Opakování finanční matematiky Vladislav Vacek

Kontakt Ing. Vladislav Vacek KH: po domluvě mail: xvacv15@vse.cz telefon: +420 739 407 380

Obsah Časová hodnota peněz Úročení, diskontování Anuity Úvěrové schéma IRR RPSN Solver - hledání řešení

Časová hodnota peněz “Koruna dnes má větší hodnotu než koruna zítra.” Při srovnávání peněžních stavů nebo toků je potřeba vztáhnout je ke stejnému časovému okamžiku (úročením nebo diskontováním)

Jednoduché úročení úroky nejsou reinvestovány a úročí se tedy pouze vklad FV… budoucí hodnota PV… investovaná částka, současná hodnota i… úroková míra n…počet úrokových období

Složené úročení úroky jsou reinvestovány a úročí se společně s vkladem

Diskontování (odúročení) Opačná operace k úročení Známe FV a hledáme PV Úročením vztahujeme peněžní toky do budoucnosti (určujeme FV), diskontováním do minulosti (určujeme PV)

Příklad 1 Jaký byl počáteční kapitál a úroková sazba, při které byl uložen, pokud víme, že po roce byl jeho stav 60 000 CZK a po 3 letech 84 000 CZK při ročním úrokovém období. Úroky jsou připisovány ke vkladu a dále úročeny spolu s ním stejnou sazbou.

Řešení Sestavíme rovnice dle zadání Dělíme druhou rovnici první

Příklad 2 Určete, o kolik procent musí klient uložit na svůj účet více v případě jednoduchého úročení než v případě složeného úročení, aby měl v obou případech na konci šestého roku na svém účtu stejnou částku. Předpokládejme úrokovou sazbu 7 % p.a. a roční úrokové období.

Řešení Označme hledané procento jako k. Ze zadání platí: Z toho po úpravě

Anuity Série pravidelných plateb FV součet – kolik naspoříme =spoření PV součet – kolik potřebujeme k výplatě důchodu (=důchod), současná hodnota (investice)

Spoření pravidelné ukládání určitých částek pro naše účely pravidelné úložky ve stejné výši (konstantní anuity) určujeme zpravidla budoucí hodnotu

Krátkodobé spoření v rámci 1 úrokového období úroky přičteny na konci jednoduché úročení úroky tvoří aritmetickou posloupnost ukládáme-li částku počátkem dílčího období (měsíce apod.), jedná se o předlhůtní spoření ukládáme-li částku koncem dílčího období, jedná se o spoření polhůtní

m…počet dílčích období (vkladů),A…výše vkladu i…úroková míra Předlhůtní: Celkem pak je budoucí hodnota Polhůtní:

Dlouhodobé spoření každé úrokové období je vložena jedna úložka A více úrokových období (n) Předlhůtní: Polhůtní:

Kombinované spoření dlouhodobé polhůtní spoření, kdy je ukládáno více úložek pravidelně v rámci jednoho úrokového období celková úložka v rámci jednoho období se vyčíslí pomocí krátkodobého spoření jinak řečeno se peněžní toky v rámci 1 období převedou ke konci tohoto období a s výslednou částkou se počítá jako s úložkou dlouhodobého polhůtního spoření

Předlhůtní Polhůtní

Příklad Kolik uspoří účastník stavebního spoření za 6 let, bude-li spořit koncem každého měsíce pravidelně 3000 CZK při úrokové sazbě 3,5 % p.a. (roční připisování)? Státní podpora činí koncem každého roku 10 % z naspořené částky (za daný rok) a její výše nesmí překročit za rok 2000 CZK.

Řešení Naspořená částka bez podpory celkem Podpora za rok Celkově podpora v budoucí hodnotě Celkem

Důchod důchod – pravidelně vyplácené částky (anuity) budeme určovat převážně současnou hodnotu těchto plateb tj. kolik potřebuji dnes, abych mohl dostávat X Kč měsíčně po n let apod. vztah mezi důchodem a spořením S… budoucí hodnota anuit (spoření),D….současná hodnota anuit (důchod)

Bezprostřední předlhůtní diskontujeme platby k počátku

Bezprostřední polhůtní

Odložený o r období diskontuji hodnotu plateb vztažených k r-tému období (pomocí důchodu bezprostředního) o r období předlhůtní polhůtní

Důchod věčný pro předlhůtní polhůtní

Příklad 1 Jaká je výše uložené částky na termínovaný vklad, úročený 3,2% p.a., roční připisování úroků, jestliže chceme na konci každého roku po dobu 12 let pobírat důchod 60000 EUR a na konci každého měsíce si banka účtuje poplatek 21 EUR.

Řešení Dle zadání platí

Příklad 2 Jakou částku musíme mít dnes na účtu, abychom mohli dostávat měsíčně polhůtně důchod 10 000 Kč po dobu 9-ti let, jestliže je účet úročen od počátku 3,6 % p.a., ale po 4 letech se úroková míra sníží na 2 % p.a.? Uvažujte pololetní připisování úroků.

