Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/ Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá Autorskému zákonu. Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora - Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0 Česko. NÁZEV MATERIÁLU: Exponenciální funkce a její posunutí Autor: Mgr. Břetislav Macek Rok vydání: 2013

Exponenciální funkce a její posunutí

Osnova a)pojem exponenciální funkce b)sestrojení grafu exponenciální funkce c)posunutí grafu exponenciální funkce d)ukázkové příklady e)příklady na procvičení včetně řešení

Exponenciální funkce předpis: f: y = a x kde: x R ; a R + - {1} nebo a (0;1) (1; ∞ ) pozn.: kdyby se a = 1, nejednalo by se o exponenciální funkci, ale o lineární funkci (a konkrétně o konstantní funkci) grafem je : exponenciála

Exponenciální funkce tvar grafu exponenciální funkce závisí na a (základ) klesající rostoucí a (0;1)a (1; ∞ )

Ukázkový příklad: Sestrojte graf exponenciální funkce f: y = 2 x. Určete definiční obor a obor hodnot. Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R. f: y = 2 x sestrojíme tabulku pro funkci f; jedna hodnota záporná v řádku x x y 1/2 1 2

Ukázkový příklad: H(f) = ( 0; ∞ )

Příklady na procvičení př. 1: Sestrojte graf funkce f: y =. Určete H(f). Řešení př. 2: Sestrojte graf funkce f: y = - 3 x. Určete H(f). Řešení př. 2: Sestrojte graf funkce f: y = (- 2) x. Určete H(f). Řešení přeskočit

Řešení př. 1: Sestrojte graf funkce f: y =. Určete H(f). Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R. Jelikož a (0; 1)  klesající tabulka pro funkci f H(f) = ( 0; ∞ ) zpět x y 4 1 1/4

Řešení př. 2: Sestrojte graf funkce f: y = - 3 x. Určete H(f). Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R. Jelikož a (1; ∞ )  rostoucí tabulka pro funkci f H(f) = (- ∞; 0 ) zpět x y - 1/

Řešení př. 3: Sestrojte graf funkce f: y = (- 2) x. Určete H(f). Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R. Jelikož a není v rozmezí (0; 1) (1; ∞ )  proto nelze sestrojit. Příklad nemá řešení. zpět

Posunutí exponenciální funkce zadaná funkce: f: y = a x+m + n určíme základní funkci (je to jenom funkce f 1 : y = a x ) a k ni sestavíme tabulku a graf určíme další funkci (f 2 : y = a x+m ); graf této funkce vznikne posunutím grafu funkce f 1 dle daných pravidel: jestli bude  f 2 : y = a x+m  + m... posuneme doleva dle osy x jestli bude  f 2 : y = a x-m  - m... posuneme doprava dle osy x

Posunutí exponenciální funkce určíme další funkci (f 3 : y = a x+m + n); graf této funkce vznikne posunutím grafu předchozí funkce f 2 dle daných pravidel a vzniká u tohoto posunutí nová osa x´ právě v hodnotě + n či - n: jestli bude  f 3 : y = a x+m + n  + n... posuneme nahoru dle osy y jestli bude  f 3 : y = a x-m - n  - n... posuneme dolů dle osy y pozn.: funkce f 3 = f a příklad z hlediska grafu je hotov; ještě určít D(f) a H(f) všech funkcí

Ukázkový příklad: Sestrojte graf exponenciální funkce f: y = 3 x+1 – 2. Určete definiční obory a obory hodnot. Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R. Nejprve sestrojíme graf pro základní funkci f 1 : y = 3 x. f 1 : y = 3 x sestrojíme tabulku pro funkci f; jedna hodnota záporná v řádku x Následně budeme posouvat graf základní funkce f 1 a pak případně další nově vzniklý graf doleva nebo doprava  f 2 : y = 3 x +1  doleva dle osy x dolů nebo nahoru  f 3 : y = 3 x  dolů dle osy y + nová osa x´ x y 1/3 1 3

Ukázkový příklad: D(f 1 ) = R H(f 1 ) = ( 0; ∞ ) D(f 2 ) = R H(f 2 ) = ( 0; ∞ ) D(f 3 ) = R = D(f) H(f 3 ) = ( - 2; ∞ ) = H(f) o 2 dolů o 1 doleva

Příklady na procvičení př. 1: Sestrojte graf funkce f: y = 3 x-2. Určete D a H všech funkcí. Řešení př. 2: Sestrojte graf funkce f: y = 4 x – 1. Určete D a H všech funkcí. Řešení př. 3: Sestrojte graf funkce f: y = 2 x Určete D a H všech funkcí. Řešení přeskočit

Řešení př. 1: Sestrojte graf funkce f: y = 3 x-2. Určete D a H všech funkcí. Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R. Určíme základní funkci: f 1 : y = 3 x. tabulka pro funkci f 1 Graf funkce f 2 : y = 3 x-2 získáme tak, že graf funkce f 1 posuneme o 2 jednotky doprava. Graf funkce f 2 je graf celého příkladu tedy funkce f. x y 1/3 1 3

Řešení př. 1: D(f 1 ) = R H(f 1 ) = ( 0; ∞ ) D(f 2 ) = R = D(f) H(f 2 ) = ( 0; ∞ ) = H(f) zpět

Řešení př. 2: Sestrojte graf funkce f: y = 4 x – 1. Určete D a H všech funkcí. Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R. Určíme základní funkci: f 1 : y = 4 x. tabulka pro funkci f 1 Graf funkce f 2 : y = 4 x – 1 získáme tak, že graf funkce f 1 posuneme o 1 jednotku dolů a vznikne v –1 nová osa x´. Graf funkce f 2 je graf celého příkladu tedy funkce f. x y 1/4 1 4

Řešení př. 2: D(f 1 ) = R H(f 1 ) = ( 0; ∞ ) D(f 2 ) = R = D(f) H(f 2 ) = ( -1; ∞ ) = H(f) zpět

Řešení př. 3: Sestrojte graf funkce f: y = 2 x Určete D a H všech funkcí. Jelikož D(f) není zadán, tak je D(f) = R. Určíme základní funkci: f 1 : y = 2 x. tabulka pro funkci f 1 Graf funkce f 2 : y = 2 x-4 získáme tak, že graf funkce f 1 posuneme o 4 jednotky doprava. Graf funkce f 3 : y = 2 x získáme tak, že graf funkce f 2 posuneme o 3 jednotky nahoru a vznikne v +3 nová osa x´. Graf funkce f 3 je graf celého příkladu tedy funkce f. x y 1/2 1 2

Řešení př. 3: D(f 1 ) = R H(f 1 ) = ( 0; ∞ ) D(f 2 ) = R H(f 2 ) = ( 0; ∞ ) D(f 3 ) = R = D(f) H(f 3 ) = ( 3; ∞ ) = H(f) zpět

Shrnutí předpis: f:y = a x podle a (základu) má exponenciální funkce dva tvary: a (0;1)... klesá; a (1; ∞ )... roste graf: exponenciála posunutí: jestli bude  f: y = a x+m  + m... posuneme doleva dle osy x jestli bude  f: y = a x-m  - m... posuneme doprava dle osy x jestli bude  f: y = a x + n  + n... posuneme nahoru dle osy y jestli bude  f: y = a x - n  - n... posuneme dolů dle osy y

Zdroje HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., Učebnice pro střední školy. ISBN