Numerické řešení stlačitelného proudění v kanále a mříži ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Numerické řešení stlačitelného proudění v kanále a mříži Autor: Milan ŽALOUDEK Vedoucí práce: Doc. Ing. Jaroslav FOŘT, CSc.

Výchozí rovnice Eulerovy rovnice zákon zachování hmoty zákon zachování hybnosti zákon zachování energie Eulerovy rovnice uzavírací vztah normování

Matematická formulace úlohy systém nelineárních hyperbolických rovnic  slabé řešení hledáme funkci W(x,y,t) na oblasti   2+ : W  K() – třída funkcí, ve které připouštíme existenci spočetně mnoha křivek, podél nichž funkce W nabývá různých konečných limitních hodnot zleva a zprava tyto křivky nazýváme rázové vlny popř. nespojitosti I. druhu mimo tyto křivky je funkce W spojitá W splňuje rovnici pro libovolné t2>t1 a libovolnou oblast D s dostatečně hladkou hranicí W splňuje počáteční podmínky W(t=0)=W0 W splňuje okrajové podmínky

Okrajové podmínky objevují se celkem 4 základní druhy Obecná výpočtová oblast rovinného kanálu Obecná výpočtová oblast lopatkové mříže objevují se celkem 4 základní druhy (vstup, výstup, stěna, periodicita) při formulaci vycházíme z jednodimenzionální analýzy podzvuková rychlost v normálovém směru ke vstupní hranici k výstupní hranici

Numerické řešení úlohy cell-centered (hodnoty proměnných v těžišti objemu) diskretizace základních rovnic: R: obdélníkové pravidlo numerického integrování výpočtová oblast je pokryta strukturovanou čtyřúhelníkovou sítí L: Eulerova dopředná aproximace Každá buňka popsána dvojicí indexů

Aproximace toku v 1D pomocí numerické metody AUSM AUSM = zkratka ang. Advection Upstream Splitting Method  schéma je založeno na struktuře řešení Riemannova problému  Eulerovy rovnice v 1D: vlastní čísla , kde  Machovo číslo rozhoduje o druhu režimu a o počtu kladných a záporných vlastních čísel  tok F rozdělíme na advektivní a tlakovou část dále upravíme  tento tok aproximujeme pomocí hodnot z L a R jako jejich vhodnou kombinaci  proto použité hodnoty formálně přeznačíme

Aproximace toku F na hranici mezi i-tou a (i+1)-ní buňkou k určení MLR , pLR používáme tzv. rozkládající (splitting) polynomy Označení rozkládajících polynomů buňka i buňka i+1 Machova čísla tlaku v každé buňce vyčíslíme jednotlivé polynomy a jejich následnou kombinací získáme MLR a pLR Požadavky na rozkládající polynomy (platí stejně pro M+/- i p+/-): M+ , M- spolu se svými prvními derivacemi spojitě závislé na Machově čísle vyjádřeny polynomem nejnižšího možného stupně vlastní čísla jsou kladná, vlastní čísla jsou záporná výraz LR je dán proměnnými pouze jedné hraniční buňky a to podle znaménka výsledného MLR

Rozkládající polynomy: buňka i buňka i+1 podzvukový režim |M|<1 nadzvukový režim |M|>1

Rozšíření numerického schématu na 2D zavedeme kladnou orientaci hran (a, b) vektor jednotkové vnější normály aproximovaný numerický tok přepíšeme zavedeme matici rotace Eulerovy rovnice jsou invariantní vůči rotaci  dvourozměrný případ je založen na jednodimenzionálním rozkladu v normálovém směru o režimu proudění rozhoduje Machovo číslo v normálovém směru

Zvyšování řádu přesnosti v prostorových proměnných základní numerické schéma AUSM je prvního řádu přesnosti v prostoru původní schéma používalo pouze hodnoty v těžištích zvyšování řádu přesnosti je založeno na náhradě těchto hodnot „přesnějšími“ lineární rekonstrukce + limiter

Lineární rekonstrukce Výpočet rekonstruovaných hodnot v buňce i nové hodnoty Lineární rekonstrukce strukturovaná čtyřúhelníková síť  rekonstrukce ve 2 nezávislých směrech na každé buňce 2 lokálně jednodimenzionální rekonstrukce několik způsobů, jak spočítat rekonstrukci v buňce i jak jsme si mohli všimnout – každá buňka je popsána dvojicí indexů i,j – 1) rekonstrukce ve směru indexu i, 2) ve směru indexu j upwind downwind centrálně

Limitery (omezovače) od prováděných úprav požadujeme neoscilativní chování  rekonstruované hodnoty na hranici i-1/2 musí ležet mezi Wi-1 a Wi  rekonstruované hodnoty na hranici i+1/2 musí ležet mezi Wi a Wi+1 samotná rekonstrukce 1), 2) nebo 3) nezaručí neoscilativní chování  doplnění o vhodný limiter definujme funkce minmod a maxmod minmod limiter MC limiter superbee limiter Barthův limiter zlepšili jsme sice přesnost řešení, ale zkomplikoval se nám výpočet v okrajových buňkách které nemají všechny sousedy regulární a musíme tam tedy vhodným způsobem také rekonstruovat použité hodnoty Barthův limiter – složitější a nejde zapsat tak jednoduše jako se nám to podařilo u předchozích tří ale v tuto chvíli jde o myšlenku a z časových důvodů si nemůžu dovolit detailní popis Takto získané rekonstrukce pak dosazujeme namísto sigmaX (na předchozí stránce)  speciální úprava rekonstrukce v okrajových buňkách

Numerická aproximace okrajových podmínek Předpokládáme: pracovní médium uloženo ve velkém zásobníku  ze zásobníku dopraveno izoentropicky na vstupní hranici  proudění výpočtovou oblastí  výstup do prostředí se známým tlakem VSTUP + VÝSTUP - podle druhu zadáme vždy vhodný počet parametrů - zbývající veličiny extrapolujeme ze 2 sousedních buněk STĚNA - podmínka neprostupnosti stěny PERIODICITA - periodická hranice má regulární buňky na obou stranách - numerický tok počítáme podle vzorce pro regulární hranici

Výsledky vlastnosti vyvinutého programu byly testovány na několika případech koleno (kanál konstantního průřezu s otočením proudu o 90) GAMM kanál lopatková mříž DCA 8% koleno = kanál konstantního průřezu s otočením proudu o 90°

numerické schéma Ron-Ho-Ni Koleno výpočtová síť 16035 buněk izočáry Machova čísla (zvýrazněná izočára M=1, přírůstek M=0.02) numerické schéma Ron-Ho-Ni výsledek převzatý z [1] 1. řád přesnosti snížení protitlaku – větší nadzvuková oblast, zakončená kolmější rázovou vlnou při stejném protitlaku – pouhé zvýšení přesnosti schématu – uzavření zvukové čár vyšší řád přesnosti (minmod limiter) 1. řád přesnosti [1] Halama J.: 2D stacionární nevazké proudění v kanále, sem. práce z Vnitřní aerodynamiky, ČVUT, 1996

(MC limiter – jemná síť) GAMM kanál hrubá síť 90  30 buněk, jemná síť 150  45 buněk tlakový poměr odpovídá výstupnímu Machovu číslu M2=0,675 1. řád přesnosti – hrubá síť vyšší řád přesnosti (MC limiter – hrubá síť) vyšší řád – větší nadzvuková oblast, vyšší Machovo číslo na jemné síti se smazávají rozdíly mezi jednotlivými limitery – chybějící výsledky by vypadaly dost podobně výraznější rozdíly můžeme vidět až z průběhů Machova čísla podél horní a především dolní hrany vyšší řád přesnosti (MC limiter – jemná síť)

GAMM kanál – průběh Machova čísla podél stěn vlastní výsledky: jemná síť minmod limiter Barthův limiter porovnání s výsledky převzatými z [2] jiná síť, jiné numerické schéma (TVD MacCormack, Implicit WENO) [2] Kozel K., Fűrst J.: Numerické metody řešení problémů proudění I ČVUT Praha, 2001

lopatková mříž DCA 8% Parametry výpočtu: vyšší řád přesnosti s minmod limiterem výpočtová síť 120  40 buněk tlakový poměr odpovídá výstupnímu Machovu číslu M2=0,833 úhel nabíhajícího proudu =0,9

