FI-09 Mechanika tekutin II. 15. 3. 2006

Hlavní body Úvod do mechaniky kapalin a plynů Hydrodynamika ideálních kapalin Bernoulliho rovnice a její použití Hydrodynamika viskózních kapalin Vlastnosti Newtonovských kapalin Zákony: Newtonův, Poiseuillův a Stokesův Hydrodynamika krevního oběhu 15. 3. 2006

Zachování energie I Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování (hustoty) energie : V praxi se vyjadřuje několika způsoby, například v rozměrech délkových : 15. 3. 2006

Odvození Bernoulliho rovnice I Uvažujme dvě různá místa, ohraničující určitý úsek jednéné proudové trubice, která jsou popsána rychlostí vi, tlakem pi a výškou hi. Působením tlakových sil se určitý objem V se přemístí za čas t z prvního místa do druhého. Na oba objemy působí z vnějšku úseku tlakové síly opačné orientace Fi = Si pi. Práce, kterou vykonají tyto síly za t se musí rovnat přírůstku celkové energie daného objemu. 15. 3. 2006

Odvození Bernoulliho rovnice II Tedy : Po dosazení : Aplikujme rovnici kontinuity : 15. 3. 2006

Odvození Bernoulliho rovnice III Tento vztah, vyjadřující zachování energie, bývá zvykem vydělit V a přeskupit podle uvažovaných míst : Daniel Bernoulli 1700-1783, Švýcar Celková energie proudící kapaliny má tedy tři složky : tlakovou, kinetickou a potenciální. 15. 3. 2006

Použití Bernoulliho rovnice I Bernoulliho rovnice lze použít jako prvního přiblížení při řešení řady praktických problémů. Uvažujme například výtok kapaliny ze široké (nebo doplňované) nádoby malým otvorem umístěným v hloubce h pod hladinou. V Bernoulliho rovnici můžeme udělat několik úprav a zanedbání : 15. 3. 2006

Použití Bernoulliho rovnice II Oba tlaky jsou atmosférické : p1= p2. Vyjádříme hloubku: h = z1 – z2 Rychlost v1 můžeme zanedbat. Po zkrácení  a úpravě : Tento tzv. Torrichellio vzorec byl znám sto let před Bernoullim. 15. 3. 2006

Použití Bernoulliho rovnice III Není-li možné rychlost v1 zanedbat, použijeme rovnici kontinuity v1 = v2S2/S1 : Po zkrácení , zavedení hloubky a úpravě : (výraz má zjevně smysl jen pro S1 > S2) 15. 3. 2006

Použití Bernoulliho rovnice IV Uvažujeme-li místa o stejné výšce je z Bernoulliho rovnice patrná zajímavá vlastnost proudících tekutin a to, že v místech s větší rychlostí je nižší tlak. Na tomto principu je založena řada jevů od bouchání dveří v průvanu, přes střílení rohového kopu ve fotbale, po létání letadel. Protože jsou důsledky na první pohled překvapivé, je tento jev znám jako hydrodynamický paradoxon. Významné je jeho využití při měření rychlosti. 15. 3. 2006

Použití Bernoulliho rovnice V Pitotova trubice (potřebuje fajfku) : do měřené kapaliny jsou vnořeny dvě trubice, ústí jedné je kolmo, ústí druhé rovnoběžně s jejím proudem (fajfka) v2 = 0. v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí 15. 3. 2006

Použití Bernoulliho rovnice VI Venturiho trubice (potřebuje zúžení) : do měřené kapaliny jsou kolmo vnořeny dvě trubice, jedna v místě s průřezem S1, druhá S2. v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí 15. 3. 2006

Použití Bernoulliho rovnice VII Z obou rovnic : Pro rychlost v1 a průtok Q platí po úpravě : 15. 3. 2006

Viskózní kapaliny I Při proudění reálných tekutin se sousední vrstvy ovlivňují tečným napětím, které závisí na vzájemné rychlosti vrstev a viskozitě tekutiny. Mějme tekutinu proudící ve směru osy x. Potom pro tečné napětí, čili napětí působící ve směru proudění, platí Newtonův zákon: 15. 3. 2006

Viskózní kapaliny II  (éta) je tzv. dynamická viskozita [] = kg m-1s-1 = Nm-2s = Pa s Starší jednotka Poise [P]=gcm-1s-1=0.1 Pas Převrácená hodnota se nazývá tekutost:  = 1/ Často se používá viskozita vztažená na hustotu, tzv. kinematická viskozita  = / 15. 3. 2006

Viskózní kapaliny III Dynamická a kinematická viskozita některých kapalin:  [Pa s]  [m2/s] ETOH 1.2 10-3 1.51 10-6 benzín 2.9 10-4 4.27 10-7 rtuť 1.5 10-3 1.16 10-7 olej 0.26 2.79 10-4 voda 1.005 10-3 0.804 10-6 15. 3. 2006

Viskózní kapaliny IV Viskozita : snižuje průtok kapaliny (za daných podmínek) způsobuje, že rychlost v protékaném průřezu není konstantní, ale má určité rozložení, u krajů je minimální (nulová) a uprostřed maximální. Zkusíme ukázat, že v proudovém vlákně kruhového průžezu je rozložení rychlosti na vzdálenosti od osy parabolické. 15. 3. 2006

