Goniometrické funkce Řešení pravoúhlého trojúhelníku * 16. 7. 1996 Goniometrické funkce Řešení pravoúhlého trojúhelníku Matematika – 9. ročník *

Goniometrické funkce Sinus ostrého úhlu 𝐶 3 · 𝐶 2 · 𝐶 1 · 𝐶 · 𝐵 3 𝐵 2 𝐵 1 a 𝐵 ∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑨 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 ~∆𝑨 𝑩 𝟐 𝑪 𝟐 ~∆𝐀 𝑩 𝟑 𝑪 𝟑 (𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒 𝑣ě𝑡𝑦 𝑢𝑢) 𝐴 platí: 𝐵𝐶 : 𝐴𝐵 = 𝐵 1 𝐶 1 : 𝐴 𝐵 1 = 𝐵 2 𝐶 2 : 𝐴 𝐵 2 = 𝐵 3 𝐶 3 : 𝐴 𝐵 3 Poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu a a délky přepony je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný. Tento poměr nazýváme sinus a a zapisujeme 𝐬𝐢𝐧= 𝐩𝐫𝐨𝐭𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚 𝐩ř𝐞𝐩𝐨𝐧𝐚 = 𝐚 𝐜

Goniometrické funkce Kosinus ostrého úhlu 𝐶 3 · 𝐶 2 · 𝐶 1 · 𝐶 · 𝐵 3 𝐵 2 𝐵 1 a 𝐵 ∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑨 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 ~∆𝑨 𝑩 𝟐 𝑪 𝟐 ~∆𝐀 𝑩 𝟑 𝑪 𝟑 (𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒 𝑣ě𝑡𝑦 𝑢𝑢) 𝐴 platí: 𝐴𝐶 : 𝐴𝐵 = 𝐴 𝐶 1 : 𝐴 𝐵 1 = 𝐴 𝐶 2 : 𝐴 𝐵 2 = 𝐴 𝐶 3 : 𝐴 𝐵 3 Poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu a a délky přepony je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný. Tento poměr nazýváme kosinus a a zapisujeme 𝐜𝐨𝐬= 𝐩ř𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚 𝐩ř𝐞𝐩𝐨𝐧𝐚 = 𝐛 𝐜

Goniometrické funkce Tangens ostrého úhlu 𝐶 3 · 𝐶 2 · 𝐶 1 · 𝐶 · 𝐵 3 𝐵 2 𝐵 1 a 𝐵 ∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑨 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 ~∆𝑨 𝑩 𝟐 𝑪 𝟐 ~∆𝐀 𝑩 𝟑 𝑪 𝟑 (𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒 𝑣ě𝑡𝑦 𝑢𝑢) 𝐴 platí: 𝐵𝐶 : 𝐴𝐶 = 𝐵 1 𝐶 1 : 𝐴 𝐶 1 = 𝐵 2 𝐶 2 : 𝐴 𝐶 2 = 𝐵 3 𝐶 3 : 𝐴 𝐶 3 Poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu a a délky odvěsny přilehlé k úhlu a je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný. Tento poměr nazýváme tangens a a zapisujeme 𝐭𝐠= 𝐩𝐫𝐨𝐭𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚 𝐩ř𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚 = 𝐚 𝐛

Goniometrické funkce Kotangens ostrého úhlu 𝐶 3 · 𝐶 2 · 𝐶 1 · 𝐶 · 𝐵 3 𝐵 2 𝐵 1 a 𝐵 ∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑨 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 ~∆𝑨 𝑩 𝟐 𝑪 𝟐 ~∆𝐀 𝑩 𝟑 𝑪 𝟑 (𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒 𝑣ě𝑡𝑦 𝑢𝑢) 𝐴 platí: 𝐴𝐶 : 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 1 : 𝐵 1 𝐶 1 = 𝐴 𝐶 2 : 𝐵 2 𝐶 2 = 𝐴 𝐶 3 : 𝐵 3 𝐶 3 Poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu a a délky odvěsny protilehlé k úhlu a je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný. Tento poměr nazýváme kotangens a a zapisujeme 𝐜𝐨𝐭𝐠= 𝐩ř𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚 𝐩𝐫𝐨𝐭𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚 = 𝐛 𝐚

Goniometrické funkce Řešení pravoúhlého trojúhelníku Za pomoci goniometrických funkcí v libovolném pravoúhlém trojúhelníku můžeme vypočítat délky zbývajících stran a velikostí vnitřních úhlů tj. „řešit pravoúhlý trojúhelník“, známe-li: a) délky dvou stran, b) délky jedné strany a velikost jednoho vnitřního úhlu. Zatím jsme uměli vypočítat v prvním případě délky stran (Pythagorova věta), ale ne úhlů, v druhém případě velikosti vnitřních úhlů (jejich součet je 180°), ale ne délky stran.

