60. ročník MO Soustředění řešitelů Kategorie A INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Přírodovědecká fakulta Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem katedra matematiky 60. ročník MO Soustředění řešitelů Kategorie A Modely Janov nad Nisou 2010 jiri.cihlar@ujep.cz Tato akce je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky jako součást projektu OPVK CZ.1.07/2.3.00/09.0121 „To je věda, seznamte se" – podpora systematické práce s žáky a studenty v oblasti vědy, výzkumu a vývoje.

O čem budeme dnes večer hovořit? Seznámíme se například s: vlastnostmi aximatických systémů, axiomatikou přirozených čísel, konečnými geometriemi, problémem neeukleidovské geometrie, paradoxy v naivní teorii množin, a hlavně rolí modelů v matematice.

Axiomatická výstavba matematiky

Eukleides (3. stol. př. n.l.) Základy (Stoicheia) 13 knih Definice Postuláty (axiomy) Problémy (tvrzení)

Budování matematických teorií Jazyk teorie: abeceda termy formule Zárodek obsahu: axiomy Způsob dedukce: pravidla odvozování Pak následují: definice věty s důkazy Teorii tvoří všechny principiálně odvoditelné věty.

Požadavky na matematické teorie bezespornost teorie nezávislost systému axiomů úplnost teorie (syntaktická a sémantická) Proč musíme striktně požadovat bezespornost? Jak dokázat bezespornost teorie? Jak dokázat nezávislost axiomu na ostatních? Co to znamená, že v jazyku teorie lze formulovat nerozhodnutelná tvrzení?

Příklady axiomatických systémů

Teorie přirozených čísel Jak vypadá jazyk této teorie? Axiomy: (x)(y) x ≠ y´ (x)(y) x´ = y´  x = y (x) x + 0 = x (x)(y) x + y´ = ( x + y )´ (x) x . 0 = 0 (x)(y) x . y´ = x . y + x Dedukce: ( F(0)  (x) ( F(x)  F(x´) )  (x) F(x)

Co říkají axiomy sčítání? (x) x + 0 = x (x)(y) x + y´ = ( x+ y )´ + 1 2 3 … y y´ x x+y x+y´ Další sloupce vyplňujeme tak, že zapisujeme následovníky čísel vlevo.

Co říkají axiomy násobení? (x) x . 0 = 0 (x)(y) x . y´ = x . y + x • 1 2 … y y´ x x . y x . y´ Čísla v dalších sloupcích vyplňujeme tak, že k číslu vlevo přičteme číslo z předznamenání řádku .

Příklad věty a jejího důkazu Věta (x) 1 + x = x´ Důkaz: Formule F(x) bude 1 + x = x´ . (i) Máme dokázat, že platí F(0) , tedy 1 + 0 = 0´ . Proč to platí? 1 + 0 = 1 = 0´ (ii) Máme dokázat, že platí F(x)  F(x´) pro libovolné x, tedy jestliže 1 + x = x´ , pak 1 + x´ = (x´)´. Proč to platí? 1 + x´ = (1 + x)´ = (x´)´. ■

Příklady definic dalších pojmů Definujme třeba tyto relace mezi přirozenými čísly: x  y  ( z ) x + z = y x  y  x  y  x  y x  y  ( z ) x . z = y Jaké věty pak můžeme dokazovat? Jaké další pojmy můžeme definovat?

Eukleidovská geometrie Hilbertův systém axiómů: axiomy incidence axiomy uspořádání axiomy spojitosti axiom rovnoběžnosti Obsah eukleidovské geometrie je nám znám (samozřejmě jen částečně) ze školní výuky.

Výrokový kalkul Jak vypadá jazyk této teorie? Axiomy: Dedukce: ( p  ( q  r ) )  ( ( p  q )  ( p  r ) ) p  ( q  p ) ( p   q )  ( q  p ) Dedukce: Pravidlo substituce Pravidlo odloučení (modus ponens)

Příklady definic dalších pojmů Definujme další operace mezi výroky: p  q  ( p  q ) p  q  ( p   q ) p  q  ( p  q )  ( q  p ) Pak můžeme dokazovat celou řadu známých vět. Jak tyto dokázané věty souvisí s tautologiemi?

