Základy infinitezimálního počtu Elementární funkce algebraické

Elementární funkce Každá funkce, která vznikne pomocí konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání se nazývá elementární funkce. Klasifikace elementárních funkcí elementární funkce algebraické nealgebraické (transcendentní) racionální iracionální polynomické racionální lomené

Algebraické funkce - racionální Základní pojmy Racionálními funkcemi nazýváme souhrnně polynomické funkce a racionální lomené funkce. Polynomickou funkcí nazýváme každou funkci danou předpisem f: y = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0, kde n  𝑍 0 + , an, an-1,…a1, a0 reálné koeficienty, an  0 a Df = R. Například pro: n = 0 y = a0  konstantní funkce n = 1 y = a1x + a0, a1  0  lineární funkce n = 2 y = a2x2+ a1x + a0, a2  0  kvadratická funkce

Lineární funkce Připomeneme si co již víme o lineární funkci. Základní pojmy: Lineární funkce je každá funkce na množině R daná předpisem f(x)= a1x + a0, kde a1; a0 R, grafem je přímka a1  0 je koeficient lineárního členu a udává sklon grafu, a1 = 0 funkce konstantní, y = a0, graf rovnoběžný s osou x a0 je absolutní člen a posouvá graf po ose y. častěji se setkáváme s předpisem funkce f: y = ax + b

Lineární funkce graf f(x) = x – 1, Df = R, Hf = R f(x) = 2 f( 𝑥 2 ) 2 𝒙 𝟏 =𝟐 𝒙 𝟐 =4 f( 𝑥 1 ) f( 𝑥 2 ) f(x) = x – 1, Df = R, Hf = R f(x) = 2 2 Df = R, Hf ={2}  Úhly souhlasné  a0 = -1

Lineární funkce příklad Jsou dány funkce f: y = x – 2 a g: y = -2x + 1. Sestrojte grafy daných funkcí v téže soustavě souřadnic a z grafů určete: a) všechna x  R, pro která je f(x)  0; f(x)  -1; g(x)  0; g(x)  3, b) všechna x  R, pro která platí f(x)  g(x); f(x)  g(x), c) úhel sklonu grafů obou funkcí, zobraz postup řešení d) graficky vyřešte soustavu rovnic y = x – 2 y = -2x + 1 zobraz postup řešení

Lineární funkce příklad - řešení a) všechna x  R, pro která je f(x)  0; f(x)  -1; g(x)  0; g(x)  3, c) úhel sklonu grafů obou funkcí, b) všechna x  R, pro která platí f(x)  g(x); f(x)  g(x), x1 = 1; x2 = 2 a f(x1) = -1; f(x2) = 0 f(x) = x - 2 g(x)  3 pro x(-;-1 g(x)  0 pro x(0,5;+) f(x)  g(x) pro x (- ; 1) f(x)  0 pro x2;+) f(x)  g(x) pro x  1;+ ) f(x)  -1 pro x(-;1) x1 = 1; x2 = -1 a g(x1)= -1; g(x2) = 3 g(x) =-2x + 1 Zpět

Lineární funkce příklad - řešení d) graficky vyřešte soustavu rovnic y = x – 2 y = -2x + 1 x = 1 y = -1 f(x) = x - 2 [1;-1] Množina kořenů soustavy K={[1;-1]} g(x) = -2x + 1 Další Zpět

Lineární funkce cvičení Vyjádřete předpisem y = ax + b lineární funkci f, znáte-li: f(3) = -5; f(-1) = 4 Rozhodněte, zda je funkce f: y = ax + b rostoucí či klesající: f(1) = 1,5; f(-2) = -9 b = -3; f(2) = 5 f(3) = -0,5; f(-4) = 3

Kvadratická funkce Základní pojmy: Def.: Kvadratická funkce je každá funkce na množině R daná předpisem f(x)= ax2 + bx + c, kde a  0; Df = R, grafem je parabola a – koeficient kvadratického členu b – koeficient lineárního členu c – absolutní člen Je-li b = 0, pak mluvíme o ryze kvadratické funkci f(x)= ax2 + c Je-li a = 1, b = 0, c = 0, pak mluvíme o základní kvadratické funkci f(x)= x2

Graf kvadratické funkce Připomeneme si postup sestrojení grafu kvadratické funkce. Určíme souřadnice vrcholu paraboly, Vypočítáme průsečíky funkce (existují-li) s osou x a osou y Určíme několik dalších bodů. Příklad: Sestrojte graf funkce dané předpisem f(x) = x2 – 2x – 1 [-1;2] ad 1) upravíme předpis funkce doplněním na druhou mocninu dvojčlenu: x2 – 2x – 1 = (x-1)2 – 2 získáváme souřadnice vrcholu V[1;-2] paraboly ad 2) průsečíky s osou x určíme rozkladem kvadratického trojčlenu: x2 – 2x – 1 = [x-(1-2)][x+(1+ 2 )], získáváme souřadnice průsečíků P1[1+2], P2[1-2] paraboly 1-2 1+2 [0;-1] [2;-1] x -1 2 f(x) ad 3) sestavíme tabulku a určíme další body grafu. V[1;-2]