Goniometrické funkce Řešení pravoúhlého trojúhelníku V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe 𝑩𝑪 =𝟕,𝟓 𝒄𝒎, 𝑨𝑪 =𝟏𝟖𝒄𝒎. Vypočtěte délku zbývající strany a velikosti vnitřních úhlů. A 𝐵𝐶 =7,5𝑐𝑚 𝑡𝑔= 𝐵𝐶 𝐴𝐶 Délku přepony můžeme určit pomocí Pythagorovy věty, ale abychom se procvičili použijeme některou z goniometrických funkci. Můžeme si vybrat sinus nebo kosinus. 𝑠𝑖𝑛= 𝐵𝐶 𝐴𝐵 Poněvadž známe délky obou odvěsen můžeme použít pro výpočet velikosti vnitřních úhlů funkce tangens nebo kotangens. 𝐴𝐶 =18 𝑐𝑚 ∢𝐵𝐶𝐴 =90° 𝑡𝑔= 7,5 18 𝐵𝐶 =𝑠𝑖𝑛· 𝐴𝐵 𝐴𝐵 =…𝑐𝑚 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝑡𝑔=0,416 7 a ∢𝐵𝐴𝐶 =…° =22°40´ 𝐴𝐵 = 7,5 𝑠𝑖𝑛22°40´ ∢𝐶𝐵𝐴 =…° 𝐴𝐵 = 7,5 0,385 4 =90°−22°40´ Velikost druhého vnitřního úhlu vypočítáme snadno. =67°20´ 𝐴𝐵 =19,5 𝐴𝐵 =19,5 𝑐𝑚 b · B C

Goniometrické funkce Řešení pravoúhlého trojúhelníku V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe 𝑨𝑩 =𝟐𝟓 𝒄𝒎, 𝑩𝑪 =𝟕𝒄𝒎. Vypočtěte délku zbývající strany a velikosti vnitřních úhlů. A 𝐵𝐶 =7𝑐𝑚 𝑠𝑖𝑛= 𝐵𝐶 𝐴𝐵 c𝑜𝑠= 𝐴𝐶 𝐴𝐵 Poněvadž známe délku přepony a odvěsny můžeme použít pro výpočet velikosti vnitřních úhlů funkce sinus nebo kosinus. Délku odvěsny můžeme určit pomocí Pythagorovy věty, ale abychom se procvičili použijeme některou z goniometrických funkci. Můžeme si vybrat kosinus (cos ) nebo sinus (sin ). 𝐴𝐵 =25 𝑐𝑚 ∢𝐵𝐶𝐴 =90° 𝑠𝑖𝑛= 7 25 𝐴𝐶 =𝑐𝑜𝑠· 𝐴𝐵 𝐴𝐶 =…𝑐𝑚 𝐴𝐶 =𝑐𝑜𝑠16°16´ ·25 𝑠𝑖𝑛=0,28 a ∢𝐵𝐴𝐶 =…° =16°16´ 𝐴𝐶 =0,96 ·25 ∢𝐶𝐵𝐴 =…° 𝐴𝐶 =24 =90°−16°16´ Velikost druhého vnitřního úhlu vypočítáme snadno. 𝐴𝐶 =24 𝑐𝑚 =73°44´ b · B C

Goniometrické funkce Řešení pravoúhlého trojúhelníku V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe 𝑨𝑩 =𝟏𝟔 𝒄𝒎, ∢𝑨𝑩𝑪 =𝟔𝟒°. Vypočtěte délky zbývajících stran a velikost třetího vnitřního úhlu. A 𝐴𝐵 =16 𝑐𝑚 Poněvadž známe délku přepony a velikosti obou vnitřních úhlů můžeme použít pro výpočet délky zbývajících stran funkce sinus nebo kosinus. ∢𝐴𝐵𝐶 =64° Délku odvěsny můžeme určit pomocí Pythagorovy věty, ale abychom se procvičili použijeme některou z goniometrických funkci. Můžeme si vybrat sinus (sin) nebo kosinus (cos). 𝑠𝑖𝑛= 𝐴𝐶 𝐴𝐵 c𝑜𝑠= 𝐵𝐶 𝐴𝐵 ∢𝐵𝐶𝐴 =90° 𝐴𝐶 =…𝑐𝑚 𝐴𝐶 =𝑠𝑖𝑛· 𝐴𝐵 𝐵𝐶 =𝑐𝑜𝑠· 𝐴𝐵 a 𝐵𝐶 =…𝑐𝑚 𝐴𝐶 =𝑠𝑖𝑛64°·16 𝐵𝐶 =𝑐𝑜𝑠64°·16 ∢𝐵𝐴𝐶 =…° 𝐴𝐶 =16·0,898 8 𝐵𝐶 =0,438 4·16 𝐴𝐶 =14,4 𝐵𝐶 =7 =90°−64° =26° 𝐴𝐶 =14,4 𝑐𝑚 𝐵𝐶 =7 𝑐𝑚 Velikost druhého vnitřního úhlu vypočítáme snadno. b · B C

