14_Řešení pravoúhlého trojúhelníka – Euklidovy věty V pravoúhlém trojúhelníku platí i další vztahy pro velikosti stran: Výška vc (dále pouze v) rozdělí pravoúhlý trojúhelník ABC na dva další trojúhelníky. Bod P rozdělil přeponu C na cb a ca. Dále platí α + β + 90°→ α = 90° - β → všechny tři nakreslené trojúhelníky jsou si podobné: ∆ ABC ∆ CBP ∆ ACP kratší odvěsna delší odvěsna Euklidova věta o výšce přepona Euklidova věta o odvěsně

přepona delší odvěsna Euklidova věta o odvěsně Euklidova věta o výšce Euklidova věta o odvěsně ● Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka se rovná obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony. ● Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku odvěsně přilehlého.

Řešený příklad 1. Vypočítej zbývající prvky (a, b, cb, v, α, β) v pravoúhlém trojúhelníku ABC (γ = 90°), je-li dáno: c = 10, cb = 6. b = c . c = 10 . 6 = 60 = 2 15 c = ca + cb → ca = c – cb = 10 – 6 = 4 a = c . ca = 10. (10 – 6) = 40 = 2 10 v = ca . cb = 4 . 6 = 24 = 2 6 sin α = sin β = Stranu a lze vypočítat i Pythagorovou větou. Správnost výsledků můžeme překontrolovat: Α + β + γ = 39°14´ + 50°46´ + 90° = 180° c2 = a2 + b2 102 = (2 10 ) 2 + (2 15) 2 100 = 4 . 10 + 4 . 15 100 = 100

Řešený příklad 2. Řešený příklad 3. Pythagorova věta: c2 = a2 + b2 Dosadíme: a2 = ca . c, b2 = cb . c c2 = ca . c + cb . C c2 = c (ca + cb ) c2 = c. c = c2

Úloha 1. V pravoúhlém trojúhelníku ABC jsou délky odvěsen a = 3,6 cm, b = 5,2 cm. Vypočtete a) délky úseků přepony b) výšku k přeponě c Úloha 2. Úseky přepony pravoúhlého trojúhelníku mají délky: ca = 2 cm, cb = 8 cm. Určete výšku trojúhelníku a délky odvěsen. Úloha 3. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je dán úhel β = 65 ° a délka úseku přepony ca = 10 cm. Vypočtěte : a) poloměr kružnice vepsané b) poloměr kružnice opsané Úloha 4. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je dán úhel α = 48 ° a úsek přepony ca = 15 cm. Vypočítejte výšku trojúhelníku ke straně c a těžnici vedenou vrcholem C.

Zdroje: J. POLÁK. Přehled středoškolské matematiky. Státní pedagogické nakladatelství: Praha. 1972 J. Kováčik, I. Schulzová. Řešené příklady z matematiky pro základní školy a osmiletá gymnazia. Praha: ASPI, 2008 J. Petáková. Matematika příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy.Prometheus: Praha. 1996 Z. Vošický. Matematika v kostce. Praha: Fragment, 2007 M. Krynický. realisticky.cz [online], Dostupný na http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=2 M. Palková a spol.. Průvodce matematikou II. Brno: Didaktis., 2009 J. Doležal. Základy geometrie. [online], Dostupný na http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/ZakladyGeometrie/Planimetrie/Planimetrie.html J. Drahovzalová. Shodná zobrazení.[online], Dostupný na http/clanky.rvp.cz/clanek/c/G/1744/shodna-zobrazeni.html/ M. Hudcová, L. Kubičíková: Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ. Prometheus: Praha. 2009