FINANČNÍ MATEMATIKA Ing. Dana Němcová

ÚROK z pohledu věřitele – odměna za to, že poskytl své volné peněžní prostředky dočasně někomu jinému (zahrnuje náhradu za dočasnou ztrátu kapitálu a za riziko spojené s nesplacením částky); z pohledu dlužníka – cena za získání půjčky (úvěru);

Základní termíny Jistina – poskytnutá/vypůjčená částka Splatná částka – částka, která má být splacena Úrok – částka, o kterou splatná částka převyšuje jistinu;

Základní termíny Úroková sazba (míra) – úrok vyjádřený v procentech z hodnoty jistiny za jednotkové časové období; Úroková doba – doba, po kterou je částka uložena/zapůjčena – doba, za kterou počítáme úrok (doba splatnosti); Úrokovací období – doba, za kterou se pravidelně připisují úroky – frekvence úročení;

Daň z úroku Je procentuální část úroku, kterou odvádíme státu Příklad: Na počátku roku jsme uložili do banky na jeden rok 68 000 Kč. Banka vklad úročí 2,3% a to jednou na konci roku. Z úroku banka připíše 85% a 15% odvádí daň státu. a) Kolik činí úrok před zdaněním? b) Kolik činí úrok po zdanění? c) Kolik budeme mít v bance na konci roku? 68 000 . 0,023 =1 564 68 000 . 0,023 . 0,85 =1 329,40 68 000 +1 329,40 = 69 329,40 = 69 330 Kč

Úrokovací období p.a. – roční (per annum), p.s. – pololetní (per semestre), p.q. – čtvrtletní (per quartale), p.m. – měsíční (per mensem), p.sept. – týdně (per septimanam) p.d. – denní (per diem).

JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ úroky se v průběhu jednoduchého úročení nepřidávají k základu a dále se neúročí; tj. úroky se stále počítají pouze ze základu používá se převážně pouze pro doby t kratší než 1 rok

JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ dekurzivní - polhůtné anticipativní – předlhůtné bankovní rok – 360 dnů bankovní měsíc – 30 dnů

JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ ú úrok K úročená částka p úroková sazba v % n počet období t počet dní

Standardy Určují úrokovou dobu (dobu po kterou je kapitál úročen) Německý standard 30E/ 360 měsíc 30 dní, rok 360 dní měsíc 30 dní, rok 360 - dní v měsíci, který má 31 dní, se počítá 31 dní Americký standard 30A/ 360 Francouzský standard ACT/ 360 měsíc skutečný počet dní dní, rok 360 Anglický standard ACT/ 365 měsíc skutečný počet dní dní, rok 365 Ze dvou krajních dní uložení a splatnosti se počítá pouze jeden ve všech standardech

PŘÍKLAD VÝPOČTU 30E/360 Dne 8. 2. jsme vložili do banky 42 000, - Kč s tím, že je vybereme 15.5. téhož roku. Banka poskytla na tento vklad úrokovou míru 2,2% . Vklad zúročí jednou - v den splatnosti 15.5. Banka užívá standard 30E/360. Vypočtěte: Počet dní úrokové doby Výši úroku po zdanění Celkovou částku, kterou nám vyplatí V květnu počítáme 15 dní a) Každý měsíc má 30 dní – únor počítáme od 9. dne Únor (30 - 8) + březen (30) + duben (30) + květen(15) = 97 b) Úroková doba je 97 dní – tj. 97/360 finančního roku c) Banka vyplatí 42 212 Kč

Př. Vypočítej počet dnů v období 15. 7. 2007 – 4. 9. 2009 Řešení: ÚROKOVÁNÍ PŘÍKLAD Odečítací metoda (německá) na výpočet počtu dnů: Př. Vypočítej počet dnů v období 15. 7. 2007 – 4. 9. 2009 Řešení: (4–15) + (9–7)*30 + (2009–2007)*360= = - 11 + 60 + 720 = 769 dnů

Jednoduché úrokování - vzorce pro výpočet Ko ……………… vstupní kapitál Kn……………….. zúročený kapitál n…………………. doba, po kterou je kapitál úročen i…………………. úroková míra

Jednoduché úrokování - vzorce pro výpočet

Jednoduché úrokování - vzorce pro výpočet

Jednoduché úrokování - vzorce pro výpočet

Aplikace jednoduchého úročení Jednoduché úročení se používá především v kombinaci s úročením složeným a to tehdy, když se období úročení skládá z částí, které jsou necelé. Například úročení účtu je prováděno úrokovou sazbou 1,6% p.a. Na účet vložíme 1.6. 2006 150000 a vybíráme je 4.3. 2010.

