Vektory v geometrii a ve fyzice Václav Havel, KOF – FPE ZČU v Plzni

Definice a vlastnosti vektorů Volným vektorem rozumíme množinu shodných, souhlasně orientovaných úseček. Tato množina je určena kterýmkoliv svým prvkem. Označování vektorů A B Vektor

Souřadnice vektorů Zvolíme v prostoru pravoúhlý souřadnicový systém (O,x,y,z). Průměty ax , ay , az vektoru a nazveme souřadnicemi vektoru.

az a z y O ay x ax

Příklady Jaké souřadnice musí mít vektor, aby Ležel na ose x ? Na ose y ? Na ose z ? Ležel v rovině Oxy, Oxz, Oyz ? Je dán vektor a = AB . Jak určíme souřadnice vektoru, známe-li souřadnice koncových bodů A ?

Ukažte, že velikost úsečky AB z předchozího příkladu je dána vztahem

Vázaný vektor, směrové kosiny Volný vektor a můžeme podle definice chápat jako množinu. Všechny její prvky mají stejné vlastnosti. Vektor, jehož počáteční bod pevně zvolíme, nazýváme vektorem vázaným. Mezi vektory a si zvolíme vázaný vektor, který má počáteční bod v počátku souřadné soustavy. Veličinu nazýváme velikostí vektoru.

z y x Jsou směrové kosiny

Sčítání a odečítání vektorů Definice vektoru by byla bezobsažná, kdybychom nedefinovali základní aritmetické operace s vektory Definice a , b jsou dva vektory umístěné tak, že počáteční bod vektoru b leží v koncovém bodě vektoru a. Součtem obou vektorů je vektor c , jehož počáteční bod je dán počátečním bodem vektoru a a koncový bod je určen koncovým bodem vektoru b.

Vlastnosti součtu vektorů Vektorový součet je komutativní: Pro souřadnice platí:

Vektor opačný k vektoru a Je vektor stejné velikosti a směru, ale opačné orientace. Opačný vektor značíme –a .

Vektor nulový Rozdíl vektorů Vektor nulový má velikost rovnou nule. Splňuje vztah : Rozdíl vektorů Rozdílem c vektorů a , b je součet vektoru a a vektoru -b

Skládání tří a více vektorů

Tvoří-li vektory uzavřený mnohoúhelník a jsou-li orientovány ve stejném smyslu, je jejich výslednice nulovým vektorem. Příklady Stanovte směrové kosiny vektoru jaký vektor musíme přičíst k vektoru (1,0,1), abychom dostali vektor (5,3,6) ? Ukažte, že souřadnice vektoru jsou

Skalární násobek vektoru Definice: Nechť je k reálné číslo, a nenulový vektor.Součin k. a je vektor o velikosti |k|.|a|, který je souhlasně rovnoběžný s vektorem a, když je k kladné číslo, je nesouhlasně rovnoběžný, když je k číslo záporné a je nulový, když k = 0. Pro souřadnice platí:

Lineární nezávislost vektorů Skupinu vektorů nazýváme lineárně nezávislou, lze-li rovnost splnit jedině tak, že čísla

V rovině jsou dva vektory lineárně nezávislé, když nejsou rovnoběžné V rovině jsou dva vektory lineárně nezávislé, když nejsou rovnoběžné. Každé tři a více vektorů v rovině jsou lineárně závislé. V prostoru jsou tři vektory lineárně nezávislé, když nejsou komplanární (rovnoběžné s toutéž rovinou). Každá skupina čtyř nebo více vektorů v prostoru je lineárně závislá. Je-li skupina vektorů lineárně závislá, může být některý z vektorů vyjádřený jako lineární kombinace ostatních. Vektory, které určují souřadnicové osy musí být vždy lineárně nezávislé.

Rovnice přímky a roviny Přímka je určena dvěma různými body A,B, tedy vektorem AB Vektory AP a AB=a jsou rovnoběžné, tedy AP = p a , kde p je číslo Vyjádříme-li vektor AP= (P-A), bude P – A = p a a tedy P = A + p a (1) Probíhá-li číslo p (parametr) všechna reálná čísla, probíhá bod P všechny body přímmky. Rovnice (1) se nazývá parametrickou rovnicí přímky. P B A

Vyjádření rovnice přímky v souřadnicích Označíme souřadnice bodu A= [Ax , Ay , Az ], a souřadnice vektoru a = (ax , ay , az), bude

Příklad Určete rovnici přímky procházející bodem A = [1,2,4] a určenou vektorem b = (3,3,2)

Rovnice roviny P a b A

Rovnice roviny v souřadnicích Zde x , y, z jsou souřadnice bodu P Těmto rovnicím říkáme parametrické rovnice roviny.

Příklad Určete parametrické rovnice roviny určené body Určíme vektory a , b Hledaná parametrické rovnice roviny budou:

Polohový vektor (radiusvektor) Polohu libovolného bodu můžeme určit vektorem, jehož počáteční bod leží v počátku soustavy souřadnic a koncový bod v uvažovaném bodě. Takový vektor nazýváme polohovým vektorem (radiusvektorem). Označení z r y O x

Jednotkový vektor Jednotkový vektor má velikost rovnou 1. Jednotkový vektor ve směru vektoru a vypočteme podle vztahu:

Jednotkové vektory ležící ve směru os x , y, z označujeme Libovolný vektor můžeme rozložit v součet tří vektorů ležících ve směrech souřadnicových os. Speciálně pro radiusvektor je:

Skalární součin dvou vektorů Definice: Skalárním součinem vektorů a , b je skalár (číslo) b φ a

Vlastnosti skalárního součinu Skalární součin je komutativní: Skalární součin je nulový, když je jeden z činitelů nulový nebo jsou vektory k sobě kolmé. Pro jednotkové vektory ve směru os platí“ Pro součin vektorů vyjádřených v kartézských souřadnicích platí:

Poznámky V nové matematické i fyzikální literatuře se skalární součin označuje tečkou mezi činiteli. Ve starší literatuře se nazýval „vnitřním součinem“ a označoval se (a b) .