Viskózní kapaliny V Mysleme si v laminárně a rovnoměrně proudící kapalině váleček o poloměru y. Na podstavy působí tlakové síly (p1 > 0, p2 < 0) plášť síla způsobená třením okolních vrstev. Pohybuje-li se válec rovnoměrně, musí být všechny síly na něj působící v rovnováze : 15. 3. 2006

Viskózní kapaliny VI Předpokládejme, že p1 > p2 a kapalina se pohybuje ve směru růstu souřadnice x. Znaménko + znamená, že třecí sílu bychom považovali (jako obvykle) za kladnou, kdyby měla směr rychlosti. Protože první člen je kladný, musí být třecí síla záporná, čili brzdící a rychlost klesá směrem od osy. 15. 3. 2006

Viskózní kapaliny VII Po zavedení p = p1 – p2 a úpravě : Po integraci : 15. 3. 2006

Viskózní kapaliny VIII Uvažujeme-li trubici o poloměru r. Obdržíme hodnotu integrační konstanty k z okrajové podmínky v(r) = 0 : a celkově dostáváme parabolickou závislost : 15. 3. 2006

Viskózní kapaliny IX Důležitou a snadněji měřitelnou veličinou je průtok. Celkový průřez musíme rozdělit na mezikruží o poloměru y, v nichž je vždy rychlost konstantní: Celkový průtok obdržíme integrací : To je známá Hagen-Poiseuillova rovnice. 15. 3. 2006

Viskózní kapaliny X Stokesův zákon: Na kuličku o poloměru r, která se pohybuje malou rychlostí v v kapalině působí brzdící síla F = 6rv Kulička o hustotě  bude po ustálení rovnováhy padat v kapalině 0 konstantní rychlostí vt : 15. 3. 2006

Viskózní kapaliny XI Laminární proudění Za mezí Stokesova zákona : brzdící síla je úměrná rychlosti rychlost je úměrná r2 střední rychlost vyplývající z H-P rovnice <v>=Qv/S je také úměrná r2 a tlakovému spádu Za mezí Stokesova zákona : Často je brzdící síla úměrná v2 : Fd = CdSv2 Cd je parametr, který závisí na tvaru 15. 3. 2006

Viskózní kapaliny XII Pro posouzení, zda je proudění ještě laminární se používá tzv. Reynoldsovo číslo. pro kuličku o poloměru r, pohybující se rychlostí v pro kapalinu pohybující se střední rychlostí <v> v trubici o poloměru r platí : Pro R >1000 se považuje proudění za turbulentní (ve jmenovateli posledního výrazu je řecké  (ný), tedy kinematická viskozita!) 15. 3. 2006

Dynamika krevního oběhu I Krevní oběh je udržován srdcem. Levá část síň -> komora pumpuje krev do velkého (tělního) oběhu a pravá část do malého oběhu (plic). Krev v aortě : <v> = 0.3 ms-1 r = 0.01 m  = 1060 kg m-3  = 3.3 10-3 Pa s R  970 proudění je těsně ještě laminární. 15. 3. 2006

Dynamika krevního oběhu II Ve velkých žilách proudí krev pomaleji, jen rychlostí <v> = 0.1 ms-1 a ve vlásečnicích dokonce jen rychlostí <v> = 0.001 ms-1. Pomocí rovnice kontinuity můžeme odhadnout, že celkový průřez vlásečnic je 300 krát větší než průřez aorty velkých žil je 3 krát větší než průřez aorty 15. 3. 2006

Dynamika krevního oběhu III Podle H-P zákona je tlakový spád nepřímo úměrný čtvrté mocnině poloměru trubice. K největšímu spádu tedy musí docházet v arteriální sekci : aorta plicnice systola 16 kPa (120 torr) 3.3 kPa diastola 10.5 kPa (80 torr) 1.3 kPa 15. 3. 2006

Dynamika krevního oběhu IV Práce srdce bývá vyjadřována jako součet statické – objemové dodávající tlakovou energii kinetické – dodávající kinetickou energii odpovídající příslušné střední rychlosti : Pro střední hodnoty V = 70 ml a p = 13.3 kPa je Wo= 0.93 J a Wk= 0.003 J, tedy W = 0.94 J 15. 3. 2006

Dynamika krevního oběhu V Práce pravé komory je asi jedna pětina práce komory levé. Celková mechanická práce srdce při jedné systole je tedy asi 1.13 J. Při tepové frekvenci 70 min-1 je výkon srdce přibližně 1.3 W. Tato hodnota představuje jen asi jednu desetinu celkového mechanického výkonu srdce. Převažující část se spotřebuje na udržování stálého napětí (tonusu) srdeční svaloviny. 15. 3. 2006

Dynamika krevního oběhu VI Celkový srdeční výkon je tedy 13 W, což představuje přibližně 13% celkového klidového výkonu organismu. Srdce ale funguje nepřetržitě řadu let. Za 60 let života vykoná práci 2.5 GJ, což je : 3 s výkonu Chvaletické elektrárny Vyzdvižení 30 t břemene na Mt. Everest 15. 3. 2006