijetí tohoto signálu v soustavě druhé : t’2 = k.t1 ale také t3 = k.t’2 , kde k je totožné a tedy po vyloučení t’2 platí též t3 = k2.t1 Bondiho k je koeficient této úměrnosti a zřejmě očekáváme k > 1. Zatímco čas t’2 změří pozorovatel B přímo, protože děj se odehrává v počátku jeho čárkované soustavy, může pozorovatel A určit odpovídající čas t2 jen nepřímo jako průměr dob vyslání a přijetí svého signálu. Přirozeně předpokládáme, že do bodu odrazu x2 signál letí stejně dlouho jako zpět : 8. 1. 2015

Bondiho k IV Do bodu odrazu x2 doputuje počátek čárkované soustavy ve stejný okamžik jako signál : Díky tomu může pozorovatel A snadno zjistit z časů vyslání signálu a příjmu jeho odrazu vzdálenost x2 i vzájemnou rychlost soustav : Relativistické rychlosti je zvykem vyjadřovat jako β, což je rychlost vztaženou k rychlosti světla c, zde tedy : 8. 1. 2015

Bondiho k V Po jednoduché úpravě tedy naopak pro k platí : Kdyby pozorovatel A v čase t3 signál nejen přijal, ale také jej opět odrazil a pozorovatel B jej přijal v čase t’4, můžeme udělat obdobné závěry z hlediska pozorovatele B. Je tedy zřejmý význam koeficientu k i důvod, proč musí být v obou soustavách stejný. 8. 1. 2015

Dilatace času I Porovnáme-li čas události (odrazu) v soustavě, vůči jejímuž počátku je vzdálená ku správnému času v soustavě, v jejímž počátku s odehrává, dostáváme např. : Není-li vzájemná rychlost soustav u zanedbatelná vůči rychlosti světla, přijme pozorovatel B signál dříve než se to jeví pozorovateli A. O tom se může A snadno přesvědčit, připojí-li B k signálu při odrazu informaci o svém čase t’2. Uvědomme si, že Lorentzovo  je poměr mezi časy jedné události, viděno z jednotlivých soustav, zatímco Bondiho k je poměr mezi časy dvou různých událostí, které jsou ale spolu vázány signálem, šířícím se rychlostí světla! 8. 1. 2015

Skládání rychlostí I Z hlediska Galileovské relativity je překvapivý vztah pro skutečné relativistické skládání rychlostí. Nechť : Pozorovatel C se pohybuje rychlostí u vůči pozorovateli B a ten se pohybuje rychlostí v vůči stojícímu pozorovateli A. Všichni tři pozorovatelé se setkali v jednom okamžiku v jednom bodě a vynulovali si hodiny. 8. 1. 2015

Skládání rychlostí II Vzájemná rychlost pozorovatele A a C, čili rychlost w vzniklá složením rychlostí u a v : Zřejmě, je-li jedna z rychlostí u nebo v rovna c, je i w = c. To samozřejmě souhlasí s druhým postulátem relativity! Bude-li např. 1 = 2 = 3/4, vyšlo by klasickým skládáním w, = 6/4 > c ! Ale relativisticky vychází w = 24c/25 < c, což je OK. Pro důkaz můžeme použít zjednodušený výraz, v němž vystupují rychlosti vyjádřené pomocí . 8. 1. 2015

Lorentzova transformace I Pohybuje-li se čárkovaná soustava vůči nečárkované rychlostí u ve směru osy x potom : kde používáme Lorentzův faktor : 8. 1. 2015

Lorentzova transformace II Vyřešením předchozích rovnic nebo prostou úvahou, že z hlediska čárkované soustavy je vzájemná rychlost soustav –u (je zvykem, aby obě osy měly stejnou orientaci), je zpětná transformace : 8. 1. 2015

Lorentzova transformace III Při obvyklém použití, jímž je porovnání časoprostorových souřadnic dvou událostí (např. x’ = x’2 - x’1 atd.) platí Lorentzovy transformace ve formě intervalové: 8. 1. 2015

Lorentzova transformace VI Pro rychlosti u menší než cca 10% c je   1 a platí téměř přesně Galileovská relativita, tedy x’  x – ut a t’ = t . S přibližováním u k c roste  do nekonečna a tím se zvětšují i relativistické efekty. Zde rozebereme čtyři důležité relativistické jevy: relativitu současnosti jevů, dilataci času, Dopplerův jev a kontrakci délky. 8. 1. 2015

Relativistická kinematika - souhrn Bondiho k : Skládání rychlostí : Lorentzova transformace : 8. 1. 2015

Současnost jevů Uvažujme vztah : Došlo-li v čárkované (pohyblivé) soustavě ke dvěma současným dějům na dvou různých místech, nemohou být tyto události v nečárkované soustavě současné : Znaménkem x’ je určeno i znaménko t! 8. 1. 2015

Dopplerův jev I Bondiho k má přímou souvislost s Dopplerovým jevem: Vysílá-li pozorovatel A pravidelné signály s periodou T0, bude je pozorovatel B zjevně přijímat s periodou : Vzhledem k reciproké závislost frekvence a periody, platí pro frekvenci signálu, přijímaného pozorovatelem B : 8. 1. 2015

Dopplerův jev II Ke stejnému výsledku samozřejmě dojdeme i v případě, že signály vysílá pozorovatel B a přijímá pozorovatel A. Pokud se pozorovatelé vzdalují, je : u > 0 a T > T0 nebo f < f0. Pokud se pozorovatelé přibližují, je : u < 0 a T < T0 nebo f > f0. Dopplerův jev je důležitou pomůckou k určení rychlosti vzdálených přirozených nebo umělých objektů vůči Zemi. U přirozených objektů se využívá posunu známých spektrálních čar. Je to vidět například na rudém posuvu při srovnání spektra Slunce a superklastru vzdálených galaxií. 8. 1. 2015

Rozdílný tok času I O rozdílném toku času navzájem se rovnoměrně pohybujících pozorovatelů se lze přesvědčit ještě jinou jednoduchou úvahou: Pozorovatel B má hodiny, které pracují se světelným paprskem, odrážejícím se střídavě od dvou zrcadel kolmo na směr vzájemného pohybu soustav, např. ve směru osy y’, vzdálenými od sebe Y’=Y. Za vhodnou jednotku času bude B brát například dobu mezi dvěma následujícími odrazy od stejného zrcadla, protože ty se v jeho soustavě odehrávají v místě o přesně stejných souřadnicích. Stejný paprsek pozoruje i pozorovatel A. Pro něj se ale bod odrazu pohybuje. 8. 1. 2015

Rozdílný tok času II Pozorovatel B naměří čas t’ = 2Y/c a Pozorovatel A naměří čas t = 2L/c. Protože je zjevně L > Y a rychlost světla c je v obou soustavách stejná, musí být t > t’. Pomocí Pythagorovy věty dostaneme přesně stejný výsledek jako výše: 8. 1. 2015

Rozdílný tok času III Popsané hodiny byly poněkud zvláštní, ale stejného výsledku musíme dosáhnou i pomocí libovolných jiných hodin. V důsledku principu kovariance totiž musí v určité inerciální soustavě běžet všechny (správné) hodiny stejně rychle. Jinak by se měřením dala tato soustava odlišit od jiných a tím by byla speciální. Všimněme si, že takzvaný správný čas, tedy ten měřený v soustavě, kde se události odehrávají na stejném místě, je čas nejkratší možný. 8. 1. 2015

Dilatace času II Úplný i když poněkud komplikovanější obraz vyplývá z Lorentzovy transformace : Došlo-li v čárkované (pohyblivé) soustavě ke dvěma nesoučasným dějům na stejném místě, je časový interval mezi nimi v nečárkované soustavě (a každé jiné, kde nedošlo k událostem na stejném místě) delší: 8. 1. 2015

