Tento digit á ln í učebn í materi á l (DUM) vznikl na z á kladě ře š en í projektu OPVK, registračn í č í slo CZ.1.07/1.5.00/ s n á zvem „ Výuka na gymn á ziu podporovan á ICT “. Tento projekt je spolufinancov á n Evropským soci á ln í m fondem a st á tn í m rozpočtem Česk é republiky. Zpracov á no , autor: Mgr. Jindři š ka Janečkov á Sada IV/2-3-1 Matematika pro I. ročn í k gymn á zia Z á kladn í poznatky z matematiky IV/ Mocniny

Mocnina s přirozeným mocnitelem a n = a. a. a. …. a V součinu na pravé straně je n činitelů. a R n N a………základ mocniny (mocněnec) n………exponent (mocnitel)

Z definice mocniny vyplývá: a 1 = a pro každé a R 1 n = 1 pro každé n N 0 n = 0 pro každé n N

Pro každé a R a pro každé n N platí: a > 0 => a n > 0 Př. 2 3 = 8, 2 3 > 0 a a 2n > 0 Př. (-2) 2 = (-2) · (-2) = 4, (-2) 2 > 0 a a 2n-1 < 0 Př. (-2) 3 = (-2) · (-2) · (-2) = - 8, (-2) 3 < 0

Pro každá a R, b R a pro každá r N, s N platí: a r. a s = a r + s Př = (2. 2). ( ) = = 2 5 = 32

Pro každá a R, b R a pro každá r N, s N platí: (a r ) s = a r · s Př. (2 2 ) 3 = 2 2·3 = 2 6

Pro každá a R, b R a pro každá r N, s N platí: a r : a s = a r - s, a ≠ 0, r > s Př. 3 5 : 3 2 = 3 5 – 2 = 3 3 = 27 Jinak: 3 · 3 · 3 · 3 · 3 3 · 3

Pro každá a R, b R a pro každá r N, s N platí: (a. b) r = a r. b r Př. (4. 3) 2 = = = 144 Stejně jako: (4. 3) 2 = 12 2 = 144

Pro každá a R, b R a pro každá r N, s N platí: (a : b) r = a r : b r, b ≠ 0 Př. (3 : 5) 2 = 3 2 : 5 2 = 9 : 25 = 0,36 Jinak:

Pro každá a R, b R a pro každá r N, s N platí: a r. a s = a r + s Př = (2. 2). ( ) = = 2 5 = 32 (a r ) s = a r · s Př. (2 2 ) 3 = 2 2·3 = 2 6 a r : a s = a r - s, a ≠ 0, r > s Př. 3 5 : 3 2 = 3 5 – 2 = 3 3 = 27 (a. b) r = a r. b r Př. (4. 3) 2 = = = 144 (a : b) r = a r : b r, b ≠ 0 Př. (3 : 5) 2 = 3 2 : 5 2 = 9 : 25 = 0,36

Mocnina s celým mocnitelem Pro každá a R, b R a pro libovolná celá r, s platí: a r. a s = a r + s (a r ) s = a r · s a r : a s = a r - s, a ≠ 0 (a. b) r = a r. b r (a : b) r = a r : b r, b ≠ 0

a r : a s = a r - s, a ≠ 0 r = s => a r : a r = a r – r = a 0 = 1 Pro a R, a ≠ 0 platí a 0 = 1. Pozor, 0 0 není definováno.

a r : a s = a r - s, a ≠ 0 a · a · a a2a2 a3a3 = a · a = 1 a = a -1 a -m = 1 amam 2 -3 = = == a2a2 a3a3 a -1 a 2-3

Úkol

Použité obrázky Použitá literatura BUŠEK, Ivan a Emil CALDA. Matematika pro gymnázia: základní poznatky. 3., upr. vyd. Praha: Prometheus, 2001, 178 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN