RNDr. Jiří Dvořák, CSc. dvorak@uai.fme.vutbr.cz Síťová analýza RNDr. Jiří Dvořák, CSc. dvorak@uai.fme.vutbr.cz Teorie systémů a operační analýza

Síťová analýza Síťová analýza je nástrojem pro analýzu a řízení projektů. Projekt je soubor provázaných činností, z nichž se skládá určitý proces. Modelem projektu je síťový graf (SG), což je prostý acyklický graf, který má jeden počáteční a jeden koncový uzel. Uzlově definovaný SG: Uzly grafu představují činnosti a hrany grafu reprezentují návaznosti činností. Hranově definovaný SG: Činnosti jsou reprezentovány hranami grafu, zatímco uzly grafu představují stavy projektu. Pozn.: Nadále se budeme zabývat hranově definovaným SG. TSOA: Síťová analýza

Proces síťové analýzy 1. Rozčlenění projektu na jednotlivé činnosti. 2. Odhad doby trvání činností, specifikace potřebných zdrojů. 3. Určení časových návazností pro provádění jednotlivých činností. 4. Konstrukce síťového grafu. 5. Časová analýza (určení termínů uzlů, termínů činností a nalezení kritické cesty). 6. Zdrojová analýza (rozvrhování činností při omezených zdrojích). 7. Nákladová analýza (optimalizace trvání projektu vzhledem k nákladům na realizaci projektu a ztrátám plynoucím ze zpoždění projektu). TSOA: Síťová analýza

Obvyklá interpretace uzlů hranově definovaného SG Konjunktivní vstup: Uzel (stav projektu) se považuje za dosažený, když jsou ukončeny všechny činnosti, které do tohoto uzlu vstupují. To znamená, že činnosti vycházející z uzlu nemohou začít dříve, než jsou ukončeny všechny činnosti vstupující do tohoto uzlu. Deterministický výstup: Je-li uzel realizován, budou realizovány i všechny činnosti, které z něj vystupují. Grafické znázornění: TSOA: Síťová analýza

Jiné interpretace uzlů hranově definovaného SG Inkluzivní vstup: Uzel je realizován, jestliže se realizuje alespoň jedna z činností, které v něm končí. Disjunktivní vstup: Uzel je realizován, jestliže se realizuje pouze jediná z činností, které v něm končí. Stochastický výstup: Vystupující činnosti budou realizovány v závislosti na pravděpodobnostech, které jsou jim přiděleny. TSOA: Síťová analýza

Konstrukce hranově definovaného SG Hranově definovaný síťový graf je orientovaný graf, který má tyto vlastnosti: každá dvojice uzlů je spojena nejvýše jednou hranou (tedy se jedná o prostý graf, nikoli o multigraf) je acyklický má jeden počáteční uzel má jeden koncový uzel. Uvedené vlastnosti pomáhají zajistit fiktivní činnosti, které mají nulové časové ohodnocení a nemají žádné nároky na zdroje. Fiktivní činností také pomáhají správně zachytit předepsané návaznosti činností. TSOA: Síťová analýza

Metody časové analýzy CPM PERT GERT Předpokládá se deterministické trvání činností. PERT Časové ohodnocení činností má stochastický charakter. GERT Je určena pro zobecněný SG, tj. graf, který obsahuje uzly s jinou interpretací než konjunktivně deterministickou. TSOA: Síťová analýza

Metoda CPM Critical Path Method – metoda kritické cesty. Předpoklady: očíslování uzlů od 1 do n, očíslování je topologické, tj. pro každou činnost (i, j) platí i < j. Postup: 1. Výpočet nejdříve možných termínů uzlů. 2. Výpočet nejpozději přípustných termínů uzlů. 3. Výpočet termínů činností. 4. Výpočet rezerv činností. 5. Určení kritické cesty a subkritických činností. TSOA: Síťová analýza

Použitá symbolika V … množina uzlů grafu E … množina činností; E  V  V tij … doba trvání činnosti (i, j) Ti(0) … nejdříve možný termín uzlu i (také se používá symbol TMi) Ti(1) … nejpozději přípustný termín uzlu i (také TPi) i Ti(0) Ti(1) TSOA: Síťová analýza

Termíny uzlů 1. Výpočet nejdříve možných termínů uzlů: Termín Tn = Tn(0) představuje vypočtené trvání projektu. 2. Výpočet nejpozději přípustných termínů uzlů: TSOA: Síťová analýza

Termíny činností Nejdříve možný začátek činnosti (i, j): Zij(0) = Ti(0) Nejdříve možný konec činnosti (i, j): Kij(0) = Ti(0) + tij Nejpozději přípustný začátek činnosti (i, j): Zij(1) = Tj(1) – tij Nejpozději přípustný konec činnosti (i, j): Kij(1) = Tj(1) TSOA: Síťová analýza

Časové rezervy činností Celková rezerva činnosti (i, j): Volná rezerva činnosti (i, j): Nezávislá rezerva činnosti (i, j): Závislá rezerva činnosti (i, j): TSOA: Síťová analýza

Kritická cesta Kritická činnost Kritická cesta Subkritická činnost je taková činnost, jejíž celková rezerva je nulová. Kritická cesta se skládá z kritických činností. Pokud nejsou zadávány termíny uzlů, existuje každém síťovém grafu alespoň jedna kritická cesta z počátečního do koncového uzlu. Kritická cesta je nejdelší cestou v grafu. Subkritická činnost je činnost, jejíž celková rezerva nepřekračuje danou hodnotu  . TSOA: Síťová analýza

Metoda PERT PERT – Progran Evaluation and Review Technique. Předpokládá se, že doby trvání činností jsou náhodné veličiny s rozdělením Beta. Toto rozdělení má konečné rozpětí a obecně není symetrické. Pro každou činnost jsou zadávány tři charakteristiky: aij … optimistický odhad trvání činnosti mij … odhad nejpravděpodobnější doby trvání činnosti bij … pesimistický odhad trvání činnosti Střední hodnota a směrodatná odchylka doby trvání činnosti: TSOA: Síťová analýza

Postup metody PERT Stejně jako v metodě CPM se provede výpočet termínů a určení kritické cesty, přičemž se pracuje se středními hodnotami trvání činností. Doba trvání projektu Tn je náhodná veličina, jejíž střední hodnota E(Tn) je rovna délce kritické cesty, vypočtené výše uvedeným způsobem. Rozptyl D(Tn) se určí jako součet rozptylů činností, ležících na kritické cestě (za předpokladu nezávislosti dob trvání těchto činností). Rozdělení náhodné veličiny Tn lze aproximovat pomocí normálního rozdělení s parametry E(Tn) =  a D(Tn) = 2. Náhodná veličina Z = (Tn – )/ má pak rozdělení N(0, 1). TSOA: Síťová analýza

Lze odpovídat např. na takovéto otázky: Jaká je pravděpodobnost dokončení projektu do požadovaného termínu Tp? kde FN je distribuční funkce rozdělení N(0, 1). Do jakého termínu Tp bude projekt včas dokončen s danou pravděpodobností p? kde zp je p-kvantil rozdělení N(0, 1). TSOA: Síťová analýza