Dilatace času III Čárkovaná soustava není zvláštní tím, že je pohyblivá. Pohyb je relativní a vůči ní se zase pohybuje soustava nečárkovaná. Je ale je zvláštní tím, že se v ní události odehrály na stejném místě! Je pro ně klidová Kdyby se naopak odehrály na jednom místě v soustavě nečárkované, použijeme pro určení časového intervalu v čárkované soustavě rovnici : a vidíme, že interval je nyní delší v ní : 8. 1. 2015

Kontrakce délky I I kontrakci délky můžeme ilustrativně odvodit pomocí Minkowského grafikonů. Ekvivalentní odvození můžeme udělat použitím Lorentzovy transformaci. Použijeme vztah : Budiž je jistá délka, pevná v (pohybující se) čárkované soustavě. V nečárkované (a každé jiné) soustavě má smysl jen délka určená v jednom okamžiku a tedy : 8. 1. 2015

Kontrakce délky II Je nutné si ale opět uvědomit, že čárkovaná soustava je zde speciální tím, že tyč se v ní nepohybuje. Jinak jsou popsané efekty samozřejmě vzájemné a z čárkované soustavy se jeví zase předměty pevné v nečárkované (stojící) soustavě jako zkrácené. Pro takový předmět použijeme a ze stejných důvodů, jako při předchozím odvození opět můžeme psát : 8. 1. 2015

Kontrakce délky III Této skutečnosti se například běžně využívá při konstrukci synchrotronů : V nich ‘vidíme’ letící částice, jimiž jsou elektrony nebo pozitrony, zkráceny. A naopak ony ‘vidí’ zase zkráceny různé komponenty synchrotronu, například wigglery. Ty potom mohou mít makroskopické a nikoli mikroskopické rozměry, čili jsou mnohem snadněji vyrobitelné. Relativita neumožňuje porušit kauzalitu : Jeden děj může být způsoben nebo ovlivněn druhým jen tehdy, stačí-li mezi nimi proběhnout signál, šířící se rychlostí světla c! V žádné soustavě nemůže nastat příčina před následkem! 8. 1. 2015

Relativistiská dynamika I Relativistická dynamika ukazuje, že hmotnost tělesa, která je ve své soustavě, vůči níž je v klidu, rovna klidové hmotnosti m0, se jeví v soustavě, vůči níž se pohybuje, větší : Pomocí této tzv. relativistické hmotnosti lze potom definovat hybnost a celkovou energii : 8. 1. 2015

Relativistiská dynamika II Novinkou, vyplývající ze STR je, že i v soustavě, vůči níž je těleso v klidu, nemá celkovou energii nulovou, ale musí mít klidovou energii : Rozdíl celkové a klidové energie je roven energii kinetické : Souvislost obou energií a hybnosti je vyjádřena : 8. 1. 2015

Relativistiská dynamika III Klidová energie elektronu je : Elektron urychlený z nulové rychlosti napětím U získá kinetickou energii Ue [eV]. Potom lze například určit jeho rychlost nebo hybnost a tím přes de Broglieho formuli též vlnovou délku. Například pro urychlovací napětí U = 10 MV je  = 0.99882, p = 5.61.10-21kgm/s a λ = 0.118 pm 8. 1. 2015

Relativistiská dynamika IV Skutečnost, že rychlost, kterou může letět raketa, je omezená na c nám principiálně nebrání dosáhnout libovolné vzdálenosti za libovolně krátkou dobu. Problém ale je, získat na to dostatek energie. Pokud chceme urychlit makroskopické těleso na rychlost blízkou c, musíme jí dodat energii Ekin = (-1)E0. To je například pro předchozí  cca 21*E0. Pokud by raketa na vzdáleném místě měla zabrzdit a potom se vrátit, museli bychom umět tuto energii nějak uložit nebo ji získat ještě znovu na zpáteční cestu. 8. 1. 2015

Relativistická dynamika - souhrn Pohybující se hmotnost : Hybnost : Zákon síly : Energie celková, klidová a kinetická Souvislost energie a hybnosti : 8. 1. 2015