Závěr Cílem práce bylo vyvinout a odladit vlastní numerický program, pro řešení nevazkého stlačitelného proudění, založený na numerickém schématu AUSM. Tento cíl byl splněn. Dosahované výsledky jsou ve shodě s jinými numerickými výsledky i s fyzikálními předpoklady proudění. Další vývoj programu: implementace a testování dalších variant AUSM schématu přechod na stlačitelné vazké proudění rozšíření na 3D úlohy

Děkuji za pozornost

Děkuji za pozornost

Výchozí rovnice zákon zachování hmoty zákon zachování hybnosti zákon zachování energie hustota rychlost energie tlak tečné napětí objemová síla hustota objemového toku rychlost deformace čas

zjednodušující předpoklady rovinné proudění nevazká tekutina nulové hmotové síly žádné zdroje tepla  Eulerovy rovnice:  uzavírací vztah  normování

Matematická formulace úlohy systém nelineárních hyperbolických rovnic  slabé řešení hledáme funkci W(x,y,t) na oblasti   2+ : W  K() W splňuje rovnici pro libovolné t2>t1 a libovolnou oblast D s dostatečně hladkou hranicí W splňuje počáteční podmínky W(t=0)=W0 W splňuje okrajové podmínky

Okrajové podmínky celkem se objevují 4 základní druhy Obecná výpočtová oblast rovinného kanálu Obecná výpočtová oblast lopatkové mříže celkem se objevují 4 základní druhy (vstup, výstup, stěna, periodicita) vycházíme z jednodimenzionální analýzy podzvukový vstup i výstup

Numerické řešení úlohy metoda konečných objemů (FVM) cell-centered (hodnoty proměnných v těžišti objemu) R: obdélníkové pravidlo numerického integrování L: Eulerova dopředná aproximace výpočtová oblast je pokryta strukturovanou čtyřúhelníkovou sítí Každá buňka popsána dvojicí indexů suma na R straně je aproximována pomocí numerického schématu

Numerické schéma AUSM v 1D AUSM = zkratka ang. Advection Upstream Splitting Method  schéma je založeno na struktuře řešení Riemannova problému  Eulerovy rovnice v 1D: vlastní čísla , kde  Machovo číslo rozhoduje o druhu režimu a o počtu kladných a záporných vlastních čísel  tok F rozdělíme na advektivní a tlakovou část dále upravíme  tento tok aproximujeme pomocí hodnot z L a R jako jejich vhodnou kombinaci  proto použité hodnoty formálně přeznačíme

Aproximace toku F na hranici mezi i-tou a (i+1)-ní buňkou k určení MLR , pLR používáme tzv. rozkládající (splitting) polynomy Označení rozkládajících polynomů buňka i buňka i+1 Machova čísla M+ M- tlaku p+ p- v každé buňce vyčíslíme jednotlivé polynomy a jejich následnou kombinací získáme MLR a pLR Požadavky na rozkládající polynomy (platí stejně pro M+/- i p+/-): M+ , M- spolu se svými prvními derivacemi spojitě závislé na Machově čísle vyjádřeny polynomem nejnižšího možného stupně vlastní čísla jsou kladná, vlastní čísla jsou záporná výraz LR, je dán proměnnými pouze jedné hraniční buňky a to podle znaménka výsledného MLR

Rozkládající polynomy: buňka i buňka i+1 podzvukový režim |M|1 nadzvukový režim |M|>1

Rozšíření numerického schématu na 2D zavedeme kladnou orientaci hran (a, b) vektor jednotkové vnější normály aproximovaný numerický tok přepíšeme zavedeme matici rotace Eulerovy rovnice jsou invariantní vůči rotaci  dvourozměrný případ je založen na jednodimenzionálním rozkladu v normálovém směru o režimu proudění rozhoduje Machovo číslo v normálovém směru

Numerická aproximace okrajových podmínek VSTUP - médium uloženo ve velkém zásobníku, kde má klidové parametry p0, 0 - ze zásobníku dopraveno izoentropicky na vstupní hranici - zadáváme klidové parametry p0, 0, úhel náběhu  - z proudového pole extrapolujeme Machovo číslo Min

