Pythagorova věta – využití VY_32_INOVACE_38-1-2 Matematika a její aplikace pro 8. třídu – Geometrie v rovině a prostoru – Pravoúhlý trojúhelník Mgr. Lenka Andrýsková, Ph.D. prosinec 2011 nedílnou součástí je pracovní list pro žáky „VY_32_INOVACE_38-2-2-Pythagorova-veta-dukaz.pdf“ ZŠ a MŠ Křenovice

ANOTACE VY_32_INOVACE_38-1-2 – Pythagorova věta – využití autorka: Mgr. Lenka Andrýsková, Ph.D. Materiál sestává ze dvou částí: powerpointová prezentace VY_32_INOVACE_38-1-2-Pythagorova-veta-vyuziti.ppt pracovní list VY_32_INOVACE_38-2-2-Pythagorova-veta-dukaz.pdf Žáci si připomenou znění Pythagorovy věty (PV). Následně pak uvádějí teoretické i praktické úlohy, ve kterých se dá PV využít, uvědomují si, kde se mohou setkat s pravoúhlým trojúhelníkem. Seznámí se s větou obrácenou k PV. V prezentaci je z animován důkaz PV tak, aby byl srozumitelný pro žáky 8. třídy. Mohou se seznámit s jinými animacemi na internetu. Sami pak zkoušejí podle pracovního listu „skládat“ důkaz PV. Nakonec si zkoušejí zapisovat vzorce PV pro přeponu a odvěsny různě pojmenovaných trojúhelníků.

Pythagorova věta – připomenutí V pravoúhlém trojúhelníku se obsah čtverce nad přeponou rovná součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami. B A C c b a c2 a2 b2 c2= a2 + b2

Využití Pythagorovy věty K dopočítání neznámé strany v pravoúhlém trojúhelníku. např. různé příklady s trojúhelníky – strany, výšky, obsahy úhlopříčky čtyřúhelníků v kružnici – tečny délka chodníku přes náměstí, počet dlaždic, výška např. balonu nad zemí, vytyčování pravidelných pozemků… úhlopříčky čtyřúhelníků 2. Ke zjištění, zda je zadaný trojúhelník pravoúhlý. K tomu se využívá Věta obrácená k Pythagorově větě.

Věta obrácená k Pythagorově větě zápis do PS na str. 101 (Kočí S., Kočí L.: Pracovní sešit Matematika 8. ročník 8. díl, TV Graphics 2007) Věta obrácená k Pythagorově větě Jestliže pro strany a, b, c trojúhelníka platí vztah c2= a2 + b2 , pak je trojúhelník pravoúhlý a c je jeho přepona. B a c C A b

Důkaz Pythagorovy věty + = a2 + b2 = c2

pracujte ve dvojicích s pracovním listem „VY_32_INOVACE_38-2-2-Pythagorova-veta-dukaz.pdf “ Vyzkoušejte si důkaz Pythagorovy věty, můžete pracovat podle prezentace 1. Rozstříhejte čtverce a trojúhelníky. 2. Dva velké čtverce zaplňte trojúhelníky a čtverci. 3. Uvědomte si platnost rovnosti.

Animace Pythagorovy věty Změny velikosti čtverců v závislosti na velikosti trojúhelníka http://www.walter-fendt.de/m14cz/pythagoras2_cz.htm „Rozstříhání“ malých čtverců a vložení do velkého http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythasvn/pythasvn.html

c2= a2 + b2 B přepona odvěsna a c A C b odvěsna pracujte do SŠ Př. Vyjádřete Pythagorovu větu pro různé trojúhelníky: B přepona odvěsna a c c2= a2 + b2 A C b odvěsna

k2= m2 + l2 r2= s2 + t2 přepona k odvěsna l m odvěsna přepona r pracujte do ŠS přepona k odvěsna l k2= m2 + l2 m odvěsna přepona r odvěsna s r2= s2 + t2 t odvěsna

e2= c2 + d2 y2= x2 + z2 odvěsna odvěsna c d e přepona přepona y pracujte do ŠS odvěsna odvěsna c d e2= c2 + d2 e přepona přepona y y2= x2 + z2 odvěsna x z odvěsna

Rovnice („vzorečky“) používané v příkladech K dopočítání neznámé přepony u trojúhelníku ABC: B A C c=? b a c2= a2 + b2 c= a 2 + b 2 2. K dopočítání neznámé odvěsny u trojúhelníku ABC: a2= c2 – b2 b2= c2 – a2 B A C c b a=? B A C c b=? a a= c 2 – b 2 b= c 2 – a 2