Kvadratická funkce příklad Funkční předpis kvadratických funkcí zapište rovnicí, víte-li, že platí: f(1) = -2, f(2) = 4, f(3) = 4; graf funkce prochází body K[0;-3], L[1;0], M[-1;-4]; zobraz postup řešení funkce f je sudá v R, hodnota minima je -8 a jeden z průsečíků grafu funkce s osou x má souřadnice [2;0]; funkce f pro x=2 nabývá maxima, přičemž hodnota maxima je 4 a osu y protíná graf funkce f v bodě [0;1] funkce f je v intervalu (-;3 rostoucí, v intervalu 3;) je klesající. Graf prochází počátkem soustavy souřadnic. Hodnota maxima je 18.

Kvadratická funkce příklad - řešení f(1) = – 2, f(2) = 4, f(3) = 4 b) graf funkce prochází body K[0;-3], L[1;0], M[-1;-4] Sestavíme tři rovnice o třech neznámých f(x) = ax2 + bx + c Pak f(0) = -3, f(1) = 0, f(-1) = -4 –3 = c –2 = a12 + b1 + c  c = – 2 – a – b 4 = a22 + b2 + c 0 = a + b + c 4 = a32 + b3 + c –4 = a – b + c 4 = 4a + 2b – 2 – a –b 3 = a + b + 4 = 9a + 3b – 2 – a –b –1= a – b 6 = 3a + b  b = 6 – 3a a = 1 6 = 8a + 2b b = 2 6 = 8a +12 – 6a c = – 3 a = –3 b = 15  f(x) = – 3x2 + 15x –14  f(x) = x2 + 2x –3 c = – 14 Zpět

Kvadratická funkce příklad - řešení c) funkce f je sudá v R, hodnota minima je -8 a jeden z průsečíků grafu funkce s osou x má souřadnice [2;0] Sudá funkce: xDf: f(-x) =f(x), tedy druhý průsečík s osou x má souřadnice [-2; 0] a graf funkce je souměrný podle osy y.  c = – 8 0 = 4a + 2b – 8 0 = 4a – 2b – 8 a = 2 b = 0  f(x) = 2x2 – 8 Ryze kvadratická funkce Zpět

Kvadratická funkce příklad - řešení funkce f pro x=2 nabývá maxima, přičemž hodnota maxima je 4 a osu y protíná graf funkce f v bodě [0;1] Pak funkce prochází body [2; 4], [0;1] a graf funkce je souměrný podle přímky x=2  prochází bodem [4;1] 4= 4a+2b+c 1 = c 1 = 16a + 4b +c 3 = 4a + 2b 1 = 16a + 4b a =− 𝟓 𝟖 b = 𝟏𝟏 𝟒  f(x) = − 𝟓 𝟖 x2 + 𝟏𝟏 𝟒 + 1 c = 1 Zpět

Kvadratická funkce příklad - řešení funkce f je v intervalu (-;3 rostoucí, v intervalu 3;) je klesající. Graf prochází počátkem soustavy souřadnic. Hodnota maxima je 18.  f(3) = 18, f(0) = 0, f(6) = 0 Pak funkce prochází body [3; 18], [0;0] a graf funkce je souměrný podle přímky x=3, tedy prochází bodem [6;0] 0= c Opět sestavíme tři rovnice o třech neznámých 18 =9a+3b+ c 0 = 36a + 6b +c 6 = 3a + b 0 = 6a + b a = -2 b =12  f(x) = −2x2 + 12x c = 0 Další Zpět

Kvadratická funkce cvičení Určete vrchol paraboly a průsečíky s osou x a y – vzor V[x;y],Px[a,b],[c,d],Py[e;f] f(x) = x2 + 4x – 5 Určete předpis kvadratické funkce f(x) – vzor y = ax^2+bx+c f(-2) = 26; f(0) = 4; f(1) = 2 graf je souměrný podle přímky x = 3 4 ; f(0) = 1; f(2) = 3, graf funkce prochází body: [1;-5], [0;1], [-4;-15]