Aplikace jednoduchého úročení   1. období 2. období 3. období Celkem úroky Celkem s úroky bez daně 151 407,12 Kč 158 791,57 Kč 159 230,09 Kč Celkem úroky v období 1 407,12 Kč 7 384,44 Kč 438,53 Kč 9 230,09 Kč Celkem s úroky s daní 151 196,05 Kč 157 449,13 Kč 157 818,73 Kč Celkem úroky s daní 1 196,05 Kč 6 253,08 Kč 369,60 Kč 7 818,73 Kč

Složené úročení Jde o další typ úročení progresivně využívaný, přináší věřiteli vyšší zisky, neboť v průběhu úročení jsou úročeny s kapitálem i vzniklé úroky. Z hlediska dlužníka jde o horší variantu úročení. Mějme tedy počáteční kapitál K0 ,n úrokových období , úrokovou míru i( přepočtenou na úrokové období ). Uvedeme dále vzorec pro výpočet nové hodnoty kapitálu Kn za n období:

Složené úročení Z tohoto vzorce lze počítat mnoho dalších hodnot při znalosti zbylých. Například: Hodnotu K0 – počátečního kapitálu: Hodnotu počtu období n Hodnotu úrokové míry i

Stav kapitálu na konci roku Složené úročení Rok Stav kapitálu na konci roku 1 K1=K0+K0 · i =K0 (1+ i) 2 K2=K1+K1 · i =K1 (1+ i) =K0 (1+ i)2 3 K3=K2+K2 · i =K2 (1+ i) =K0 (1+ i)3 … t Kt=Kt-1+Kt-1 · i =Kt-1 (1+ i) =K0 (1+ i)t

SLOŽENÉ ÚROČENÍ na konci každého období se vypočtený úrok přidá k základu a v dalším období se úročí spolu s ním; splatná částka základ

Složené úrokování - vzorce pro výpočet Ko ……………… vstupní kapitál Kn……………….. zúročený kapitál n…………………. doba, po kterou je kapitál úročen i…………………. úroková míra

Složené úrokování - vzorce pro výpočet m………………… počet období, po která se úročí a………………… anuita

Složené úrokování - vzorce pro výpočet

Složené úrokování - vzorce pro výpočet

Složené úrokování - vzorce pro výpočet

Složené úrokování - vzorce pro výpočet

Kombinované úrokování vzorce pro výpočet Ko ……………… vstupní kapitál Kn……………….. zúročený kapitál n…………………. doba, po kterou je kapitál úročen i…………………. úroková míra

Kombinované úrokování vzorce pro výpočet n……. počet úrokovacích období (ukončených) l …… počet úrokovacích období (neukončených)

Kombinované úrokování - vzorce pro výpočet

Vzorové příklady Klient si vypůjčil z banky 65 000,- Kč na 10 % úrok p. a. dek., jednoduché úrokování, dekurzivní. Kolik musí vrátit? Řešení: 70 254,- Kč

Vzorové příklady Řešení: 225 000,- Kč 24 525,- Kč Vypočítej původní jistinu a úrok, jestliže půjčka i s úroky byla splacena po 327 dnech. Úrok 12 % p. a. dek., jednoduché úrokování, dekurzivní. Řešení: 225 000,- Kč 24 525,- Kč

Vzorové příklady Řešení: 188 783,- Kč Kolik si můžete půjčit peněz, pokud víte, že za 3/4 roku budete mít na úhradu dluhu 200 000,- Kč, při úrokové míře 8 % p.a. a složeném úrokování dekurzivním? Řešení: 188 783,- Kč

