FIFEI-12 Termika a termodynamika IV Doc. Miloš Steinhart, UPCE , ext. 6029

Hlavní body Termodynamika Tepelné stroje a jejich účinnost Carnotův cyklus 2. Věta termodynamická, Entropie

Tepelné stroje I Termodynamika se zabývá přeměnou tepla na jiné formy energie. Je užitečná v řadě moderních oborů včetně biologie! Vznikla a tradičně je používána v oborech technických, které usilují o nejefektivnější a nejúčinnější přeměnu tepla na energii mechanickou a elektrickou. Tyto obory jsou staré, ale jejich význam je pro lidstvo velký.

Tepelné stroje II Nejobecněji je tepelný stroj zařízení, které pracuje mezi dvěma tepelnými rezervoáry o teplotách T 1 > T 2. S nimi si vyměňuje teplo a spotřebovává nebo vykonává zpravidla mechanickou práci. Úžeji se tepelným strojem rozumí tepelný motor. Ideálně je to zařízení, které odebírá teplo z lázně o teplotě T 1 a mění ho v práci. Ta může být obecně i jiná než objemová. V prakticky použitelném tepelném stroji, se musí odehrávat kruhový děj. Při něm se systém cyklicky vrací do stejného stavu a který se tedy může libovolně-krát opakovat.

Tepelné stroje III Mezi hlavní parametry tepelného stroje patří jeho účinnost, tedy kolik z odebraného tepla se skutečně změní na vykonanou práci. Při vratném izotermickém ději se sice na práci změní veškeré teplo, ale kruhový děj nelze realizovat pouze z izotermických dějů Kruhové děje musí vždy část tepla dodaného teplejším rezervoárem opět odevzdat ve formě tepla rezervoáru studenějšímu = kompenzace. Účinnost tepelného motoru je tedy vždy menší než jedna!

Tepelné stroje IV Předpokládejme, že tepelný motor odebírá lázni o teplotě T 1 teplo Q 1 (>0), koná práci A(<0) a odevzdává teplo Q 2 (<0) chladnější lázni o teplotě T 2 (< T 1 ). Kruhový děj se vrací do počátečního stavu, čili do stavu s původní vnitřní energií, tedy podle 1. věty termodynamické platí :

Tepelné stroje V Podle přijaté konvence budou teplo Q 2 a práce A záporné. Účinnost tepelného motoru je definována jako vykonaná práce  A ku dodanému teplu: Účinnost souvisí například se spotřebou spalovacích motorů.

Vratné tepelné stroje I Prakticky se používají tepelné stroje, které pracují v obou směrech (tepelný motor / tepelné čerpadlo = lednička). (Zřídka ale umí obojí jeden stroj.) Pro teoretické úvahy má speciální význam tepelný stroj, ve kterém probíhá vratný kruhový děj, tedy děj, který může probíhat v obou smyslech Jedná se o abstraktní fyzikální model, jako byl hmotný bod nebo ideální plyn. Umožňuje stanovit obecné hranice účinnosti tepelných strojů.

Vratné tepelné stroje II Jednoduchou úvahou lze dojít k důležitému závěru, že všechny vratné kruhové děje musí mít stejnou účinnost : Představme si, že mezi lázněmi o teplotě T 1 a T 2 pracují dva vratné tepelné stroje I a II, přičemž oba odebírají od teplejší lázně stejné teplo Q 1. Nechť první stroj vykonává větší práci než druhý. Protože musí být zachována celková energie, odevzdává ale první stroj chladnější lázni menší teplo.

Vratné tepelné stroje III Ukazuje se, že toto není možné! Propojme oba stroje a nechme (vratný) stroj II pracovat obráceně. Bude z chladnější lázně brát teplo Q II2 a do teplejší lázně dodávat teplo Q 1, čímž ji uvede do původního stavu. K tomu mu ale stačí dodat práci A II. Oba stroje dohromady tedy odebírají teplo z chladnější lázně a dodávají kladnou práci. Vytvářejí tzv. perpetum mobile druhého druhu, které ale nelze realizovat! Oba stroje musí mít účinnost stejnou!

Vratné tepelné stroje IV Mají-li všechny vratné kruhové děje stejnou účinnost, můžeme ji najít, když se budeme zabývat libovolným jediným z nich. Za reprezentativní si vybereme si děj snadno popsatelný, v němž navíc bude pracovní látkou ideální plyn a práce jen objemová. Za takový děj se tradičně vybírá Carnotův cyklus. (Sadi Carnot , Francouz)

Carnotův cyklus I V počátečním bodě a je stroj ve styku z teplejší lázní a provádí izotermickou expanzi do bodu b, při níž jí odebírá teplo a koná práci rovnou tomuto teplu. Potom se stroj izoluje a expanze pokračuje do bodu c jako adiabatická, práce se přitom koná na úkor vnitřní energie, čili teplota náplně klesá. Dále se stroj uvede do styku s chladnější lázní a provádí se izotermická komprese, do systému se dodává práce, která se chladnější lázni odevzdává ve formě tepla. Z bodu d se do původního stavu a vracíme adiabatickou kompresí, opět na úkor práce dodané zvenku.

