Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/ Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá Autorskému zákonu. Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora - Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0 Česko. NÁZEV MATERIÁLU: Soustava lineární a kvadratické rovnice Autor: Mgr. Břetislav Macek Rok vydání: 2013

Soustava lineární a kvadratické rovnice

Osnova a)pojem soustava rovnic b)metody řešení soustav rovnic c)způsoby řešení soustavy lineární a kvadratické rovnice d)ukázkové příklady e)příklady na procvičení včetně řešení

Soustava rovnic v soustavě rovnic pracujeme se dvěma či více rovnicemi není podmínkou, aby všechny rovnice byly lineárního typu

Způsoby řešení soustav lineární a kvadratické rovnic početní – vyřešením soustavy rovnic graficky – pomocí funkcí a grafů

Početní řešení soustav rovnic sčítací metoda –snažíme se vynulovat (vyškrtnout) jednu námi vybranou neznámou; při této metodě může dojít k násobení či dělení jedné či obou rovnic nějakým číslem dosazovací metoda –při této metodě si z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a toto vyjádření pak dosadíme do zbývající rovnice či rovnic

Ukázkový příklad (početní způsob): x + 6y = 10  x = 10 – 6y vyjádříme jednu neznámou x 2 + 4y 2 = 10 (10 – 6y) 2 + 4y 2 = 10 dosadíme do druhé rovnice 100 – 120y + 36y 2 + 4y 2 = 10 40y 2 – 120y + 90 = 0 /:10 4y 2 – 12y + 9 = 0 obdržíme kvadratickou rovnici vyřešíme tuto kvadratickou rovnici dle možnosti jelikož diskriminant vyšel 0, kvadratická rovnice má jeden dvojnásobný kořen (tedy y 1 = y 2 )

musíme dále dořešit čemu se bude rovna x x = 10 – 6y dosadíme za y naše y 1 a posléze y 2 x = 10 – 6.1,5 x = 10 – 9 x 1;2 = 1 v neposlední řadě musíme správně napsat výsledek toho příkladu [ x 1 ; y 1 ] ; [ x 2 ; y 2 ]  [ 1; 1,5]

Příklady na procvičení př. 1: x 2 + y 2 – 4 = 0 x + 2y = 4 Řešení př. 2: 5xy – y = 0 2x – y – 4 = 0 Řešení přeskočit

Řešení př. 1: x 2 + y 2 – 4 = 0 x + 2y = 4  x = 4 – 2y (4 – 2y) 2 + y 2 – 4 = 0 16 – 16y + 4y 2 + y 2 – 4 = 0 5y 2 – 16y + 12 = 0

Řešení př. 1: x 1 = 4 – 2.y 1 x 2 = 4 – 2.y 2 x 1 = 4 – 2. x 2 = 4 – 2. 2 x 1 = 4 – x 2 = 4 – 4 x 1 = – x 2 = 0 x 1 = [ ; ] [ 0 ; 2] zpět

Řešení př. 2: 5xy – y = 0 2x – y – 4 = 0  2x – 4 = y 5x(2x – 4) – (2x – 4) = 0 10x 2 – 20x – (4x 2 – 16x + 16) + 14 = 0 10x 2 – 20x – 4x x – = 0 6x 2 – 4x – 2 = 0 /:2 3x 2 – 2x – 1 = 0

Řešení př. 2: 2.1 – 4 = y 1 2. – 4 = y 2 2 – 4 = y 1 – 4 = y 2 – 2 = y 1 = y 2 = y 2 [ 1; -2] [ ; ] zpět

Grafické řešení soustav rovnic využíváme k tomu funkce a grafy funkcí –tam, kde se nám grafy funkcí protnou dostáváme řešení soustavy; výsledky jsou v podobně souřadnic bodů

Ukázkový příklad (grafický způsob): x – y = 5  f 1 : y = x – 5 vyjádříme první rovnici jako funkci xy = 6  f 2 : y = vyjádříme druhou rovnici jako funkci tabulka pro f 1 – lineární funkce (přímka) – D(f) = R v tabulce stačí 2 body tabulka pro f 2 – lineární lomená funkce (hyperboly) – D(f) = R – {0} v tabulce musí být 3 body, respektive 6 bodů, protože jsou dvě hyperboly x01 y x y

[ x 1 ; y 1 ] ; [ x 2 ; y 2 ]  A = [ 3; - 2] ; B = [ 2; - 3]

Příklady na procvičení př. 1: 4x + 2y - 6 = 0 x 2 – y = 0 Řešení př. 2: y = x 2 xy = 8 Řešení přeskočit

Řešení př. 1: 4x + 2y – 6 = 0  f 1 : y = -2x + 3 x 2 – y = 0  f 2 : y = x 2 tabulka pro f 1 – lineární funkce (přímka) – D(f) = R tabulka pro f 2 – kvadratická funkce (parabola) – D(f) = R souřadnice vrcholu V = [ 0; 0] x02 y3- 1 x y41014

[ x 1 ; y 1 ]  A = [ 1; 1] [ x 2 ; y 2 ]  B = [- 3; 9] zpět

Řešení př. 2: y = x 2  f 1 : y = x 2 xy = 8  f 2 : y = tabulka pro f 1 – kvadratická funkce (parabola) – D(f) = R souřadnice vrcholu V = [ 0; 0] tabulka pro f 2 – lineární lomená funkce (hyperboly) – D(f) = R – {0} v tabulce musí být 3 body, respektive 6 bodů, protože jsou dvě hyperboly x y41014 x y

[ x 1 ; y 1 ]  A = [ 2; 4] zpět

Shrnutí způsoby řešení soustava rovnic –početní a)metoda sčítací b)metoda dosazovací –graficky –pomocí funkcí a grafů

Zdroje HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., Učebnice pro střední školy. ISBN