Vzorové příklady Jak dlouho byl v bance uložen kapitál 30 000,- Kč, vzrostl-li při jednoduchém úrokování dekurzivním při sazbě 0,05 na 36 500,- Kč? Řešení: 1560 dnů

Vzorové příklady 6 000,- Kč úročen čtvrt roku a vzrostl Urči úrokovou sazbu, byl-li kapitál 6 000,- Kč úročen čtvrt roku a vzrostl na 6 075,- Kč. Úrokování jednoduché, dekurzivní. Řešení: i = 0,05 p = 5 %

Vzorové příklady Řešení: 104 500,- Kč Ekonom firmy vystavil 15. 4. 2009 vlastní směnku za dodávku zboží v hodnotě 100 000,- Kč se splatností za 6 měsíců. Zjistěte směnečnou sumu, jestliže úrok je 9 % p.a. Řešení: 104 500,- Kč

Vzorové příklady a) jednoduché úročení dek. b) složené úročení dek. Jak vzroste kapitál 500 000,- Kč uložený do banky 3. 2. 2006, který si klient vybere 6. 8. 2009 při úrokové míře 8 % p. a. ? a) jednoduché úročení dek. b) složené úročení dek. Řešení: a) 640 333,- Kč b) 654 986,- Kč

Vzorové příklady Řešení: 1 333 868,- Kč Jak se zúročí úvěr 1 milion korun, když byl úrokován složeným způsobem při 0,05 p. a. dek., po dobu 2 let 6 měsíců 27 dnů? Řešení: 1 333 868,- Kč

Vzorové příklady Řešení: 4 roky Jak dlouho byl uložen vklad 25 000,- Kč, vzrostl-li na 29 246,50 Kč při úrokové sazbě 0, 04 p. a. dek.? Složené úrokování, dekurzivní. Řešení: 4 roky

Vzorové příklady 18 500,- Kč, pokud za 3 roky vzrostl na 20 000,- Kč? Na kolik % byl úročen kapitál 18 500,- Kč, pokud za 3 roky vzrostl na 20 000,- Kč? Úrokování složené, dekurzivní. Řešení: i = 0,0263 p = 2, 63 %

Vzorové příklady Řešení: 314 873,- Kč Jak vzroste kapitál 240 000,- Kč s úrokovou mírou 8,5% p.a. uložený na období 22. 2. 2006 až 17.6. 2009 při kombinaci jednoduchého a složeného úročení? Řešení: 314 873,- Kč

Stav kapitálu na konci roku Složené úročení Rok Stav kapitálu na konci roku 1 K1=K0+K0 · i =K0 (1+ i) 2 K2=K1+K1 · i =K1 (1+ i) =K0 (1+ i)2 3 K3=K2+K2 · i =K2 (1+ i) =K0 (1+ i)3 … t Kt=Kt-1+Kt-1 · i =Kt-1 (1+ i) =K0 (1+ i)t

Složené úročení s častějším připisováním úroků Vložíme-li počáteční kapitál K0 na účet s úrokovou mírou i , je podstatné kdy připisujeme úroky. Obecně platí, že častější způsob připisování úroků při stejné úrokové míře vede k vyšším výnosům . Vzoreček pro hodnotu Kn: Kn = K0 . ( 1 + i/p )(n.p) , kde p je počet období připisování úroků.

Připisování úroků m-krát do roka Část roku Stav kapitálu na konci roku 1 K1=K0+K0 · i/m =K0 (1+ i/m) 2 K2=K1+K1 · i/m =K1 (1+ i/m) =K0 (1+ i/m)2 3 K3=K2+K2 · i/m =K2 (1+ i/m) =K0 (1+ i/m)3 … m Km=Km-1+Km-1 · i/m =Km-1 (1+ i/m) =K0 (1+ i/m)m

Stav budoucího kapitálu Kn =K0 (1+ i/m) mn Uložili jste částku 12000Kč. Jaká bude výše kapitálu za 3 roky při složeném úročení polhůtním, jestliže úrokové období je pololetní a úroková sazba činí 12,5%? [17.264,53,-Kč]

