Princip řešení úloh soustav těles s uvážením pasivních účinků

Dvě tělesa A a B o hmotnostech mA, resp Dvě tělesa A a B o hmotnostech mA, resp. mB a zanedbatelných rozměrů se nacházejí na nakloněné rovině. Úhel sklonu roviny k vodorovnému směru je b. Těleso A je proti sklouznutí uchyceno k rámu prutem. Prut je na obou koncích připojen kloubovou vazbou a je po své délce nezatížen. Hmotnost prutu je vůči ostatním tělesům zanedbatelná. Na těleso B má působít síla F, která s nakloněnou rovinou svírá úhel a. Součinitel tření mezi tělesy i mezi tělesem B a nakloněnou rovinou je f. Určete velikost síly F tak, aby nedošlo k pohybu těles soustavy. F prut a A b B

UVOLNĚNÍ (těles) a) osamostatnit každé těleso prut b F a A B A prut B

hmotnost prutu je zanedbatelná, tzn. G = 0 N UVOLNĚNÍ (těles) prut a) osamostatnit každé těleso b) zavést akční síly hmotnost prutu je zanedbatelná, tzn. G = 0 N Kromě síly F ze zadání zavedeme tíhové síly (svisle) GA = mAg, GB = mBg F GB GA B A

UVOLNĚNÍ (těles) RD RC a) osamostatnit každé těleso prut RC a) osamostatnit každé těleso D C b) zavést akční síly Prut  není zatížen po své délce  bude přenášet síly ve směru spojnice kloubových vazeb v bodech C a D. c) zavést síly ve vazbách V první řadě zavádíme do vazeb síly, bez ohledu na působící pasivní účinky. Těleso B  na dotykovou plochu zavedeme normálovou reakci NA (princip akce a reakce) Těleso A  do kloubu C zavedeme vazbovou reakci RC (princip akce a reakce, tj. opačným směrem) F GB NA GA B A RC C NA NB Těleso A  na dotykovou plochu zavedeme normálovou reakci NA Těleso B  na dotykovou plochu zavedeme normálovou reakci NB

pro všechny síly jedné vazby musí platit zákon akce a reakce UVOLNĚNÍ (těles) RD prut RC a) osamostatnit každé těleso D C b) zavést akční síly c) zavést síly ve vazbách d) zavést pasivní účinky vazeb Nejprve určíme předpokládaný pohyb těles soustavy  v zadání není určen  zvolíme: pohyb tělesa B nahoru (za silou F) směr pohybu Poté zavedeme pasivní účinky proti vzájemnému pohybu těles ve vazbě Těleso B  dotyková plocha se vůči nehybnému tělesu A pohybuje nahoru  třecí síla TA směřuje dolů  zavádíme pouze do vazeb s pasivním účinkem zde jsou to třecí síly na dotykových plochách F GB NA GA pro všechny síly jedné vazby musí platit zákon akce a reakce B TA A RC C TB NA TA NB Těleso A  tato dotyková plocha se vůči tělesu B pohybuje dolů  třecí síla TA směřuje nahoru Těleso B  vůči nehybné podložce se pohybuje nahoru  třecí síla TB směřuje dolů

Výsledek UVOLNĚNÍ RD RC prut RC D C Pro každé těleso máme jeho vlastní silovou soustavu pro kterou budeme v dalším psát rovnice rovnováhy Každé těleso je samostatně a veškeré spolupůsobení s ostatními tělesy nahrazují vazbové síly F GB Proto identifikujme příslušné silové soustavy NA TA GA B A RC C NB TB Tělesa A a B jsou zanedbatelných rozměrů  tzn. jsou velmi malá NA TA V tomto případě máme pro každé těleso silovou soustavu se společným působištěm

ROVNICE ROVNOVÁHY RD RC GB F GA NA TB RC TA NB NA TA prut RC D C Pro každou silovou soustavu příslušné rovnovážné rovnice b a GB F GA Ve finále máme celkem 5 rovnic (protože jedna je triviální) NB TB NA TA ale až 7 neznámých: RC, RD, NA, TA, NB, TB, F RC NA TA Chybějící rovnice plynou ze vztahů pro uvažované pasivní účinky

ROVNICE PASIVNÍCH ÚČINKŮ RD prut RC D C GB F GA Máme 2 vazby s uvažovanými pasivními účinky: NB TB NA TA RC NA TA  dotyk těles A a B - smykové tření: koef. tření f, normálový přítlak NA  dotyk tělesa B s podložkou - smykové tření: koef. tření f, normálový přítlak NB

ŘEŠENÍ SOUSTAVY ROVNIC Výsledná soustava rovnic sestává z:  rovnic rovnováhy těles (zde 5 rovnic)  vztahů pasivních účinků (zde 2 rovnice) Vzniklá soustava rovnic je soustavou regulární, tzn. počet neznámých odpovídá počtu rovnic  provedeme řešení soustavy pro neznámé: F , NA , NB , TA , TB , RC, RD  provedeme rozbor a kontrolu výsledků

ROZBOR A KONTROLA VÝSLEDKŮ U soustav s pasivními účinky má znamenko „-“ podstatně širší význam, než je tomu u soustav bez pasivních účinků, tzn. že:  má-li být výsledek správně, tj. určovat potřebnou hodnotu síly F, musí být hodnota F smysluplná; v tomto případě je předpokládaný pohyb tělesa B směrem nahoru způsobován sílou F (ostatní akční síly by pohybovaly tělesem směrem dolů), takže hodnota F musí být kladná, jinak by nedošlo k předpokládanému pohybu (záporný výsledek může ovšem u některých úloh znamenat, že pro stav požadovaný zadáním může být hledaná síla nulová)  značnou pozornost ve výsledcích je třeba věnovat hodnotám reakcí, které se uplatňují ve vztazích pro pasivní účinky; v tomto případě jsou to normálové síly NA a NB, ze kterých jsou určeny třecí síly TA a TB; obě třecí síly jsme zavedli proti předpokládanému pohybu a tyto síly splní náš předpoklad budou-li kladné, takže podle vztahů pro třecí síly musí být kladné normálové reakce, neboť koef. tření bude vždy kladný (pokud tato podmínka není splněna je nutno v uvolnění otočit orientaci příslušné reakce a řešení opravit)  v neposlední řadě je nutno prověřit, zda podmínky zadání nebudou splněny i pro opačný směr pohybu; v tomto případě jsme původně předpokládali, že síla F bude táhnout nahoru tak, že pohne tělesem B nahoru; mohla by ale nastat situace, že pro malou nebo nulovou sílu F se těleso B bude posouvat dolů vlivem své tíhy; k zabránění tomuto pohybu pak postačí jiná než námi zjištěná velikost síly F, kterou získáme provedeme-li řešení s předpokládaným pohybem směrem dolů (síla F bude orientována nahoru)