Obecná teorie relativity Při urychlování tedy rostou kinetická a celková energie a hybnost. Roste i rychlost, ale jen nepatrně a pouze se přibližuje rychlosti světla. Obecná TR vychází z postulátu, že fyzikální zákony musí být vyjádřeny v takové formě, která je invariantní v jakkoli se pohybující soustavě. Pozorovatel nemůže rozlišit, zda je v gravitačním poli nebo zrychlené soustavě. Gravitační pole zakřivuje časoprostor. Světlo, šířící se přímočaře, se ve skutečnosti šíří po křivce. Experimentální důkazy nepravidelnosti v oběhu Merkura, posun hvězd při zatmění, gravitační čočka … 8. 1. 2015

Jak je starý čas? I Otázkami jestli vesmír vznikl a jestli zanikne a kdy k tomu došlo nebo dojde, se lidé zabývali odnepaměti. Nejvíce ale filosofové a teologové, kteří vytvářeli jisté myšlenkové konstrukce na základech, které se nedají podpořit, ani vyvrátit. Současně se na tyto otázky snažili odpovědět i vědci, ale na základě pozorování. Věda pracuje cestou hypotéza -> model -> teorie, např. Koperník -> Kepler -> Newton 8. 1. 2015

Jak je starý čas? II Po staletí lidé prováděli astronomická i jiná fyzikální pozorování a učinili řadu významných objevů. Ale až ve 20. Století a zvláště na jeho konci se nahromadil dostatek důkazů pro vybudování věrohodných představ (hypotéz) o vývoji hvězd a historii a snad i budoucnosti vesmíru. Jedinou “nectností” těchto představ je, že lidé extrapolují informace, získané v určitém omezeném prostoru a čase. 8. 1. 2015

Jak je starý čas? III Existují ale závažné “polehčující” okolnosti. Rozborem spekter vzdálených objektů můžeme učinit závěry o fungování fyzikálních a chemických zákonů v obrovské vzdálenosti. Víme například, že tam existují stejné prvky, jako na Zemi a v jejím okolí. Pohled do vzdáleného vesmíru je díky konečné rychlosti světla také pohledem hluboko do minulosti. 8. 1. 2015

Jak je starý čas? IV Významné objevy : rudý posuv ve spektrech vzdálených galaxií, který svědčí o tom, že se od sebe vzdalují tím rychleji, čím jsou tyto galaxie dále. Hubbleův zákon : u = Hd, H~ 20 kms-1/Mly … Hubbleova konstanta reliktní záření odpovídající teplotě 2.7 K rozpínajícího se vesmíru v teplotní rovnováze. evoluce vesmíru – vzdálené galaxie vypadají jinak existence primordiálního (které nemohlo vzniklo ve hvězdách) helia 8. 1. 2015

Jak je starý čas? V Vývoj vesmíru od určitého okamžiku popisuje standardní model: Vesmír začal ze singularity velkým třeskem, procesem obráceným ke vzniku černých děr. V něm počaly platit současné fyzikální zákony a principiálně nelze zjistit, co předcházelo. V prvních zlomcích sekundy se od sebe oddělily čtyři (zatím) známé základní síly: silná, slabá, elektrická a gravitační. Model nepopisuje úplný začátek a neumí samozřejmě najít své okrajové podmínky. Existuje např. názor, že náš vesmír s ‘velkým třeskem’ je součástí supervesmíru, který má úplně jiné vlastnosti a neví se, zda to lze byť principiálně ověřit. 8. 1. 2015

Jak je starý čas? VI Zatím se proto neví, další vývoj, zda bude vesmír nadále expandovat nebo se zastaví nebo se bude smršťovat. Každopádně, neměl by zaniknout minimálně dalších 20 miliard let a čas bohužel půjde stále dopředu. Ke studiu je třeba přibrat kvantovou teorii, a tedy i její princip neurčitosti. Kandidátem na lepší model je inflační kosmologický model, který vysvětluje úplný začátek a musí odpovědět na nejvážnější současné problémy: 8. 1. 2015

Jak je starý čas? VII vysokou homogenitu a izotropnost vesmíru zároveň jisté existující nehomogenity plochost vesmíru poměr mezi jednotlivými složkami hmoty vznik přebytku hmoty nad antihmotou absence pozorovatelných topologických singularit problém počáteční singularity 8. 1. 2015

Jak je starý čas? IV Důležité závěry zatím jsou : vesmír existuje přibližně 13.7 miliard let a rozpíná se a toto rozpínání se zrychluje : složení je 70% temná energie, 25% temná chladná nebaryonová hmota a 5% baryonová hmota a malá příměs horké temné látky Kdyby vesmír existoval vždy, musel by být podle 2. věty TD naprosto neuspořádaný a v každém bodě oblohy by byla hvězda a každá ploška oblohy by zářila jako Slunce. Jediným důvodem, proč tomu tak není, je že hvězdy svítí od určitého okamžiku. Ve statickém vesmíru by k jejich zapnutí nebyl žádný důvod. 8. 1. 2015

Život ve vesmíru I Vzhledem k nesmírné velikosti vesmíru je pravděpodobné, že existují planety s podmínkami vhodnými pro život, jak ho známe. Jsou ale každopádně velmi daleko od sebe. Tzv. Drakeova rovnice odhaduje existenci 2 – 10 civilizací v naší galaxii, které existují v současné době a jsou schopny komunikovat. Předpokládá se, že náš život by se měl v budoucnu rozšířit do vesmíru – antropický princip. 8. 1. 2015

Život ve vesmíru II Zamezí se tím zániku naší civilizace po předpokládané expanzi Slunce nebo silně pravděpodobné srážce s asteroidem. Plány podobných civilizací ale budou jistě podobné, takže pravděpodobně nastane známý problém boje o teritorium. HOWG!!! 8. 1. 2015

Časoprostorový interval I Vesmírná loď se pohybuje rychlostí u = 0.95c=c. Za jak dlouho dorazí k Proximě Centauri, vzdálené 4.3 světelných let (ly) viděno ze Země a z lodi? Viděno ze Země : Z hlediska lodi se obě události, (vypuštění a přílet k PC) odehrávají na stejném místě x’ = 0 a doba letu je kratší: ^

Časoprostorový interval II Kdyby vesmírná loď letěla ještě ‘o malinko’ rychleji, například u = 0.999c, bude délka cesty, viděno ze Země, jen nepatrně kratší, než by tam doletěl světelný paprsek : Z hlediska lodi to ovšem bude podstatný rozdíl. Astronauti naměří dobu letu jen okolo dvou měsíců : Problém ovšem bude v energii, potřebné k dosažení takové rychlosti! ^

Bondiho k I Pozorovatel B určuje čas t,3 odrazu signálu zpátky do jeho soustavy jen nepřímo a může psát: Sice jsme připustili, že pro pozorovatele B bude platit k', ale k v obou soustavách se rovnají. Platí díky stejné vzájemné rychlosti u obou soustav!

Bondiho k II Pro další úvahy ještě odvodíme vztahy: ^

Bondiho k III Poměr času např. prvního odrazu viděno v nečárkované soustavě ku správnému času v soustavě čárkované, kde se odraz odehrává : ^

Bondiho k IV Poměr času jiné události (druhého odrazu) viděno v čárkované soustavě bude stejný : Pozorovatel v nečárkované soustavě tedy změří, že pozorovateli v čárkované soustavě běží čas pomaleji. Podobně pozorovatel v čárkované soustavě změří, že čas běží pomaleji pozorovateli v soustavě nečárkované. ^

Bondiho k V A vyšle signál v čase t1, B jej obdrží v čase t2’ a C v čase t3’’. S použitím předchozího : t3’’= kwt1 = kvt2’ = kvkut1 a tedy kw = kvku : ^

Bondiho k VI A vyšle signál v čase t1. Ten projde kolem B v čase t2’. Dále se odrazí v bodě [t, x], v čase t3’ projde opět kolem B a konečně v čase t4 se vrátí k A. Porovnáme, jak vidí odraz pozorovatel A a B :

Bondiho k VII Vyjádříme časy :