Současná hodnota při sl.ú. K0=Kn/(1+ i/m) mn Máme možnost koupit ojetý automobil. Je pro nás výhodnější hotově zaplatit 240.000Kč nebo dát zálohu 120.000Kč a za 3 roky doplatit 160.000Kč? Peníze máme možnost uložit při 8% úr. míře p.a. Úroky jsou připisovány pololetně a ponechány na účtě. [teď; 246.450,32,-Kč]

Porovnání jednoduchého a složeného úročení splatná částka složené úročení jednoduché úročení základ čas 1

Spoření Předpoklad: Pravidelně vždy na konci období ukládáme stále stejně vysokou částku při fixní úrokové sazbě. Střadatel polhůtní: Jak velkou částku získám po n obdobích (na konci n-tého období), budu-li pravidelně vždy na konci období ukládat/spořit 1Kč.

Spoření pořadí úložky počet období, po které je uložena hodnota na konci n-tého období 1 n-1 2 n-2 … n a

Spoření – krátkodobé polhůtní Úložky jsou vkládány vždy na konci měsíce. Úroky se připisují vždy až na konci období (např. roku). Klasickým praktickým příkladem může být stavební spoření.

Spoření dlouhodobé polhůtní Součet n prvních členů geometrické posloupnosti

Spoření příklad Pořadí úložky Úložka Doba úročení Úroky ke konci roku 1 800 11 měsíců 800x0,02x(330/360) 14,70 2 10 měsíců 800x0,02x(300/360) 13,30 3 9 měsíců 800x0,02x(270/360) 12,00 4 8 měsíců 800x0,02x(240/360) 10,70 5 7 měsíců 800x0,02x(210/360) 9,30 6 6 měsíců 800x0,02x(180/360) 8,00 7 5 měsíců 800x0,02x(150/360) 6,70 8 4 měsíců 800x0,02x(120/360) 5,30 9 3 měsíce 800x0,02x(90/360) 4,00 10 2 měsíce 800x0,02x(60/360) 2,70 11 1 měsíc 800x0,02x(30/360) 1,30 12 0 měsíců 0,00 Celkem 9600 88,00

SPLÁCENÍ ÚVĚRU Úvěr (dluh půjčka) je poskytnutí peněžní částky na určitou dobu za odměnu zvanou úrok. Úvěr je sjednán na neurčitou dobu, musí být splacen najednou po výpovědi. Úroky se platí ve lhůtách splatnosti

Doba splatnosti úvěru Podle doby splatnosti je možno rozdělit úvěry na: Krátkodobé (do 1 roku) Středně dobé (1 – 4 roky) Dlouhodobé (delší než 4 roky)

UMOŘOVÁNÍ DLUHU Od začátku pravidelnými platbami. Podle charakteru plateb rozlišujeme: Konstantní anuita – platby stále stejné Konstantní úmor – stejná je částka, která snižuje úvěr. Platby jsou různě vysoké

Umořování dluhu Splácení dluhu: Degresivní – splátka se v čase snižuje Progresivní – splátka se zvyšuje Konstantní (anuitní) – splátka je neměnná

Základní pojmy Dlužná částka Úrok Úmor Splátka Splátka = úrok + úmor

Umořování dluhu Splácení dluhu: Degresivní Splátka se snižuje Úrok se snižuje Úmor je konstantní splátka úrok úrok úrok úrok úmor úmor úmor úmor čas

Umořování dluhu Splácení dluhu: Progresivní Splátka se zvyšuje Úrok se snižuje Úmor se zvyšuje splátka úrok úrok úrok úrok úmor úmor úmor úmor čas

Výpočet konstantní splátky Při zapůjčení kapitálu K jsou pro nás rozhodující : 1. Úroková míra úvěru včetně fixace této úrokové míry 2. Počet splátkových období 3. Cena doplňujících služeb , které si musíme zakoupit spolu s úvěrem ( v dalším nebudeme s touto částí počítat )

