VY_32_INOVACE_04_PVP_215_Kli Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“ Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0258 Název projektu Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení vzdělávacího materiálu VY_32_INOVACE_04_PVP_215_Kli Druh učebního materiálu Prezentace Autor  Mgr. Květa Klímová

Vzdělávací obor, pro který je materiál určen Hotelnictví, Ekonomické lyceum, Obchodní akademie Předmět Matematika Ročník druhý Název tematické oblasti (sady) Funkce Název vzdělávacího materiálu Funkce - goniometrické funkce (1) Anotace Vzdělávací materiál obsahuje definice goniometrických funkcí ostrého úhlu jako poměry délek stran trojúhelníku. Slouží k výkladu látky, která je doplněna příklady. Může být použit ve 2. ročníku matematiky studijních oborů nebo ve 3. ročníku v matematickém semináři při opakování látky. Zhotoveno, (datum/období) červen 2013 Ověřeno 16. dubna 2014

Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

Podobnost pravoúhlých trojúhelníků Každé dva pravoúhlé trojúhelníky, které se shodují v jednom ostrém úhlu, jsou podobné (podle věty uu). Protože se každé dva podobné trojúhelníky shodují v poměrech délek všech stran, bylo vhodné tyto poměry pojmenovat, pro jednotlivé hodnoty úhlů vypočítat a sestavit do tabulek. Tyto poměry se nazývají goniometrické funkce a to sinus úhlu, kosinus úhlu, tangens úhlu a kotangens úhlu. Výpočty dnes obvykle provádíme na kalkulátoru.

Goniometrické funkce ostrého úhlu sinus úhlu 𝒔𝒊𝒏 𝜶= 𝒅é𝒍𝒌𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒕𝒊𝒍𝒆𝒉𝒍é 𝒐𝒅𝒗ě𝒔𝒏𝒚 𝒅é𝒍𝒌𝒂 𝒑ř𝒆𝒑𝒐𝒏𝒚 kosinus úhlu 𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝ř𝑒𝑝𝑜𝑛𝑦 tangens úhlu 𝑡𝑔𝛼= 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦 kotangens úhlu 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼= 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦 Vzhledem k úhlu alfa je strana: 𝑎……………𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑏………………𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑐…………………………𝑝ř𝑒𝑝𝑜𝑛𝑎

Zapište goniometrické funkce úhlu alfa jako poměry délek stran v příslušném pravoúhlém trojúhelníku: Trojúhelník KLM Trojúhelník PQR 𝑠𝑖𝑛𝛼= 𝑘 𝑚 𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝑙 𝑚 𝑡𝑔𝛼= 𝑘 𝑙 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼= 𝑙 𝑘 𝑠𝑖𝑛𝛼= 𝑞 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝑝 𝑟 𝑡𝑔𝛼= 𝑞 𝑝 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼= 𝑝 𝑞

Výpočty v pravoúhlém trojúhelníku Dopočítejte zbývající strany a úhly v pravoúhlém trojúhelníku ABC, jestliže: 𝒃=𝟏𝟐 𝒄𝒎, 𝒄=𝟏𝟑 𝒄𝒎 𝒂=𝟐𝟒 𝒄𝒎, 𝜶=𝟑𝟓°𝟏𝟓´ Výpočet: pomocí Pythagorovy věty odvěsnu a 𝑎= 𝑐 2 − 𝑏 2 pomocí funkce kosinus úhel alfa 𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝑏 𝑐 pomocí úhlu alfa úhel beta 𝛽=90°−𝛼 Výsledek: 5 𝑐𝑚, 22°37´,67°23´ Výpočet: pomocí úhlu alfa úhel beta 𝛽=90°−𝛼 pomocí funkce tangens stranu b 𝑏= 𝑎 𝑡𝑔𝛼 pomocí Pythagorovy věty přeponu c= 𝑎 2 + 𝑏 2 Výsledek: 54°45´,34 𝑐𝑚,42 𝑐𝑚

Hodnoty goniometrických funkcí vybraných úhlů Zapište přesné hodnoty goniometrických funkcí pro úhly 30°, 45°, 60°. K výpočtu využijte obrázky: 30° 45° 60° sinus 1 2 2 2 3 2 kosinus tangens 3 3 1 3 kotangens

Slovní úlohy Příklad č.2 Lanovka má délku 2 500 m. Její sklon je 32°. Jaký je výškový rozdíl dolní a horní stanice lanovky? Příklad č.1 Na břehu řeky je změřena vzdálenost AB = 20 m kolmá na směr AC. Z bodu B je vidět bod C na protějším břehu pod úhlem 60°. Jaká je vzdálenost bodů A, C? Řešení: pomocí funkce tangens. Šířka řeky je 34,6 m. Řešení: pomocí funkce sinus. Výškový rozdíl je 1324,8 m.

Slovní úlohy - procvičení Příklad č. 1 Dvě přímé ulice se křižují v místě K v úhlu 51°. Místo A na jedné z těchto ulic, vzdálené 1 625 m od křižovatky K, má být spojeno nejkratší cestou s druhou ulicí. Jak dlouhá bude tato spojka? (1 263 m) Příklad č. 2 Jaký je sklon žebříku délky 6,2 m, který je svým horním okrajem opřen ve výšce 5,12 m? (55°40´) Příklad č. 3 Určete poloměr kružnice, ve které ke středovému úhlu 66°20´ přísluší tětiva délky 66 cm. (60,32 cm) Příklad č. 4 Dvě navzájem kolmé síly působí v jednom bodě. Vypočtěte velikost výslednice, jestliže síly mají velikost 25,6 N a 44,8 N. Určete velikost úhlu, který svírá výslednice s kratší silou. (51,6 N; 60°15´)

Historická poznámka Podobně jako jiné vědy vznikla a rozvíjela se i nauka o goniometrických funkcích při řešení praktických úloh. Potřeba řešení úzce souvisela astronomií, mořeplavectvím a stavebnictvím. Některé znalosti měli již Egypťané, Babyloňané a Chaldejci, od kterých ve 4. st. př. n. l. získali základní poznatky starořečtí matematici. Například dělení plného úhlu na 360° a stupeň na 60´. Dnešní podobu trigonometrie vytvořil petrohradský akademik švýcarského původu Leonhard Euler (1707-1783). Rozšířil definici goniometrických funkcí na všechny úhly.

Použitá literatura: PAVLÍKOVÁ, Pavla a SCHMIDT, Oskar. Základy matematiky. Vyd. 1. Praha: Vydavatelství VŠCHT, 2006. vi, 264 s. ISBN 80-7080-615-X. ODVÁRKO, Oldřich. Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia. Funkce. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 112 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-050-0. klodner, Jaroslav. Sbírka úloh z matematiky pro obchodní akademie. 2. vyd. Svitavy: Svitavská tiskárna, 1995. 166 s.  Použité zdroje: Pro sestrojení grafů jsem použila program GeoGebra. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.