Užití podobnosti v praxi * 16. 7. 1996 Užití podobnosti v praxi Matematika – 9. ročník *

Podobnost Matematická podobnost 6 cm 𝑩´𝑪´ : 𝑩𝑪 =𝟔 :𝟑=𝟐 D C 3 cm A´ B´ 12 cm A B 6 cm 𝑨´𝑩´ : 𝑨𝑩 =𝟏𝟐 :𝟔=𝟐 Podobné jsou takové útvary, které mají stejný poměr vzdáleností odpovídajících si bodů. obraz : vzor 𝑨´𝑩´ : 𝑨𝑩 = 𝑩´𝑪´ : 𝑩𝑪 = 𝑨´𝑪´ : 𝑨𝑪 = 𝑩´𝑫´ : 𝑩𝑫 = …

Podobnost Poměr podobnosti C´ 6 cm 𝑩´𝑪´ : 𝑩𝑪 =𝟔 :𝟑=𝟐 D C 3 cm A´ B´ 12 cm 𝑨´𝑩´ : 𝑨𝑩 =𝟏𝟐 :𝟔=𝟐 A B 6 cm Tento poměr lze vyjádřit číslem 𝒌= 𝑨´𝑩´ 𝑨𝑩 = 𝑩´𝑪´ 𝑩𝑪 = 𝑨´𝑪´ 𝑨𝑪 = 𝑩´𝑫´ 𝑩𝑫 = …; číslo k (k > 0) nazýváme poměr (koeficient) podobnosti.

Podobnost Poměr podobnosti C´ D C 𝑂 1 3 cm 𝑂 2 6 cm A 6 cm B A´ B´ 12 cm Obdélníky ABCD a A´B´C´D´ jsou podobné. Poměr podobnosti těchto obdélníků k = 2 Podobnost zapisujeme: 𝑶 𝟏 ~ 𝑶 𝟐 . V jakém poměru jsou velikosti vnitřních úhlů toho obdélníka? Podobné útvary mají shodné odpovídající si úhly.

Podobnost Poměr podobnosti C´ D C k > 1 3 cm 6 cm zvětšení délek A 6 cm B D C A´ 12 cm B´ D´´ C´´ k < 1 3 cm 1,5 cm zmenšení délek A´´ 3 cm B´´ A 6 cm B D C D´´´ C´´´ k = 1 3 cm zachování délek A 6 cm B (shodnost) A´´´ B´´´

Užití podobnosti v praxi Honzík Surveyor se rozhodl, že se pokusí změřit výšku stromu u nich na sídlišti. Vzal si na pomoc dřevěnou tyčku, o níž věděl, že měří přesně 2,5 metru a měřící pásmo. Vedle stromu postavil tyč, a poněvadž byl krásný slunečný den, změřil délku jejího stínu. Poté změřil i délku stínu, který vrhal strom. Jak vysoký je strom, když délka stínu tyče je 220 cm a délka stínu stromu 30,8 m? x m 2,5 m 220 cm 30,8 m

Užití podobnosti v praxi Výpočet: Poněvadž jsou trojúhelníky podobné podle věty uu, platí: 𝒙 𝟐,𝟓 = 𝟑𝟎,𝟖 𝟐,𝟐 / · 𝟐,𝟓 𝒙= 𝟑𝟎,𝟖 𝟐,𝟐 ·𝟐,𝟓 𝒙=𝟑𝟓 𝒙=𝟑𝟓 𝐦𝐞𝐭𝐫ů x m Strom měří 35 metrů. 2,5 m 220 cm 30,8 m

Užití podobnosti v praxi Honzíkovi se měření zalíbilo, a tak se druhý den rozhodl změřit i výšku komínu u nedaleké továrny. Vzal si opět svoji dřevěnou tyčku, o níž věděl, že měří přesně 2,5 metru a měřící pásmo. Bohužel dneska bylo zataženo a tak stíny použít nemohl. Našel si tedy místo, ze kterého jedním okem viděl od země vršek komína přesně za horním koncem tyče. Změřil, že vzdálenost oka od dolního okraje tyče je 3 metry a vzdálenost tyče od komínu je 48 metrů. Jak vysoký byl komín? x m 2,5 m 3 m 48 m

Užití podobnosti v praxi Výpočet: Poněvadž jsou trojúhelníky podobné podle věty uu, platí: 𝒙 𝟐,𝟓 = 𝟓𝟏 𝟑 / · 𝟐,𝟓 𝒙= 𝟓𝟏 𝟑 ·𝟐,𝟓 𝒙=𝟒𝟐,𝟓 𝒙=𝟒𝟐,𝟓 𝐦𝐞𝐭𝐫ů x m Komín měří 42,5 metrů. 2,5 m 3 m 48 m

Užití podobnosti v praxi Třetí den se Honzík rozhodl změřit výšku místní rozhledny. Bohužel celou noc pršelo a země byla značně rozbahněná, a tudíž si na zem lehat určitě nechtěl. Ovšem i tentokrát si poradil. Našel si kaluž a postavil se tak, aby viděl vrchol věže odražený v kaluži. Potom změřil vzdálenosti kaluže od paty rozhledny (32,5 metru) a svojí vzdálenost od kaluže (260 cm). Jak vysoká je rozhledna, když Honzovy oči jsou ve výšce 150 cm nad zemí? x m 150 cm 32,5 m 260 cm

Užití podobnosti v praxi Výpočet: Poněvadž jsou trojúhelníky podobné podle věty uu, platí: 𝒙 𝟏,𝟓 = 𝟑𝟐,𝟓 𝟐,𝟔 / ·𝟏,𝟓 𝒙= 𝟑𝟐,𝟓 𝟐,𝟔 ·𝟏,𝟓 𝒙=𝟏𝟖,𝟕𝟓 𝒙=𝟏𝟖,𝟕𝟓 𝐦𝐞𝐭𝐫ů x m Rozhledna měří 18,75 metrů. 150 cm 32,5 m 260 cm