Goniometrické funkce Řešení pravoúhlého trojúhelníku V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe 𝑨𝑪 =𝟐,𝟖 𝒅𝒎, ∢𝑨𝑩𝑪 =𝟓𝟖°𝟐𝟎´. Vypočtěte délky zbývajících stran a velikost třetího vnitřního úhlu. A 𝐴𝐶 =2,8 𝑑𝑚 Poněvadž známe délku odvěsny a velikosti obou vnitřních úhlů můžeme použít pro výpočet délky zbývajících stran libovolné goniometrické funkce, podle toho zda budeme počítat druhou odvěsnu (funkce tangens nebo kotangens) či přeponu (funkce sinus nebo kosinus). Délku přepony můžeme určit pomocí Pythagorovy věty, tak to také jednou zkusíme. ∢𝐴𝐵𝐶 =58°20´ |AB|2=|BC|2+|AC|2 𝑡𝑔= 𝐵𝐶 𝐴𝐶 ∢𝐵𝐶𝐴 =90° |AB|2=1,72+2,82 𝐴𝐵 =…𝑑𝑚 𝐵𝐶 =𝑡𝑔· 𝐴𝐶 |AB|2=2,89+7,84 a 𝐵𝐶 =…𝑑𝑚 𝐵𝐶 =𝑡𝑔31°40´·2,8 |AB|2=10,73 ∢𝐵𝐴𝐶 =…° 𝐵𝐶 =2,8·0,616 8 AB = 10,73 𝐵𝐶 =1,7 =90°−58°20´ AB =3,3 =31°40´ 𝐵𝐶 =1,7𝑑𝑚 𝐴𝐵 =3,3 𝑑𝑚 Velikost druhého vnitřního úhlu vypočítáme snadno. b · B C

Goniometrické funkce Řešení pravoúhlého trojúhelníku Sestrojte bez úhloměru úhel o velikosti 72°. C ∢𝐵𝐴𝐶 =72° Vnitřní úhel BAC () je 72°, protože: 𝑡𝑔= 𝐵𝐶 𝐴𝐵 Využijeme funkci tangens 𝑡𝑔72°= 30,78 10 Určíme si tg 72° tg 72° = 3,078 𝑡𝑔72°=3,078 Sestrojíme pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají délku 10 jednotek (libovolných) a 30,78 jednotek (stejných). 30,78 j a · A 10 j B

Řešení pravoúhlého trojúhelníku Cvičení 1 Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a = 62 mm, b = 37 mm. a = 59°; b = 31°

Řešení pravoúhlého trojúhelníku Cvičení 2 Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a = 36 mm, c = 58 mm. a = 38°; b = 52°

Řešení pravoúhlého trojúhelníku Cvičení 3 Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte výšku na přeponu, je-li dáno: a = 6,4 cm, b = 5,2 cm. v = 4 cm

Řešení pravoúhlého trojúhelníku Cvičení 4 V obdélníku ABCD vypočítejte velikost úhlu, který svírá úhlopříčka a strana a, je-li dáno: a = 62 mm, b = 34 mm. a = 29°

Řešení pravoúhlého trojúhelníku Cvičení 5 V obdélníku ABCD je dáno: a = 63 mm, b = 25 mm a body E a F rozdělují stranu CD na třetiny. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů trojúhelníku AEF. 19°, 31°, 130°

Řešení pravoúhlého trojúhelníku Cvičení 6 Vypočítejte velikost vnitřních úhlů rovnoramenného trojúhelníku, je-li dáno: délka ramene 8,5 cm a výška na základnu 6,8 cm. a = b = 53°, g = 74°

Řešení pravoúhlého trojúhelníku Cvičení 7 Ve čtverci ABCD (a = 8 cm) je bod E střed strany BC a bod F střed strany CD. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů trojúhelníku AEF. 37°,°71°30´, 71°30´

Řešení pravoúhlého trojúhelníku Cvičení 8 V pravoúhlém lichoběžníku ABCD jsou a a c a b = 90°. Vypočítejte velikost úhlu a, je-li dáno: a = 10,6 cm, b = 7,1 cm, d = 8,9 cm. a = 53°

Řešení pravoúhlého trojúhelníku Cvičení 9 Jak velký středový úhel přísluší tětivě dlouhé 64 mm, která je sestrojena v kružnici o poloměru 10 cm? a = 37°

Řešení pravoúhlého trojúhelníku Cvičení 10 Z bodu R jsou sestrojeny tečny ke kružnici o průměru 72 mm. Úhel, který svírají, má velikost 72°.Vypočítejte vzdálenost bodu R od středu kružnice. 61 mm