Model teorie v jiné teorii

Co je to model? Teorie 1 Teorie 2 Věty 1 Věty 2 Věty 2 Axiomy 1 Axiomy 2 Co z existence modelu můžeme vyvodit?

Příklady modelů

Analytická geometrie v rovině bod …… uspořádaná dvojice reálných čísel x;y přímka ..…. množina všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici ax + by + c = 0 , kde a  0  b  0 kružnice …. množina všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici (x – a)2 + (y – b)2 = 0 bod leží na přímce či kružnici ….. přímky jsou navzájem kolmé ….. Atd. Jde o model geometrie v teorii reálných čísel.

Model přirozených čísel v teorii množin 0 ….  Odpovídá-li přirozenému číslu x množina X, pak číslu x´ odpovídá množina X  X . 1 ….  2 ….   ;   3 ….   ;  ;  ;   4 …. atd. Jak se „přeloží“, že x < y ?

Beltrami-Kleinův model Snahy Lobačevského o důkaz 5. EP sporem: K ostatním axiomům se přidala negace axiomu o rovnoběžkách a mezi důsledky se hledal spor. Spor se nedařilo nalézt ! Logických důsledků přibývalo, vytvářely ucelený celek, ale spor se neobjevoval. Ale objevil se model ! Co můžeme z jeho existence vysoudit?

Konečné modely incidenční geometrie roviny

Modulární přístup k celým číslům Na hodinách obvykle počítáme s modulem 12. Co to znamená? V celých číslech počítáme obvykle s nějakým prvočíselným modulem p. modul je p = 3 modul je p = 5

Jak se projeví modulární přístup v geometrii? Základní idea: Místo reálných čísel budeme uvažovat jen „modulární celá čísla“. Kolik bodů bude v rovině a jaké budou mít souřadnice při modulu 3, 5 nebo obecně p? Jak bude vypadat přímka, která má rovnici X = A + t.u ?

Velký třesk v matematice

Spor v teorii množin ?!?! Pro každou množinu můžeme jednoznačně rozhodnout, zda do ní libovolný objekt patří či nepatří. Pro libovolnou množinu x tedy můžeme rozhodnout, zda platí x  x anebo naopak  ( x  x ). Množiny, které nejsou prvky sebe sama, tedy pro něž platí, že  ( x  x ), budeme nazývat normální. Vytvořme množinu s takto: jejími prvky budou všechny normální množiny a nic jiného, tedy x  s   ( x  x ) . Uvažujme, zda sama množina s je normální či není, tedy zda platí s  s anebo  ( s  s ) .

Proč se otřásla celá stavba matematiky? Modely a relativní bezespornost: TM TPČ TRČ EG NG

Další potíže v logické výstavbě teorií Český jazyk má jen konečný počet symbolů, přidejme ještě do naší abecedy konečný počet aritmetických symbolů. Ze všech těchto symbolů můžeme sestavit jen konečný počet sledů, které mají délku nejvýše 100. Můžeme tak popsat jen konečně mnoho přirozených čísel (nejmenší prvočíslo, 2 + 3, …). Zbývá nekonečně mnoho těch, které takto popsat nelze. Nejmenší přirozené číslo, které nelze popsat sledem nejvýše 100 symbolů naší abecedy.

Rozvětvování teorií Soumrak nad axiomatizací

Co to jsou nerozhodnutelná tvrzení? Nerozhodnutelným tvrzením (pro určitou teorii) nazýváme tvrzení, které v této teorii nelze ani dokázat, ani vyvrátit. Příklad: Pátý Eukleidův axióm o rovnoběžkách V absolutní geometrii roviny je nerozhodnutelné: Nechť je dán bod A a přímka p, která jím neprochází. Bodem A lze vést jedinou přímku, která s danou přímkou nemá žádný společný bod.

Situace v teorii množin:

Nerozhodnutelná tvrzení v aritmetice Zásadní výsledek Kurta Gödela (1936): Každý axiomatický systém pro aritmetiku přirozených čísel je principiálně neúplný. Vše, co intuitivně víme o přirozených číslech, se nedá axiomatizovat.

Závěr Modely nám tedy umožňují prokázat: relativní bezespornost teorie, nezávislost axiomu na ostatních, nerozhodnutelnost tvrzení v dané teorii, a řadu dalších zajímavých věcí, o nichž jsme nemluvili.

Děkuji vám za pozornost.