Carnotův cyklus II Při izotermických dějích se přenáší teplo : Q 2 bude samozřejmě záporné, protože V d < V c

Carnotův cyklus III a pro děje adiabatické : tedy po vydělení těchto rovnic platí:

Carnotův cyklus IV použijeme-li předchozích závěrů, můžeme účinnost počítat rovnou z tepel : Tedy :

Carnotův cyklus V Docházíme ke dvěma důležitým závěrům, platným pro C cyklus a tedy všechny vratné kruhové děje : Účinnost je omezena a závisí pouze na teplotách lázní, mezi kterými stroj pracuje. Teplo přenášené mezi systémem a lázní závisí jen na její teplotě : (znaménko souvisí jen se směrem přenosu)

Carnotův cyklus VI Lze očekávat, že účinnost nevratných dějů, při kterých dochází ke ztrátám, bude ještě menší než účinnost dějů vratných. Studium Carnotova cyklu nám posloužilo k nalezení horní hranice účinnosti všech možných kruhových dějů.

věta termodynamická I Experiment ukazuje, že děje v přírodě mají svůj přirozený průběh, směřující ke větší stabilitě systému. Obráceně neprobíhají, ani když by tím nebyl narušen zákon zachování energie. Musí tedy existovat další dodatečné omezující pravidlo a veličiny, které tuto skutečnost popisují.

věta termodynamická II R. Clausius : Teplo nemůže bez přivádění vnější práce přecházet z chladnějšího tělesa na těleso teplejší. W. Thompson: Neexistuje proces, který by trvale měnil teplo, získané z jedné lázně, v práci, aniž by jeho část dodával studenější lázni. Takový stroj by se nazýval perpetum mobile druhého druhu.

věta termodynamická III Tvrzení jsou ekvivalentní : Kdyby neplatilo R.C., mohl by takový proces odstranit kompenzaci, čili by neplatilo ani W.T. Kdyby neplatilo W.T., dalo by se čerpat teplo z lázně, převést na práci a potom třeba třením na teplo, které by se dodávalo teplejší lázni. Neplatilo by tedy R.C.

Entropie I Je možné snadno ukázat, že pro vratně vyměněné teplo je poměr dQ/T stavovou veličinou. Když si představíme kruhový děj vytvořený z mnoha malých Carnotových cyklů : Poslední výraz se nazývá Clausiův integrál pro vratné děje.

Entropie II Je tedy možné snadno ukázat, že změna tohoto poměru nezávisí na cestě a jedná se tedy o novou stavovou funkci - entropii: Entropie S je stavová veličina, která určuje směr, popřípadě vratnost dějů a procesů. Princip důkazu je stejný jako u obecného konzervativního pole.

Nevratný tepelný stroj Účinnost nevratného děje bude vždy menší než děje vratného : To odpovídá menší vykonané užitečné práci, čili větší kompenzaci a tedy :

Entropie III Je tedy možné napsat Clausiův integrál souhrnně pro všechny děje : Rovnost charakterizuje děje vratné a nerovnost děje nevratné, u nichž se v systému vytváří dodatečná entropie a opouští jej při kompenzaci. Zavedeme entropii při vratném ději a prozkoumáme obecný vztah na speciálním kruhovém ději, kdy půjdeme ze stavu 1 do 2 nevratně a nazpět vratně.

Entropie IV Výsledný kruhový děj je celkově nevratný a tedy : Celkově tedy pro všechny děje platí :

Entropie V Protože všechny reálné děje jsou nevratné, entropie neustále roste. Ukážeme, že zhruba to znamená směřování k větší neuspořádanosti systému, přesněji ke stavu, který je realizován více mikrostavy nebo kvantovými stavy.

Příklad vedení tepla I Vzorek Cu m 1 = 10 g o teplotě T 1 = 350 K je dán do tepelného kontaktu s identickým vzorkem o T 2 = 290 K. Jaká bude výsledná teplota? Jaká celková energie se při výměně přenese? Jaká bude změna entropie při přenesení prvních 0.1 J? Při daných teplotách je c = 389 kJ kg -1 K -1. Ze zachování energie  U = mc(T 1 -T) = mc(T-T 2 ). Tedy: T = 320 K a  U = 11.7 J.

Příklad vedení tepla II Při odebrání prvních 0.1 J lze teploty obou těles považovat ještě za původní. U teplejšího tělesa se entropie sníží o  S 1 = - 0.1/350 = JK -1. Při odevzdání tepla chladnějšímu tělesu se entropie zvýší o  S 2 = 0.1/290 = JK -1. Celkově se tedy zvýší o  S =  S 1 +  S 2 = JK -1