Mechanika s Inventorem 2. Základní pojmy Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Tomáš MATOVIČ, publikace

Obsah přednášky: Lagrangeův variační princip 3 Symetrie 8 Diskretizace 11 Okrajové podmínky 13 Singularita 19 Výpočtový model 23 Výstupy a závěrečná diskuse 24

Lagrangeův variační princip Definice: Mezi všemi funkcemi posuvů zachovávajících spojitost tělesa a splňujících geometrické okrajové podmínky, se realizují ty posuvy, které udílejí potenciální energii Π stacionární hodnotu. Π … celková potenciální energie tělesa W … energie napjatosti tělesa P … potenciál vnějšího zatížení Poznámka: stacionární hodnota Π představuje minimum

Lagrangeův variační princip Legenda: k … konstanta tuhosti pružiny [Nmm-1] m … hmotnost tělesa [kg] g ... gravitační zrychlení [ms-2] F … gravitační síla [N] u … deformace pružiny [mm]

Lagrangeův variační princip Platí:

Lagrangeův variační princip Hledáme minimum funkce Π = Π(u), což odpovídá parciální derivaci Π(u) podle deformace (posuvu) u.

Lagrangeův variační princip Legenda: Πmin … minimum funkce celkové potenciální energie tělesa Π = Π(u)

Symetrie 3D geometrické modely (CAD data) mohou mít osy a roviny symetrie vlastnosti symetrie lze s výhodou využít výsledky MKP analýzy s využitím symetrických vlastností jsou totožné jako u MKP analýzy bez zahrnutí symetrie vede na výrazně menší výpočtový model (poloviční, čtvrtinový) → menší počet uzlů a elementů → menší počet rovnic → snížení času nutného pro výpočet vede při zachování velikosti modelu na mnohem jemnější síť výrazné zjednodušení definice okrajových podmínek

Symetrie

Symetrie

Diskretizace 3D geometrické modely (CAD data) jsou rozděleny na konečný počet částí (elementů) objem a tvar modelu je vyplněn elementy s dostatečnou přesností výsledkem procesu síť konečnoprvkového modelu výrazné ovlivnění získaných výsledků – hustota sítě (velikost elementu, počet elementů a tolerance vyplnění) výpočtová náročnost úlohy roste výrazně s hustotou sítě – větší počet algebraických rovnic kontinuální těleso je nahrazeno konečným prvkem elementů – diskretizováno jednotlivé elementy v matematických bodech se známými souřadnicemi v prostoru tzv. uzlech

Diskretizace síť elementů (prvků) lze v problematických místech zahušťovat obecně: Získané výsledky silně závisí na hustotě a kvalitě použité sítě použité pro výpočtovou studii!

Okrajové podmínky představují předepsané hodnoty posunutí a rotací (strukturální úlohy) či předepsané teploty (teplotní úlohy) představují: zatížení (síla, tlak, moment…) a vazby (vetknutí, podepření, kloub…) špatná definice okrajových podmínek → jiné napěťové stavy a zcela jiné deformace – řešíme jinou úlohu – znehodnocení výsledků výpočtové studie obtížně odhalitelné chyby i pro zkušené výpočtáře software pouze prostředkem řešení – nikoliv řešením problému bez znalostí výpočtáře silně ovlivňují výsledky FEM analýz

Okrajové podmínky Ukázka ovlivnění výsledku Studie: Určení ekvivalentního napětí u součásti uložené a zatížené dle obrázku. Čep je dokonale tuhý a není předmětem našeho zkoumání = idealizace. Nevhodný přístup vetknutí → zabrání deformaci kruhového otvoru výrazně jiný průběh napětí než ve skutečnosti – jiná úloha 2. Vhodný přístup tlaková vazba → reálnější model předpoklad nulové vůle v uložení čepu – větší vůle již odchylka

Okrajové podmínky Nevhodný přístup

Okrajové podmínky Nevhodný přístup

Okrajové podmínky Vhodný přístup

Okrajové podmínky Vhodný přístup

Singularita takové místo v 3D geometrickém modelu, kde i při postupném zahušťování sítě roste napětí nad všechny meze, tj. diverguje (nekonverguje ke správným hodnotám) nevyskytuje se v reálných tělesech obsahují pouze výpočtové modely – důvodem idealizace a zjednodušení při modelování MKP studií Nejčastější singularity: bodová okrajová podmínka = bodové zatížení a vazba ostrá hrana na geometrii

Singularita singularita je vzdálena od řešené oblasti (oblast zájmu) → mizivé nebo žádné ovlivnění výsledku singularita je v blízkosti řešené oblasti (oblast zájmu) → výsledky znehodnoceny – nevěrohodné

Singularita N … vnitřní silový účinek (normálová vnitřní síla) [N] S … plocha průřezu (N je normálou plochy) [mm2] σ … normálové napětí [MPa]

Singularita odstranění – divergující výsledky po zahuštění sítě konvergují ke správným hodnotám – lze vyhodnocovat napětí odstranění – divergující výsledky po zahuštění sítě stále divergují k vyšším a vyšším hodnotám – nelze vyhodnocovat napětí

Výpočtový model numerické simulace prováděny ve virtuálním světě – výpočtové studie vždy jen model s určitou mírou idealizace 3D geometrické modely (CAD data) → FEM mesh (síť konečných prvků) 3D CAD geometrie – model skutečné geometrie (výrobku) FEM mesh – matematická reprezentace CAD dat Přesnost výsledku ovlivňuje: numerická přesnost = kvalita MKP sítě (FEM mesh) správná definice výpočtové úlohy (geometrie, okrajové podmínky, materiálové parametry, zatížení atd.) – vždy jistá idealizace

Závěrečná diskuse, dotazy Výstupy přednášky a závěrečná diskuse seznámení se základními pojmy: Lagranžův variační princip, symetrie, diskretizace, okrajové podmínky, singularita a výpočtový model vysvětlení významu singularit, hustoty sítě, okrajových podmínek a symetrie v rámci výpočtové studie Závěrečná diskuse, dotazy