PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace 2.2 Variace bez opakování P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) * . . . · 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: Jedná se o vzorec pro počet permutací z n prvků bez opakování. 2.2 Variace bez opakování Zápis: Vk(n) = n * (n-1) * (n-2) * . . . * (n-k+1) Zapíšeme pomocí faktoriálů: Jedná se o vzorec pro počet variací k-té třídy z n prvků bez opakování.

VARIACE s opakováním, KOMBINACE Máme n - různých druhů prvků a k - různých objektů Vzorec pro počet variací k-té třídy z n - druhů prvků s opakováním. 2.4 Kombinace Máme n - různých přihrádek a k - nerozlišitelných předmětů a platí, že n > k

KOMBINAČNÍ ČÍSLO Základní vzorec: Další pravidla pro počítání s kombinačními čísly:

VARIACE a KOMBINACE Příklad 1 Majitel hotelu má 6 volných pokojů v různých cenách a 4 hosty. Určete, kolika způsoby může hosty ubytovat. (360) Příklad 2 V ubytovně zbývají 4 volná lůžka a na ubytování čeká ještě šest hostů. Určete, kolika způsoby lze vybrat čtveřici hostů, která obsadí poslední lůžka. (15)

VARIACE S OPAKOVÁNÍM Příklad 3 Kolik různých značek by mohlo teoreticky existovat v Morseově abecedě, když se sestavují tečky a čárky do skupin od jedné do pěti? (62) Příklad 4 Rodina s dvěma dětmi a dědečkem jde do restaurace na jídlo. Mohou si vybrat ze tří druhů polévky a osmi druhů hlavního jídla. Maminka bude obědvat jen polévku, děti jen hlavní jídlo a tatínek s dědečkem si dají oboje. Kolika možnostmi si mohou objednat? (110 592)

VARIACE a PERMUTACE Příklad 5 Rozvrh hodin má 5 dvouhodin: 7:30 - 9:00, 9:15 - 10:45, 11:00 - 12:30, 13:00 - 14:30, 14:45 - 16:00 Studenti mají mít v pondělí tyto dvouhodinové předměty: A-angličtina, D-metody dozoru, T-tělocvik, M-mikrobiologie 4a. Určete kolika způsoby je možno stanovit pořadí předmětů (120) 4b. Určete kolika způsoby je možno stanovit pořadí předmětů v případě, že D-metody dozoru jsou dvakrát dvě hodiny a obě dvouhodinovky mají následovat po sobě. (24) 4c. Určete kolika způsoby je možno stanovit pořadí předmětů v případě, že D-metody dozoru jsou dvakrát dvě hodiny a obě dvouhodinovky nemusí následovat po sobě. (60)

MNOŽINOVÁ MATEMATIKA Příklad 6 V ročníku oboru mikrobiologie je 54 studentů. Z celkového počtu mluví 33 studentů anglicky, 31 studentů německy a 13 studentů francouzsky. Všemi třemi jazyky současně nemluví žádný ze studentů, dvěmi jazyky současně mluví 24 studentů. Tři studenti hovoří současně anglicky a francouzky, další tři současně německy a francouzsky. Určete, kolik studentů mluví současně anglicky a německy a vyjádřete jako podíl z celkového počtu. Kolik studentů mluví jen jedním cizím jazykem Kolik studentů mluví alespoň dvěmi jazyky? Znázorněte pomocí množin

PERMUTACE a VÝROKOVÁ LOGIKA Příklad 7 Kolika způsoby si mohou stoupnout do fronty trpaslíci před Sněhurku tak, že 6a. každý může stát kdekoliv (5040) 6b. Šmudla je poslední jako vždy (720) 6c. Šmudla kupodivu poslední není (4320)

PRAVDĚPODOBNOST, VARIACE s opakováním, PERMUTACE Příklad 8 Házíme 2 hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet na kostkách bude právě 5? (1/9) Jaká je pravděpodobnost, že součet na kostkách bude větší než 3? (11/12) Jaká je pravděpodobnost, že na obou kostkách bude padne stejné číslo? (1/6) Příklad 9 Házíme 5 hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padnou vzájemně různá čísla? (0,093) Jaká je pravděpodobnost, že padnou pouze lichá čísla? (0,031)

KOMBINACE Příklad 10 Za lokomotivou jsou zapojeny 4 různé vagóny - cisterna, na uhlí, na sypký materiál a plošina. K přepravě je připraveno: brikety, nafta, LTO, palety tašek, koks, hnědé uhlí, černé uhlí, písek, štěrk, kanalizační roury a dodávka nových automobilů. Kolika způsoby může naložit vagóny, aby byly všechny vagóny plné? (48) Kolika způsoby naloží vagóny, pokud mu od každého typu vagónu přistaví dva (2 cisterny, 2 vagóny na uhlí, 2 na sypký materiál a 2 plošiny) ? (18)

PRAVDĚPODOBNOST - opakování Příklad 11 Máme náhodné jevy A a B. Víme, že pravděpodobnost: že nastane alespoň jeden z jevů A a B, je ¾ že oba jevy nastanou současně, je ¼ že nenastane jev A, je Určete pravděpodobnosti obou jevů A a B. Jaká je pravděpodobnost, že nastane jev A a nenastane jev B.

PRAVDĚPODOBNOST, KOMBINACE Příklad 12 Mezi 8 bezvadných výrobků se přimíchaly 3 zmetky. Náhodně byly vybrány 2 výrobky. Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba bezvadné? Jaká je pravděpodobnost, že je právě jeden vadný? Jaká je pravděpodobnost, že je aspoň jeden vadný?

Řešení příkladu 12 pomocí kombinatoriky Vypočteme počet možností, jak vybrat 2 výrobky z 11 celkem - jedná se o kombinace 2 prvků z 11 C2(11) = 55 počet možností, že vybereme 2 bezvadné výrobky C2(8) = 28 počet možností pro 1 vadný a 1 bezvadný C1(8)*C1(3) = 24 Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba bezvadné? p = 28/55 = 0,509 Jaká je pravděpodobnost, že je jeden vadný? p = 24/55 = 0,436 Jaká je pravděpodobnost, že je alespoň jeden vadný? p = 1 - 0,51 = 0,491

Řešení příkladu 12 pomocí kombinatoriky - rozepsání vzorečků Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba bezvadné? jedná se o podíl počtu možností výběru 2 bezvadných výrobků a všech možností Jaká je pravděpodobnost, že je jeden vadný?

Řešení příkladu 12 pomocí pravděpodobnosti Vypočteme pravděpodobnost toho, že oba budou bezvadné, tj. 1. výrobek vybereme s p-ností 8/11 (8 bezvadných z celkem 11 výrobků) a 2. výrobek s p-ností 7/10 (zbylo 7 bezvadných a celkem 10 výrobků): Pravděpodobnost, že bude jeden vadný, vypočteme analogicky: První vybraný výrobek vybíráme z 11 výrobků - je bezvadný, druhý bude vadný vybraný z 10 výrobků. Nebo první bude vadný vybraný z 11 výrobků a druhý bezvadný vybraný z 10 výrobků. Obě pravděpodobnosti musíme sečíst. Pravděpodobnost, že bude alespoň jeden vadný, vypočteme