Výpočet konstantní splátky Předpokládejme tedy , že jsme si půjčili kapitál U na n let a v každém roce je k splátkových období. Dluh je úročen úrokovou mírou i . Předpokládejme, že splátky jsou prováděny na konci splátkového období. Náš úkol je stanovit výši splátky a a zjistit rozložení úroků z dluhu a úmoru tohoto dluhu. Pro přehlednost si uvedeme informace do tabulky :

Výpočet konstantní splátky

Umořování dluhu Výpočet anuity U … výše úvěru i … úrok sazba (des. číslo) n … počet období A … anuita (splátka) ú … velikost úroku m … velikost úmoru ÚNÚ… úrokové náklady úvěru

Úrok, úmor Potřebujeme zjistit, jak vysoký je úrok nebo úmor n-té splátky, pak: A … anuita (splátka) ú … velikost úroku m … velikost úmoru i … úrok sazba (des. číslo) n … celk. počet období k … počet období, po které je již dluh splácen (počet realizovaných splátek) Pozn. :

Příklad na výpočet konstantní splátky úvěru Chceme zjistit hodnotu splátky úvěru na 100 000 Kč, který máme splácet měsíčně 5 let při úrokové míře 2%. Řešení: Nejdříve provedeme označení U=100000; k=12; n=5; i=2% . Tyto údaje dosadíme do předchozího vzorce.

Příklad na výpočet výše půjčky Předpokládejme, že si chceme půjčit neznámý kapitál K. Víme , že ho můžeme splácet konstantními splátkami o maximální výši 7 500 Kč při úrokové míře 5,7% po celých 8 let při měsíčních splátkách. Jaká může být jeho výše?

Příklad na výpočet výše půjčky Řešení: Použijeme opět vzorec pro vztah hodnoty výše splátky, úrokové míře, počtu splátkových období, počtu let splátky a velikosti půjčeného kapitálu.

Příklad na výpočet výše půjčky - pokračování Opět dosadíme příslušné hodnoty: s = 7 500 Kč ; i = 5,7% ; n = 8 ; k = 12 . Dosadíme do vzorce a máme: Můžeme si tedy půjčit 577 107,69 Kč.

RPSN – její využití RPSN (roční procentní sazba nákladů) je číslo, které umožňuje spotřebiteli lépe vyhodnotit výhodnost nebo nevýhodnost poskytovaného úvěru. RPSN udává procentuální podíl z dlužné částky, který musí spotřebitel zaplatit za období jednoho roku v souvislosti se splátkami, správou a dalšími výdaji spojenými s čerpáním úvěru.

RPSN – její využití Při přijímání úvěru byla pro dlužníka velmi často k dispozici jen základní informace o úrokové míře. Protože jen tato informace nestačí, věřitelé totiž velmi často požadovali mnoho peněz za dodatečné služby popř. zvyšovali uměle výši dluhu, rozhodla EU o nové normě(směrnice 98/7/ES ).

RPSN – její využití Platnost této normy EU je pro ČR od 1. ledna 2002, ze zákona je povinen věřitel uvádět u své nabídky i RPSN (tato povinnost je částečně omezena, RPSN se nemusí uvádět např. u úvěrů nižších než 5000 Kč nebo vyšších než 800 000 Kč, u úvěrů splatných nejdéle do tří měsíců apod.). Pokud poskytovatel tuto povinnost nesplní, je jím poskytnutý úvěr automaticky úročen diskontní sazbou ČNB (což je zpravidla pro zákazníka výrazně výhodnější).

Definice RPSN RPSN vyjadřuje úrokovou míru, pro kterou se rovná čistá současná hodnota získaných půjček čisté současné hodnotě výdajů (splátek, poplatků apod.), jedná se tedy o takové r, pro které platí následující rovnice: kde n je počet poskytnutých půjček, Ai je výše i-té poskytnuté půjčky, ti je doba (v letech a zlomcích roku ode dne 1. půjčky), kdy byla i-tá půjčka poskytnuta, k je počet plateb, Bj je výše j-té platby (splátky, poplatku atd.), sj doba (v letech a zlomcích roku ode dne 1. půjčky), kdy byl j-tý poplatek zaplacen.

