DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL zpracovaný v rámci projektu Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0807 Název projektu: EU peníze středním školám Gymnázium a Střední odborná škola, Podbořany, příspěvková organizace Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Sada: Matematická logika Datum: 20. 1. 2014 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Markéta Wolfová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz; ISSN 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

Téma: Logické úlohy Předmět: Matematika – logika Klíčová slova: matematická logika, logické úlohy, hlavolamy Autor: Mgr. Markéta Wolfová

Metodický pokyn Materiál je určen k procvičení logického uvažování. Zahajuje sadu materiálů zaměřených na matematickou logiku a výroky. Jeho charakter a význam je čistě motivační, je vhodný jako úvod do problematiky. Dá se dobře využít k rozdávání jedniček za aktivitu a tím zvyšovat zájem žáků o matematiku. Jedná se převážně o úlohy známé, aby ani s nastupující generací neupadly v zapomnění. Některé úlohy jsou pro žáky středních škol snadné, ale pokud nebude při řešení rozhodující rychlost, mají šanci i slabší žáci, což je z hlediska motivace důležité. Řešení úloh je uvedeno v komentářích.

aneb hlavolam nám hlavu nepoláme… Myšlení nebolí aneb hlavolam nám hlavu nepoláme…

Perníčky - aneb jednoduchá úloha na úvod  Babička peče perníková srdíčka. Po rozválení těsta jí po každých čtyřech vykrojených srdíčkách zbude těsto na další jedno srdíčko. Kolik jich celkem upekla, jestliže po prvním vykrajování jich napočítala 64? 64 + 16 + 4 + 1 = 85 srdíček Perníčky. Martin Šanda. [cit. 2014-01-19]. Dostupný pod licencí Creative Commons na WWW: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pernicky02.jpg?uselang=cs>

Snadné početní úlohy V zoologické zahradě mají v jednom výběhu společně daňky a pávy. Pokud je ve výběhu dohromady 30 očí (a neuvažujeme ty na perech pávů) a 44 nohou, kolik kterých zvířat je ve výběhu? Sedm kamarádů ze školy se po roce opět sešlo v jejich oblíbené hospodě. Rozhodli se, že to pořádně zapijí. Na začátku si chtěli každý s každým ťuknout půllitrem. Kolik ťuknutí v hospodě proběhlo? Pokud tři kočky chytí tři myši za 3 minuty, kolik bude potřeba koček, aby chytily 100 myší za 100 minut? 1. 8 pávů a 7 daňků; 2. 21 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1; 3. Také tři.

Ponožky Nepořádný Fanda si nerad uklízí ponožky, a tak je odkládá do šuplíku ne smotané do klubíčka, jak to dělává maminka, ale po jednom, bez ladu a skladu, jak mu tak pod ruku přijdou. Jednoho dne ráno nejde elektřina a Fanda ve svém šuplíku vidí pouze tmu. Má v něm 24 černých a 24 modrých ponožek. Kolik nejméně ponožek musí Fanda vytáhnout, aby měl jistotu, že bude mít dvě stejné barvy? Tři, kdyby měl smůlu a první dvě byly černá a modrá, třetí už se mu určitě bude hodit! Socks: SeppVei. [cit. 2014-01-19]. Dostupný pod licencí Public domain na WWW: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Woolen_socks_on_the_floor.JPG>

Banány V bedně zbylo osm banánů. Kolik jich tam bylo původně? Jednou na pustém ostrově ztroskotala loď a zachránili se pouze tři námořníci – Matěj, Martin a Michal. Všichni tvrdě usnuli vyčerpáním. První se probudil Matěj a zjistil, že moře vyplavilo na břeh krabici banánů. Třetinu snědl a opět usnul. Druhý se probudil Martin, také snědl třetinu banánů a usnul. Poslední se probudil Michal, netušil, že kamarádi již banány měli, a tak snědl také pouze třetinu. V bedně zbylo osm banánů. Kolik jich tam bylo původně? 27 banánů. 8 = dvě třetiny, tj. Michal jich měl 12. 12 = dvě třetiny, tj. Martin jich měl 18. 18 = dvě třetiny, tj. Matěj jich měl 27. Banana: Elembis. [cit. 2014-01-19]. Dostupný pod licencí Public domain na WWW: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bananas.svg>

Snadné úlohy se zlomky Kolik je teď hodin, když čas, který uplynul od poledne, tvoří třetinu času, který uplyne do půlnoci? Láďa rozdává spolužákům žvýkačky. Tomášovi dal polovinu všech svých žvýkaček plus jednu navíc. Jakubovi dal také polovinu (ze zbytku) a jednu navíc. Stejně tak Milanovi i Adamovi. Nakonec Láďovi nezbylo nic. Kolik žvýkaček celkem rozdal? Cihla váží kilo a půl cihly. Kolik váží? 1. 3 hodiny odpoledne; 2. 30 => odzadu: 2 - 6 - 14 - 30 ; 3. 2 kg, protože 1 kg = polovina cihly

Věk Když se zeptali Kamilky, kolik jí je let, odpověděla: „Za dva roky mi bude dvakrát tolik, jako mi bylo před pěti lety.“ Kolik je Kamilce let? Vomáčkovi slaví křtiny. Děda Vomáčků chová svého novorozeného vnuka a každému vypráví, že teď už každý z jeho synů má tolik synů jako bratrů, a když se spočtou všichni jeho synové a vnukové, je výsledek stejný jako dědečkův věk. Kolik je dědovi, jestliže je mu více než 50 a méně než 70 let. A kolik má synů? Alenka Klopivá se narodila 27. prosince, ale narozeniny slaví vždy v létě. Jak je to možné? 1. 12 let (12 + 2 = 2 * (12 – 5); 2. 64 let, má 8 synů.; 3. Žije v Austrálii. Little Girl: Volné dílo. [cit. 2014-01-19]. Dostupný pod licencí Public domain na WWW: <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Little_Girl_and_Dolly.jpg?uselang=cs>

Měření času Honza má tatínka vtipálka, dal mu k narozeninám dva provazy s těmito informacemi: - Každý z těchto provazů hoří hodinu. - Hoří nerovnoměrně, první polovina 20 minut, druhá 40 minut. - Není ale poznat, která z nich je která. Honzík dostal krabičku zápalek a úkol: Naměř pomocí provazů přesně 15 minut! Jak to lze udělat? Jak pomocí sedmiminutových a čtyřminutových přesýpacích hodin naměříte přesně 9 minut? Pokud Honza zapálí provaz z obou konců, hořel by půl hodiny. Zapálí tedy jeden provaz z obou stran a druhý pouze z jedné. Poté, co první provaz dohoří, zbývá z druhého ještě půl hodiny. Zapálí jej i z druhé strany a tím naměří 15 minut. Necháme sypat oboje najednou (7 a 4 min), potom otočíme čtyřminutové (3 a 4 min), po dosypání sedmiminutových je otočíme (7 a 1 min), po dosypání čtyřminutových je otočíme (6 a 4 min), po dosypání čtyřminutových v sedmiminutových zbývají 2 minuty + jedno otočení je 7 minut.

Úlohy o pohybu trochu jinak… Z Prahy vyjíždí v 8:00 osobní automobil po D1 směr Brno průměrnou rychlostí 120 km/h. V 9:00 vyjíždí po stejné D1 z Brna do Prahy kamion průměrnou rychlostí 85 km/h. Které auto bude blíže Brnu, až se setkají? Myslivec se vrací se svým psem domů průměrnou rychlostí 6 km/h, zbývají jim 3 km. Pes nedočkavostí běhá k domu, k myslivcovi, k domu, k myslivcovi a tak pořád dokola, dokud oba nedojdou domů. Běhá rychlostí 10 km/h. Kolik kilometrů pes naběhá? Rychlonožka má při sprintech rychlý finiš. Těsně před koncem předběhne druhého, kolikátý doběhne? Vysokorychlostní elektrický vlak jede přímo na sever rychlostí 160 km/h. Vítr fouká východním směrem rychlostí 40 km/h. Pokud bereme v úvahu pouze čtyři světové strany – sever a jih, východ a západ, kterým směrem nejspíše povane kouř z lokomotivy? Studna je hluboká 30 metrů. Je v ní šnek. Přes den vyleze o 3 metry nahoru, v noci spadne o 2 metry dolů. Za jak dlouho vyleze ven? 1. V době setkání jsou oba stejně daleko; 2. 5 km, myslivec jde půl hodiny, tj. pes běhá také půl hodiny rychlostí 10km/h.; 3. druhý; 4. Lokomotiva elektrického vlaku nevypouští kouř.; 5. 28. den

Hádanky na závěr Ten, kdo to vyrábí, to nechce. Ten, kdo to koupí, to nepoužívá. Ten, kdo to používá, to nevidí. Co je to? Pan Pěnička si vyšel na procházku bez deštníku. Neměl na hlavě čepici, nikam se neschoval, a přesto neměl na hlavě ani jeden mokrý vlas. Jestliže nebyl plešatý, naopak, měl hustou kštici, jak je to možné? Má to šest nohou, 2 hlavy, 4 uši a chodí to po čtyřech. Co je to? Pan Teplomilný má chatu, která je umístěna tak, že všechny strany jsou orientovány na jih. Z jakého materiálu je nejspíš postavena? Malý Toník zkoumal úhel o velikosti 60° pod lupou, která vše dvakrát zvětší. Kolik stupňů měl úhel pod lupou? V našem kalendáři mají některé měsíce 30 dní a některé 31 dní. Kolik měsíců má 28 dní? 1. rakev; 2. nepršelo; 3. jezdec na koni; 4. ze sněhu, je na severním pólu; 5. 60°; 6. všechny