Objemy a povrchy těles základní přehled vlastností a vztahů

Krychle V = a3 S = 6a 2 us = a√2 ut = a√3 ut us a Pravidelný šestistěn (hexaedr): V = a3 S = 6a 2 stěnová úhlopříčka: us = a√2 tělesová úhlopříčka: ut = a√3 ut Krychle má šest stěn, osm vrcholů a dvanáct hran. us a

Kvádr V = a · b · c S = 2(ab + bc + ac) c ut b a tělesová úhlopříčka: Kvádr má šest stěn, osm vrcholů a dvanáct hran. b a

Hranol – podstavy jsou rovnoběžné a tvoří je shodné n-úhelníky, Hranol – podstavy jsou rovnoběžné a tvoří je shodné n-úhelníky, boční stěny jsou rovnoběžníky a a – podstavná hrana (u pravidel-ných hranolů mají všechny podstavné hrany stejnou délku) v v – boční hrana (její délka se nazývá výška hranolu = vzdálenost podstav) V = Sp · v S = 2Sp + Spl Pokud jsou boční hrany rovnoběžné, ale nejsou kolmé k podstavě, nazýváme takové těleso kosý hranol. Výška pak není totožná s boční hranou!!!

Válec – rotační těleso (rotace obdélníku kolem své strany) r – poloměr podstavy v v – výška válce Pokud jsou boční hrany vzájemně rovnoběžné, ale nejsou kolmé k podstavě, nazýváme takový válec kosý (válec je zešikmený). V = πr2 · v S = 2πr2 + 2πrv = 2πr(r + v)

Jehlan - podstava je mnohoúhelník, boční stěny jsou trojúhelníky a – podstavná hrana s – boční hrana v – výška jehlanu vs – výška boční stěny α – úhel boční hrany β – úhel boční stěny v vs s S = Sp + Spl Jehlany, které mají podstavu tvaru pravidelného mnohoúhelníku, nazýváme pravidelné. β α a

Kužel - (rotační těleso – rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem Kužel - (rotační těleso – rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem odvěsny) v – výška kužele r – poloměr podstavy s – délka strany kužele α – úhel boční strany s S = πr2 + πrs = πr(r + s) v Pokud výška kužele neprochází středem podstavy, nazýváme takový kužel kosý (kužel je zešikmený). Existují i další kužele – eliptický (podstavou je elipsa) ad. α r

Komolý jehlan a1 – spodní podstavná hrana a2 – horní podstavná hrana s – boční hrana v – výšky jehlanu s vs – výška boční stěny v a2 α – úhel boční hrany β – úhel boční stěny v vs v vs β α S = S1 + S2 + Spl a1 Pro praktické výpočty je vhodnější výška spuštěná z vrcholu menší podstavy, případně výška spuštěná ze středu kratší podstavné hrany. Komolé jehlany, které mají podstavy tvaru pravidelného n-úhelníku, nazýváme pravidelné n-boké.

Komolý (rotační) kužel v – výška kužele r1 – poloměr spodní podstavy r2 – poloměr horní podstavy r2 s – délka strany kužele α – úhel boční strany s v v S = π[r12 +r22 + s(r1 + r2)] Pokud spojnice středů podstav není kolmá k podstavám, nazýváme takový kužel kosý (kužel je zešikmený). Existují i další komolé kužele – eliptický (podstavou je elipsa) ad. α r1

Koule S – střed koule r – poloměr koule S = 4πr2 r S

Části koule – úseč r – poloměr koule ρ – poloměr úseče v v – výška úseče v ρ r Povrch úseče se skládá z podstavy a z pláště, kterému se říká vrchlík. r S = 2πrv + πρ2

Části koule – výseč r – poloměr koule ρ – poloměr výseče v v – výška výseče ρ r r Povrch výseče se skládá z vrchlíku a z pláště kužele. S = 2πrv + πrρ = πr(2v + ρ)

Části koule – kulová vrstva a pás r – poloměr koule ρ1 – poloměr horní podstavy ρ2 – poloměr dolní podstavy ρ1 v – výška vrstvy v r ρ2 Povrch kulové vrstvy se skládá z podstav a pláště, kterému se říká kulový pás. r S = πρ12 + πρ22 + 2πrv

Volné rovnoběžné promítání Pojmy: průmětna, nárys, půdorys, bokorys, levý a pravý nadhled, levý a pravý podhled Vlastnosti: Průmětem přímky je přímka nebo bod Průmětem 2 rovnoběžných přímek jsou 2 rovnoběžné přímky nebo 2 body Zachovávají se geometrické poměry ( AB : BC = A´B´ : C´D´ ) Geometrické útvary ležící v rovinách rovnoběžných s průmětnou se zobrazí v původní velikosti Přímky a úsečky kolmé k průmětně se kreslí pod úhlem 45o a délky úseček se zkracují na 1/2