Řešení Rozložíme zvažovaný důchod na dva typy – bezprostřední polhůtní s úrokovou sazbou 3,6 % p.a. a odložený polhůtní s 2 % p.a., přičemž pro dobu odkladu zvažujeme 3,6 % p.a., tedy

PV(půjček) = PV(splátek) Splácení úvěru Splacení úvěru je ekvivalentní s PV(půjček) = PV(splátek)

Konstantní anuita současná hodnota splátek rovna výši úvěru (D) z toho pak splátka máme-li zadáno a, pak je doba splácení n

n nemusí být celé číslo – pak je poslední splátka (b) odlišná od a

Úvěrové schéma sloupce: splátka – předchozí vzorec, nebo 1. prázdná k dopočtení a další = předchozí (případně progrese/degrese) úrok = úroková sazba/počet splátek v roce x předchozí zůstatek úmor = splátka – úrok zůstatek

Příklad 1 Investice se životností 9 let ve výši 18 mil. Kč je financována bankovním úvěrem získaným za úrokovou sazbu 7,5 % p.a.. Úvěr bude splácen stejnými částkami na konci každého roku během doby životnosti investice (mimo posledního). Na konci doby životnosti investice očekáváme, že prodáme investici za 4,5 mil. Kč a tuto částku používáme na jednorázovou úhradu zůstatku úvěru. Určete za těchto podmínek výši roční splátky na tento úvěr.

Řešení Diskontujeme všechny peněžní toky k počátku transakce. Neboli

Příklad 2 Dluh ve výši 700 000 Kč má být splácen při úrokové sazbě 8,5 % p.a. deseti ročními splátkami, z nichž každá následující splátka je třikrát větší než předchozí splátka. Určete výši předposlední splátky.

Řešení pak předposlední splátka je

Příklad 3 Hypoteční úvěr ve výši 3,2 mil. Kč bude splácen 20 let vždy koncem roku konstantními anuitami při úrokové sazbě 4,5 % p.a. V 15. roce dojde k mimořádné splátce ve výši 120 tis. Kč. Určete zůstatek dluhu na konci 15. roku a výši splátky v prvních 15ti letech.

Řešení Anuita Dále výhodné řešit např. v Excelu Zůstatek po 15. roce 959 950,35 Kč.

Konvenční peněžní toky peněžní tok může být kladný i záporný jsou-li peněžní toky počínaje některým okamžikem pouze kladné, mluvíme o konvenčních peněžních tocích (z investice) v opačném případě se označují jako nekonvenční peněžní toky pro konvenční peněžní toky je možné zavést pojem vnitřní výnosové procento (v opačném případě neexistuje jednoznačné řešení)

Vnitřní výnosové procento (IRR) úroková míra, při které se současná hodnota peněžních toků rovná nule

Příklad Investujeme 1 000 000 Kč. Na konci 1. roku obdržíme 700 000 Kč, na konci dalšího roku částku 520 000 Kč. Určete roční vnitřní výnosové procento (IRR) investice. Řešte jak obecně, tak i číselně.

Řešení Ze zadání platí: Po úpravách dostaneme kvadratickou rovnici Diskriminant Řešení má pak tvar Záporné řešení nemá význam.

Alternativně v Excelu – rozepsat peněžní toky za sebe, kapitálový výdaj se záporným znaménkem. Použít funkci MIRA.VYNOSNOSTI

RPSN udává procentuální podíl z dlužné částky, který musí spotřebitel zaplatit za období jednoho roku v souvislosti se splátkami, správou a dalšími výdaji spojenými s čerpáním úvěru vyjadřuje úrokovou míru, pro kterou se rovná čistá současná hodnota přijatých půjček čisté současné hodnotě výdajů na ně (splátky, poplatky atd.) (= IRR peněžních toků z půjčky)

Příklad Klient si bere od banky spotřebitelský úvěr ve výši 580000 Kč poskytnutý za úrokovou sazbu 8 % p.a. a zavazuje se jej splácet stejnou částkou měsíčně polhůtně po dobu 3 let. Určete: a) výši měsíční splátky b) výši roční procentní sazby nákladů (RPSN) tohoto úvěru, když banka požaduje od klienta poplatek za vyřízení žádosti o poskytnutí úvěru ve výši 1 % požadované částky, tato částka však nesmí být nižší než 500 Kč a banka také účtuje za správu úvěru v průběhu jeho splácení částku 180 Kč čtvrtletně.

V Excelu-přehled fcí FV, BUDHODNOTA PV, SOUČHODNOTA Pozor na sazbu, roční/počet period v roce (měsíční splátky/úročení -> i/12) PMT, PLATBA IRR, MÍRA.VÝNOSNOSTI (někdy nutný odhad, tj. v jakém řádu je požadovaný výsledek)

Solver = Goal Seek = Hledání řešení Již jsme použili Hledá řešení x rovnice f(x) = k Kde najít? Data-Citlivostní analýza (Analýza hypotéz)-Hledání řešení Nastavená buňka obsahuje f(x), cílová hodnota je k, měněná buňka = x

Příště na programu RPSN a IRR – na příkladech se stavebním spořením