Numerická aproximace okrajových podmínek VÝSTUP - médium vystupuje z výpočtové oblasti do prostředí se známým tlakem p2 - tento tlak je dán poměrem - z proudového pole extrapolujeme první 3 složky vektoru W - zadáváme tlakový poměr - čtvrtou složku W dopočítáme podle STĚNA - idealizovaný model nevazké stěny (žádná mezní vrstva, rychlostní profil...ap.) - podmínka neprostupnosti stěny - tlak na stěně pwall nahrazujeme tlakem v nejbližší buňce přilehlé ke stěně PERIODICITA - periodická hranice má regulární buňky na obou stranách - numerický tok počítáme podle vzorce pro regulární hranici po úpravách

Zvyšování řádu přesnosti v prostorových proměnných základní numerické schéma AUSM je prvního řádu přesnosti v čase a prostoru původní schéma používalo pouze hodnoty v těžištích zvyšování řádu přesnosti je založeno na náhradě těchto hodnot „přesnějšími“ lineární rekonstrukce + limiter

Lineární rekonstrukce strukturovaná čtyřúhelníková síť  rekonstrukce ve 2 nezávislých směrech 2 lokálně jednodimenzionální úlohy několik způsobů, jak spočítat rekonstrukci v buňce i upwind downwind centrálně jak jsme si mohli všimnout – každá buňka je popsána dvojicí indexů i,j – 1) rekonstrukce ve směru indexu i, 2) ve směru indexu j nové hodnoty - levá hranice buňky i : - pravá hranice buňky i :

Limitery požadujeme neoscilativní chování  rekonstruované hodnoty na hranici i-1/2 musí ležet mezi Wi-1 a Wi  rekonstruované hodnoty na hranici i+1/2 musí ležet mezi Wi a Wi+1 samotná rekonstrukce 1), 2) nebo 3) nezaručí neoscilativní chování  doplnění o vhodný limiter definujme funkce minmod a maxmod minmod limiter MC limiter superbee limiter Barthův limiter Barthův limiter – složitější a nejde zapsat tak jednoduše jako se nám to podařilo u předchozích tří ale v tuto chvíli jde o myšlenku a z časových důvodů si nemůžu dovolit detailní popis Takto získané rekonstrukce pak dosazujeme namísto sigmaX (na předchozí stránce)

Rekonstrukce v okrajových buňkách Rekonstrukce s použitím minmod limiteru Porovnání rekonstrukcí s různými limitery Rekonstrukce v okrajových buňkách předpokládáme, že hodnota daná okrajovou podmínkou je přesná  není třeba ji upravovat  hodnota na okrajových hranách je bez rekonstrukce na následující hraně používáme jednostrannou rekonstrukci bez limiteru stále otevřená otázka jak rekonstruovat na hranicích

Výsledky vlastnosti vyvinutého numerického programu byly testovány na několika případech koleno GAMM kanál lopatková mříž DCA 8% koleno = kanál konstantního průřezu s otočením proudu o 90°

Koleno výpočtová síť 16035 buněk izočáry Machova čísla (zvýrazněna izočára M=1, přírůstek M=0.02) 1. řád přesnosti snížení protitlaku – větší nadzvuková oblast, zakončená kolmější rázovou vlnou při stejném protitlaku – pouhé zvýšení přesnosti schématu – uzavření zvukové čáry při dalším snižování protitlaku se už tvar první zvukové čáry nemění – pouze se posunuje rázová vlna směrem k výstupu vyšší řád přesnosti (minmod limiter)

GAMM kanál hrubá síť 90  30 buněk, jemná síť 150  45 buněk tlakový poměr odpovídá výstupnímu Machovu číslu M2=0,675 1. řád přesnosti vyšší řád přesnosti hrubá síť (MC limiter – hrubá síť) vyšší řád – větší nadzvuková oblast, vyšší Machovo číslo na jemné síti se smazávají rozdíly mezi jednotlivými limitery – chybějící výsledky by vypadaly dost podobně výraznější rozdíly můžeme vidět až z průběhů Machova čísla podél horní a především dolní hrany vyšší řád přesnosti (MC limiter – jemná síť)

GAMM kanál – průběh Machova čísla podél stěn vlastní výsledky: jemná síť minmod limiter Barthův limiter porovnání s předchozími výsledky (TVD, WENO) jiná síť, jiné numerické schéma

lopatková mříž DCA 8% Parametry výpočtu: vyšší řád přesnosti s minmod limiterem výpočtová síť 120  40 buněk tlakový poměr odpovídá výstupnímu Machovu číslu M2=0,833 úhel nabíhajícího proudu =0,9