Mocninná funkce Polynomické funkce, se kterými pracujeme se dají nazvat jako mocninné funkce, jak již víme, dělíme je na: funkce s přirozeným exponentem f(x) = xn; n N funkce s celým exponentem f(x) = xn; n Z Dále rozlišujeme, je-li exponent číslo sudé nebo liché. f(x) = x3 f(x) = x4 nN, n – liché lichá funkce oborem hodnot je R je rostoucí nemá minimum ani maximum není omezená zdola ani shora nN, n – sudé sudá funkce oborem hodnot je  0;+∞) je klesající v  -∞;0),rostoucí v  0;+∞) v bodě 0 má minimum , nemá maximum je omezená zdola

Mocninná funkce nZ, n – liché nZ, n – sudé funkce s celým exponentem f(x) = xn; n Z f(x) = x-3 f(x) = x-4 nZ, n – liché lichá funkce oborem hodnot je R- {0} je klesající v (-∞;0)  (0; +∞) nemá minimum ani maximum není omezená zdola ani shora nZ, n – sudé sudá funkce oborem hodnot je R+ je rostoucí v  -∞;0),klesající v  0;+∞) nemá minimum ani nemá maximum je omezená zdola

Mocninná funkce cvičení 1 Určete předpis funkce f: Určete Df , Hf funkce f: x2–2 a b c d Df =R, Hf = R+ a b c d x2-2x+4 Df =R0+, Hf = R+ x2+2x+4 Df =R, Hf = R0+ x2+2 Df =R, Hf = R x3–2 a b c d Df =R, Hf = R a b c d (x2+4x+4)-1 Df =R+, Hf = R (x-2)3 Df =R, Hf = R+ x2-3 Df =R0+, Hf = R- x-2–2 a b c d (x-4)-4 Df =R-{2}, Hf = R+ (x-3)2 (x-2)-2 Df =R, Hf = R-{2}

Mocninná funkce cvičení 2 Podle grafu funkce rozhodněte zda platí ( A-ano, N-ne): funkce je v (─ ∞; 2 klesající není omezená zdola má minimum funkce je prostá není omezená je lichá funkce je omezená zdola není sudá pro x=2 není definována funkce je v 2; ∞) rostoucí nemá maximum je prostá je klesající v celém Df v bodě [2;0] má minimum nabývá pouze záporné funkční hodnoty existuje k ní funkce inverzní v (2;∞) je klesající nabývá pouze kladné

Racionální lomené funkce Nyní si připomeneme další funkce se kterými budeme v základech infinitezimálního počtu pracovat a to lomené funkce Mezi nejdůležitější racionální lomené funkce patří: Nepřímá úměrnost 𝑦= 𝑘 𝑥 , 𝑘≠0, 𝐷 𝑓 = 𝐻 𝑓 =𝑅−{0} a Lineární lomená funkce 𝑦= 𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥+𝑑 , kde c 0  a . d  b . c Lomenou funkcí nazýváme každou funkci 𝑓:𝑦= 𝑃 𝑛 (𝑥) 𝑄 𝑚 (𝑥) = anxn + an−1xn−1 + …+ a1x + a0 bmxm + bm−1xm−1 + …+ b1x + b0 , definičním oborem je množina všech reálných čísel kromě nulových bodů polynomu 𝑄 𝑚 (𝑥)

Lineární lomená funkce Definičním oborem je množina R – − 𝑑 𝑐 , oborem hodnot je sjednocení intervalů −∞; 𝑎 𝑐 ∪ 𝑎 𝑐 ;∞ Grafem je rovnoosá hyperbola se středem v bodě 𝑆 −𝑑 𝑐 ; 𝑎 𝑐 a asymptotami o rovnicích 𝑥= −𝑑 𝑐 ;𝑥= 𝑎 𝑐 rovnoběžnými se souřadnicovými osami. Při sestrojování grafu si nejdříve určíme asymptoty a poté několik dalších bodů. Graf je souměrný podle průsečíku asymptot. Asymptota grafu funkce je přímka, ke které se graf nekonečně přibližuje.

Graf lineární lomené funkce Vytvoříme graf funkce 𝑓 𝑥 = 𝑥+3 𝑥+1 1. sestrojíme asymptoty, tedy přímky o rovnicích 𝑥= −𝑑 𝑐 =−1 a y = 𝑎 𝑐 =1 [-0,5;5] 2. určíme průsečíky grafu s osami f(0) = 0+3 0+1 =3, [1;2] f(x) = 0 = 𝑥+3 𝑥+1 𝑥=−3 3. sestrojíme několik dalších bodů [-2;-1] x -2 1 -0,5 f(x) -1 2 5

Elementární funkce algebraické shrnutí V této kapitole jsme si připomenuli pojmy: Toto jsou základní algebraické funkce a jejich vlastnosti. Další typy funkcí si připomeneme v další kapitole.

Použitá literatura Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci Přehled středoškolské matematiky, Josef Polák Matematika pro gymnázia - Funkce, Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc.