Iman – Conoverova metoda Agregace rizik Iman – Conoverova metoda Iva Justová SAV 10. 11. 2006

Obsah Úvod Míry asociace IC metoda Metoda normální kopuly Základní myšlenka Teoretické odvození Algoritmus Referenční rozdělení Metoda normální kopuly Srovnání IC metody a metody normální kopuly Praktický příklad Závěr – odkazy

Úvod Kvantifikace celkového rizika Užití IC metody v tomto procesu Formulace modelů korelovaných rizik Kombinace modelů korelovaných rizik Parametrizace modelu korelovaných rizik Užití IC metody v tomto procesu Vzorky z marginálních rozdělení → kombinace → požadovaná korelační struktura Stephen J. Mildenhall Correlation and Aggregate Loss Distributions With An Emphasis On The Iman-Conover Method

Míry asociace Lineární (Pearsonův) korelační koeficient Dostatečné pro normální rozdělení Normalizační transformace Pořadová (Spearmanova) korelace Lineární korelace pořadí vzorku Kendallovo tau Invariantní vůči striktně monotónním transformacím Maximum pro neklesající funkce

IC metoda Základní myšlenka Rozšíření do více dimenzí Máme dva vzorky X a Y n hodnot ze známých marginálních rozdělení a požadovanou korelaci ρ Určíme vzorek n x 2 z dvourozměrného referenčního rozdělení s lineární korelací ρ Přeuspořádáme vzorky X a Y tak, aby měly stejné pořadí jako vzorek z referenčního rozdělení Výsledkem je vzorek z dvourozměrného rozdělení s příslušnými marginály a stejným pořadovým korelačním koeficientem jako dvourozměrné rozdělení s lineárním korelačním koeficientem ρ Rozšíření do více dimenzí Pořadová a lineární korelace bývají podobné → výstup má přibližně požadovanou korelační strukturu

IC metoda Výhody Vitale´s Theorem Jednoduchý algoritmus k určení vzorku z referenčního rozdělení Efektivní i v MS Excel Nezáleží na typu vstupních marginálních rozdělení Výsledný vzorek obsahuje stejné hodnoty jako vstupní, pouze jinak spárované Vitale´s Theorem Nechť U a V jsou dvě libovolné náhodné veličiny. Potom existuje posloupnost funkcí S1, S2, … taková, že (U,SnU) konverguje v distribuci k (U,V) pro . … cyklická permutace

IC metoda – Teoretické odvození M(n x r) Matice n vzorků z r-rozměrného rozdělení Sloupce nekorelované s nulovým průměrem a jednotkovou směrodatnou odchylkou Kovarianční matice = korelační matice = n-1M´M = I S(r x r) Požadovaná pozitivně definitní korelační matice Choleskiho rozklad S = C´C T = MC Průměr ve sloupcích = 0, směrodatná odchylka = 1 Korelační matice = S (n-1T´T = n-1C´M´MC = C´C = S) IC metoda spočívá v přeměně M (snadná simulace) v T (požadovaná korelační struktura S)

IC metoda – Teoretické odvození Tvorba matice M Vytvoříme sloupec matice M a r-krát ho nakopírujeme Hodnoty ve sloupcích náhodně permutujeme → nezávislost Skóry → tvar výsledného vícerozměrného rozdělení Normální skóry Simulace N(0,1), úprava na nulový průměr a jednotkovou směrodatnou odchylku Stratifikovaný výběr z N(0,1) Nulový průměr Polovina hodnot

IC metoda – Teoretické odvození Korelační matice M bude rovna I jen přibližně E = n-1M´M korelační matice M E singulární → permutace ve sloupcích matice M Choleskiho rozklad E = F´F T = MF-1C Sloupce nulový průměr Kovarianční matice Referenční rozdělení T má přesně korelační strukturu S

IC metoda – Algoritmus Vstup Matice X(n x r) n vzorků z každého z r marginálních rozdělení Požadovaná korelační matice S Vytvoříme sloupec skórů a upravíme, aby se směrodatná odchylka rovnala jedné Zkopírujeme skóry r-krát → matice M V každém sloupci matice M náhodně přeházíme hodnoty Spočteme korelační matici E = n-1M´M Určíme Choleskiho rozklad E, E = F´F Určíme Choleskiho rozklad S, S = C´C