Užití skalárního součinu ve fyzice Jestliže síla působí na hmotný bod svírá s tečnou k trajektorii úhel α, je elementární práce dána vztahem :

Užití v geometrii Rovnice roviny P je pata kolmice spuštěné z počátku na rovinu X je libovolný bod roviny OP= r P n X OP=d´ n je normála k rovině Pro všechny body roviny je O

Je-li a , Potom bude . Rovnici roviny píšeme obvykle v tzv. kanonickém tvaru:

Stanovte skalární součin následujících dvojic vektorů Nalezněte vektor kolmý k rovině určené parametrickými rovnicemi:

Určete rovnici procházející bodem a kolmou na vektor

Vektorový součin dvou vektorů Definice Vektorovým součinem nazýváme vektor těchto vlastností: 1. Má velikost danou vztahem , 2. Je kolmý k rovině určené oběma vektory 3. Je orientován tak, že vektory tvoří pravotočivý trojhran.

Vlastnosti vektorového součinu 1. Jsou-li vektory lineárně závislé(rovnoběžné), je 2. Pro jednotkové vektory na osách platí: 3.Vektorový součin je antikomutativní :

Vyjádření vektorového součinu v souřadnicích Vyjádření pomocí determinantu:

Užití vektorového součinu Rovnice přímky O

Moment síly F vzhledem k bodu A P působiště síly A momentový bod O počátek soustavy souřadnic P A O

Příklady Vypočtěte vektorový součin následujících dvojic vektorů Vypočtěte plošný obsah trojúhelníka ABC, kde

Dyádycký součin vektorů Dyádyckým součinem dvou vektorů (dyádou) budeme rozumět matematický objekt, který je ve třírozměrném prostoru charakterizován devíti skalárními veličinami, které můžeme napsat ve formě čtvercové matice:

Dyádu složenou z vektorů a , b zapisujeme ve tvaru (a b). Rozepíšeme-li vektory ve složkách a užijeme distributivního zákona, obdržíme:

Vlastnosti dyádyckého součinu Dyádycký součin není komutativní, tedy . Důležitý je skalární součin vektoru a dyády. Je nutno rozlišit násobení vektorem zleva a zprava: V prvním případě je výsledkem vektor b násobený číslem (v . a) , ve druhém případě dostáváme vektor a , násobený číslem (b .v) .

Složitější součiny vektorů 1. Součin (a.b ) c je vektor rovnoběžný s vektorem a . Tento součin může být zapsán jako skalární součin vektoru a a dyády (a b ): 2. Součin typu a. ( b x c ) . Výsledkem je skalární veličina (správně pseudoskalár, neboť jeho znamení závisí na orientaci os), jejíž absolutní hodnota udává objem rovnoběžnostěnu, vytvořeného těmito třemi vektory.

b x c a c b

Vlastnosti smíšeného součinu: a) Smíšený součin se nezmění, když činitele cyklicky zaměníme b) Když dva činitele zaměníme, smíšený součin změní znaménko c) Smíšený součin je nulový, když jsou vektory komplanární (rovnoběžné s touž rovinou).

Vyjádření smíšeného součinu v souřadnicích: Příklad Stanovte objem čtyřstěnu určeného body: K výpočtu užijte vztahu:

Rovnice roviny Libovolný bod roviny je dán svým radiusvektorem r . Pevně zvolený bod A má radiusvektor r A . Vektory určující rovinu jsou a , b. Smíšený součin vektorů (r – rA), a , b musí být nulový. Proto rovnice roviny bude:

Vektorová funkce skalárního argumentu Když každému číslu z intervalu I přiřadíme vektor v , říkáme , že na intervalu je definována vektorová funkce skalárního argumentu, což zapisujeme jako v(t). Vektory můžeme při znázornění vynést z jednoho bodu, jak je to znázorněno na obrázku. V(t)

Souřadnice takového vektoru jsou obyčejnými reálmými funkcemi téže proměnné. Pojem limity a spojitosti můžeme snadno přenést na vektorové funkce. Vektorová funkce v (t) má v bodě t0 limitu b , když mají limitu souřadnice a platí: Podobně definujeme spojitost vektorové funkce.

Derivace vektoru podle skalárního argumentu Δ a(t) a(t+Δt)

Rovnice tečny k prostorové křivce Na křivce zvolíme pevný bod A. tečnu sestrojíme v bodě P. polohu libovolného bodu křivky můžeme určit jeho radiusvektorem nebo jeho vzdáleností s od bodu a, měřenou na křivce. Radiusvektor je potom funkcí s. Tento parametr se nazývá přirozeným parametrem křivky r = r(s) . t0 je jednotkový vektor ve směru tečny. P t0 Rovnice tečny bude: rP r

Vlastnosti derivace