Bondiho k VIII A konečně : ^

Bondiho k IX Podobně odvodíme vztah pro kontrakci délky : Pozorovatel A vyšle signál v čase t1. Ten projde v čase t2’= k t1 kolem B, který je v počátku pohybující se soustavy a také na začátku tyče, která je v čárkované soustavě pevná. Dále se signál odrazí v bodě [t, x] na konci tyče. V čase t3’ projde opět kolem B. Konečně se v čase t4 = kt3’ vrátí k A. Porovnáme, jak vidí tyč pozorovatel A a B :

Bondiho k X Pozorovatel A vidí čas a souřadnici odrazu jako: V okamžiku odrazu je začátek tyče v bodě : Pozorovatel A tedy vidí délku tyče :

Bondiho k XI ^ Pozorovatel B vidí čas odrazu jako : Souřadnici odrazu a tedy i klidovou délku tyče vidí B jako : Poměr pozorovaných délek tedy je : ^

Rychlost vzdáleného objektu Jakou rychlostí se vzdaluje kosmická loď, vysílá-li signály s frekvencí 1 MHz a ty přicházejí na Zemi s frekvencí 950 kHz? Platí : A tedy : ^

Relativistická dynamika I Závislost hmotnosti na rychlosti můžeme určit studiem dokonale nepružného rázu dvou stejných těles ve dvou různých (vhodných) soustavách. V důsledku principu kovariance musí v každé zvolené inerciální soustavě platit zákony rázu : I. Celková hmotnost (izolovaného systému hmotných těles) je konstantní (tedy stejná před rázem i po rázu). II. Celková hybnost je konstantní.

Relativistická dynamika II Dále budeme předpokládat, že hmotnost částice závisí na rychlosti a hledat matematické vyjádření této závislosti. V průběhu odvození také ukážeme oprávněnost našeho předpokladu.

Relativistická dynamika III V čárkované soustavě spojené s těžištěm systému: Před rázem má: první částice rychlost v a hmotnost m’1= m’v (např. ve směru osy x) druhá má rychlost –v a hmotnost m’2 = m’-v Po rázu bude nově vytvořená částice v klidu v počátku této souřadné soustavy. Vzhledem k symetrii lze tvrdit: m’1 = m’2 neboli m’v = m’-v

Relativistická dynamika IV V soustavě spojené s částicí napravo: Před rázem má: první částice rychlost u a hmotnost mu druhá částice je v klidu a má hmotnost m0. Ze vztahu pro relativistické skládání rychlostí je : Po rázu se celková hmotnost M = mu + m0 pohybuje rychlostí v, protože to je původní rychlost těžiště.

Relativistická dynamika V V této soustavě ale nemohou hmotnosti mu a m0 být stejné. Kdyby tomu tak bylo, byla by hybnost před rázem: a v rozporu s druhým předpokladem by se nerovnala hybnosti po rázu :

Relativistická dynamika VI Poměr hmotností mu a m0 určíme ze zákona zachování hybnosti :

Relativistická dynamika VI Snadno lze odvodit poslední rovnost obráceně z :

Relativistická dynamika VII Tedy : Protože se v uvažované soustavě se pohybuje jen částice mu, kdežto částice m0 je v klidu, získali jsme i obecné vyjádření hmotnosti částice v soustavě, vůči níž se pohybuje rychlostí u nebo -u. ^

Relativistická dynamika VIII Působíme-li na částici konstantní silou po jisté dráze zvýšíme její kinetickou energii: Poslední rovnost získáme z derivace kvadrátu vztahu pro hmotnost. Nejprve úpravou dostáváme:

Relativistická dynamika IX Derivujeme tuto rovnici (použijeme skutečnost, že m0 a c jsou konstanty): Porovnáním se vztahem pro energii zjišťujeme, že pravá strana se rovná změně kinetické energie a z toho konečně dostáváme:

Relativistická dynamika X Dodáváme-li práci, měníme kinetickou energii Kinetickou energii, kterou částice získala působením konstantní síly od klidové hmotnosti do určité hmotnosti m(u) dostáváme integrací:

Relativistická dynamika XI Konečně po úpravě obdržíme slavnou Einsteinovu rovnici pro celkovou energii : ^

Relativistická dynamika XII Ponecháme-li první dva členy rozvoje  obdržíme známý přibližný vztah pro kinetickou energii. Pro malé rychlosti u < 0.1c je rozdíl od správné hodnoty menší než 1% a vzorec běžně považujeme za správný. ^

Relativistická dynamika XIII Upravíme Einsteinovu rovnici pro celkovou energii : ^

Relativistická dynamika XIV Pokud náboj urychlujeme z klidu napětím U, získá energii qU a tedy celkovou energii Využijeme předchozího vztahu Vyjádříme-li hybnost vidíme, že nerelativistické přiblížení platí, lze-li druhý člen pod odmocninou zanedbat. ^

Relativistická dynamika XV Pokud nemůžeme provádět řešení v prostředí, které umožňuje výpočet s libovolnou přesností, jako např. Matlab, užijeme trik vycházející ze skutečnosti, že  + 1  2 a vyjádříme rozdíl  od jedničky:

Relativistická dynamika XVI Nejenergetičtější proton (m0c2=938 MeV), zjištěný v kosmickém záření, měl úctyhodnou kinetickou energii 3.1020eV. Jak rychle se pohyboval a za jak dlouho přeletěl Mléčnou dráhu ve své klidové soustavě? Užijeme předchozí trik :

Relativistická dynamika XVII Průměr Mléčné dráhy je 9.8.104 světelných let. Čas pro přelet naší galaxie v soustavě spojené se Zemí je tedy 9.8.104 let : ^

Relativistická dynamika XVIII Přemova průhledná varianta vycházející z hybnosti : Na částici v klidu působíme konstantní silou po dobu t. Podle 2. NZ: Jednoduchou úpravou vyjádříme rychlost:

Relativistická dynamika XIX Dráhu, kterou částice urazí, zjistíme integrací: Použijeme substituci :

Relativistická dynamika XX Dráha tedy je :

Relativistická dynamika XXI Při silovém působení získá částice kinetickou energii :

Relativistická dynamika XXII Konečný výraz pro kinetickou energii : vykládáme tak, že působením síly vzrostla klidová energie : na energii celkovou : ^

Relativistická dynamika XXIII Využití vztahu : Na pravé straně je konstanta, u částic s nulovou klidovou hmotností dokonce nula. Levá strana musí být také konstantní resp. nulová a tedy invariantní vůči Lorentzově transformaci (ve všech inerciláních soustavách má stejnou hodnotu). Dráha částice uvedené do pohybu působením konstantní síly : ^

Relativistická dynamika II V čárkované soustavě spojené s těžištěm systému: Před rázem má: první částice rychlost v a hmotnost m’1 (např. ve směru osy x) druhá má rychlost –v a hmotnost m’2. Po rázu bude nově vytvořená částice o hmotnosti M’ v klidu v počátku souřadné soustavy. Vzhledem k symetrii lze tvrdit: M’ = m’1 + m’2 = 2m’1 = 2m’2

Relativistická dynamika III V soustavě spojené s částicí napravo: Před rázem má: první částice rychlost u a hmotnost mu druhá částice je v klidu a má hmotnost m0. Ze vztahu pro relativistické skládání rychlostí je : Po rázu se celková hmotnost pohybuje rychlostí v, protože to je původní rychlost těžiště. M = mu + m0

Relativistická dynamika IV V této soustavě ale nemohou hmotnosti mu a m0 být stejné. Kdyby tomu tak bylo, byla by hybnost před rázem: a v rozporu s druhým předpokladem by se nerovnala hybnosti po rázu :

Relativistická dynamika V Poměr hmotností určíme ze zákonů zachování :

Relativistická dynamika VI Zde jsme použili úpravu :

(Relativistická dynamika VI) Úprava je průhlednější s použitím  = v/c :

Relativistická dynamika VI Tedy : V uvažované soustavě se pohybuje jen m1 a m2 je v klidu. Naše závěry tedy můžeme zobecnit: ^