IC metoda – Algoritmus Spočteme matici T = MF-1C Určíme matici Y přeuspořádáním každého sloupce matice X, aby pořadí hodnot ve sloupcích bylo stejné jako v matici T Výstupem je matice Y(n x r) Sloupce jsou permutací odpovídajících sloupců matice X Korelační matice je přibližně S Pořadová korelační matice je stejná jako pro r-rozměrné rozdělení s korelační maticí S Detailnější popis algoritmu na www.mynl.com/wp

IC metoda – Ilustrativní příklad

IC metoda – Ilustrativní příklad Y =

IC metoda – Referenční rozdělení Skóry Normální skóry (IC metoda) Exponenciální rozdělení Rovnoměrné rozdělení Libovolné rozdělení (průměr 0, směrodatná odchylka 1) Choleskiho rozklad (IC metoda) Simulace referenčního rozdělení s danou korelační maticí Eliptická rozdělení (t rozdělení, Laplaceovo rozdělení)

Metoda normální kopuly Vstupem je vektor rizik s marginálními distribučními funkcemi Fi a Kendallovými tau nebo pořadovými korelačními koeficienty Určíme korelační koeficienty a Choleskiho rozklad na S = C´C Generujeme r náhodných veličin z N(0,1) Položíme Z = YC Položíme Výstupem je vzorek Marginální rozdělení Fi Korelační matice je přibližně S

Srovnání IC a NC metody Podstata je podobná IC – matici X s marginály Fi přeuspořádáme podle matice T s požadovanou korelační strukturou NC – vektor Z s přibližně požadovanou korelační strukturou přetransformujeme, aby marginály byly Fi Metody si odpovídají pouze při použití normálních skórů a Choleskiho rozkladu v IC metodě IC metodu aplikujeme na daný vzorek z marginálního rozdělení, NC metoda vzorek generuje invertováním distribučních funkcí jako součást procesu

Srovnání IC a NC metody Referenční rozdělení má u IC metody přesně požadovanou korelační strukturu, u NC metody pouze přibližně Vzorky mají u IC metody pořadovou korelaci stejnou jako vzorek z referenčního rozdělení se správnou lineární korelací. Vzorky normální kopuly mají přibližnou lineární i pořadovou korelaci Vzorek z IC metody musí být brán jako celek (případně náhodné řádky), u NC metody má vzorek z každé iterace přibližně požadované rozdělení Obě metody uvažují pouze lineární závislost

Praktický příklad Sdružené rozdělení agregovaných čistých (retained) a postoupených (ceded) škod při XL zajištění Určení rozdělení čistých výsledků pojišťovny, kdy zajištění obsahuje variabilní prvky Marginální rozdělení Individuální škody Pojistný limit 1 milion USD XL zajištění, priorita a = 200 000 USD, limit = 800 000 USD Výše škody má lognormální rozdělení, Počet škod má negativně binomické rozdělení E(X) Hrubé Čisté Cedované Výše škody 47 439 31 591 290 985,3 Počet škod 527 28,7 Agregace 25 000 000 16 648 209 8 351 790

Praktický příklad Korelační koeficient IC metoda Agregované škody – posunuté Gamma rozdělení Korelační koeficient X, Y jsou komonotonické, nicméně R a C obecně nejsou IC metoda 10 000 pozorování čistých a postoupených škod Výstup – matice 10 000 x 2 vzorku z dvourozměrného rozdělení

Praktický příklad

Závěr Software Literatura LAPACK (Linear Algebra PACKage) Algebraické operace s maticemi, Choleskiho rozklad, … www.netlib.org/lapack SCARE (Simulating, Correlated Aggregation and Risk Engine) IC metoda, kopuly, Choleskiho rozklad, … www.mynl.com/wp Literatura Stephen J. Mildenhall Correlation and Aggregate Loss Distributions With An Emphasis On The Iman-Conover Method Casualty Actuarial Society Winter Forum 2006, pages 103-203

Děkuji za pozornost