Shrnutí Nejobjektivnějším způsobem hodnocení úvěrů je RPSN. Zároveň je nutné zjistit , zda věřitel uvedl všechny platby , které měl. Tento způsob zohledňuje především více splátek na delší období. V případě extrémně krátkodobých úvěrů dává velké hodnoty reálné úrokové míry.

Forfaiting Forfaiting je jednou z forem financování tuzemského a mezinárodního obchodu. Jedná se o odkup v budoucnu splatných středně a dlouhodobých pohledávek z dodavatelských úvěrů bez zpětného postihu vůči původnímu vlastníkovi pohledávek (dodavateli). Z právního hlediska se jedná o postoupení pohledávek.

Odkup pohledávek Odkupované pohledávky musí splňovat: jejich splatnost je zpravidla delší než 60 dnů (časové hledisko) ve většině případů jsou za zahraničním subjektem jsou denominovány ve volně směnitelné měně (EUR, USD, GBP, CHF) jednotlivé transakce mají hodnotu vyšší než 50 000 USD (nebo ekvivalentu v jiné měně) musí být zajištěné (akreditivem, směnkou nebo bankovní zárukou)

Pro koho je forfaiting zajímavý ? Forfaiting je vhodný pro firmy dodávající zahraničním odběratelům zboží či služby větších hodnot, zejména investiční celky. Pomocí této služby jednak omezí, respektive zcela vyloučí rizika spojená s odběratelem, jeho teritoriem a riziko změny měnového kurzu, jednak získají provozní kapitál, ke kterému by se jinak dostaly až po velmi dlouhém čase.

Pokračování… Forfaitér (banka) neposuzuje riziko odběratele, nýbrž jeho banky (vystavující, resp. potvrzující akreditiv). Po odkoupení si může pohledávku ponechat, nebo ji opět prodat na sekundárním trhu. Požadované záruky V případě směnky je to aval nebo bankovní záruka prvotřídní banky. V případě akreditivu bude akreditiv otevřen nebo potvrzen prvotřídní bankou.

Náklady na forfaiting Celkové náklady forfaitingu tvoří: diskontní sazba poplatky. Poplatky - nejčastěji se jedná o tzv. Arrangement Fee (fixní poplatek za administrativní zpracování transakce) a Commitment Fee (závazková provize).

Diskontní sazba Diskontní sazba se skládá z aktuální úrokové sazby na mezibankovním trhu (většinou 3 měsíční LIBOR) plus marže zohledňující riziko forfaitera, použitou měnu, výši a splatnost pohledávky a administrativní náklady. Uvádí se v procentech a je vypočtena za časový úsek ode dne odkupu pohledávky do její splatnosti.

Výpočet diskontní sazby Diskontní sazba (DS) = refinanční sazba (3M LIBOR) + marže. Refinanční sazba se fixuje vždy dva dny před dnem postoupení pohledávky. Marže je stanovena ve smlouvě o postoupení pohledávky. Diskontní úrok se vypočítává: metodou Straight Discount metodou Discount to Yield

Straight Discount Základem výpočtu diskontního úroku je nominální hodnota pohledávky. Dsd = N * isd * T / 36000 Dsd – diskontní úrok N – nominální hodnota pohledávky isd – úroková sazba v % T – počet dní, po které je úrok účtován

Straight Discount Diskontovaná hodnota pohledávky se potom vypočítává jako SD = N – Dsd = N * (36000 – isd * T) / 36000 Metoda Straight Discount se většinou používá na primárním trhu.

Discount to Yield (DTY) Základem výpočtu diskontního úroku je diskontovaná hodnota pohledávky. Ddty = N * idty * T / (36000 + idty * T) Ddty – diskontní úrok N – nominální hodnota pohledávky idty – úroková sazba v % T – počet dní, po které je účtován úrok

Discount to Yield (DTY) Diskontovaná hodnota pohledávky se potom vypočítává jako: SD = N – Ddty = N / (1 + (T * idty / 36000)) Metoda Discount to Yield se hlavně používá na sekundárním trhu.