Pravoúhlý trojúhelník 13_Řešení pravoúhlého trojúhelníka – Pythagorova věta, goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník trojúhelník s vnitřním pravým úhlem 90 ° ( je z vnitřních úhlů největší – zbývající dva úhly musí dát dohromady 90° strana proti pravému úhlu je nejdelší - přepona, zbývající dvě kratší jsou odvěsny Pythagorova věta Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami“. Matematicky zapsáno: c2 = a2 + b2 V pravoúhlém trojúhelníku lze velmi jednoduše spočítat obsah, protože výšky splývají s odvěsnami. Trojúhelník doplníme na obdélník, obsah obdélníku vydělíme dvěma a dostaneme obsah pravoúhlého trojúhelníku.

Goniometrické funkce všechny pravoúhlé trojúhelníky s dalším úhlem a jsou si podobné (podle věty uu) ⇒ mají stejný tvar ⇒ podle poměrů jejich stran zavádíme goniometrické funkce, které z úhlu tento poměr vyprodukují

Řešený příklad 1. Řešený příklad 2. Určete, která ze trojic čísel určuje délky pravoúhlého trojúhelníku: 4,5,6 b) 5,12,13 c) 5,1,4 Řešení: dosadíme do Pythagorovy věty 42 + 52 = 62 16 + 25 = 36 44 ≠ 36 → trojúhelník není pravoúhlý 52 + 122 = 132 25 + 144 = 169 169 = 169 → trojúhelník je pravoúhlý c) 5 + 1 > 4, 1 + 4 = 5 → NENÍ TROJÚHELNÍK Řešený příklad 2. Urči strany a vnitřní úhly pravoúhlého trojúhelníka s úhlem α = 32° a přeponou c = 12 γ = 90 ° β = 90° - 32 ° = 58 ° sin α = → a = sin α · c = sin 32 ° · 12 = 6,36 cos α = → b = cos α · c = cos 32 ° · 12 = 10,18 Odvěsny trojúhelníka ABC mají velikosti a = 6,36, b = 10,18.

Řešený příklad 3. V pravoúhlém trojúhelníku s přeponou a = 3 a odvěsnou b = 2 určete zbývající stranu a vnitřní úhly trojúhelníka. Řešení: a2 = b2 + 2c → c2 = a2 - b2 c = a2 - b2 = 32 – 2 2 = 5 sin cos Strana c má velikost √5, vnitřní úhly β = 41°49´ a γ = 48°11´. Řešený příklad 4. Odvoďte vzorec pro výpočet výšky v rovnostranném trojúhelníku, znáte-li délku jeho strany a.

Úloha 1. Vypočítejte délky stran a velikosti úhlů pravoúhlého trojúhelníka ABC s pravým úhlem při vrcholu C, je-li dáno: a = 7, α = 28 a = 0,8 dm, b = 15 cm c = 2,54, β = 6° Úloha 2. V rovnoramenném trojúhelníku ABC je dáno: ta = tb =6 cm, tc = 9,6 cm. Vypočítejte délky stran tohoto trojúhelníku.

Zdroje: J. POLÁK. Přehled středoškolské matematiky. Státní pedagogické nakladatelství: Praha. 1972 J. Kováčik, I. Schulzová. Řešené příklady z matematiky pro základní školy a osmiletá gymnazia. Praha: ASPI, 2008 J. Petáková. Matematika příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy.Prometheus: Praha. 1996 Z. Vošický. Matematika v kostce. Praha: Fragment, 2007 M. Krynický. realisticky.cz [online], Dostupný na http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=2 M. Palková a spol.. Průvodce matematikou II. Brno: Didaktis., 2009 J. Doležal. Základy geometrie. [online], Dostupný na http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/ZakladyGeometrie/Planimetrie/Planimetrie.html J. Drahovzalová. Shodná zobrazení.[online], Dostupný na http/clanky.rvp.cz/clanek/c/G/1744/shodna-zobrazeni.html/ M. Hudcová, L. Kubičíková: Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ. Prometheus: Praha. 2009 2 2