Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace 10.5.2 ZS – 2010/2011 reg-5 - 2 © 2010 - Ing. Václav Rada, CSc.

TEORIE ŘÍZENÍ … „ třetí část “ tématu předmětu pokračuje …. KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR TEORIE ŘÍZENÍ … „ třetí část “ tématu předmětu pokračuje …. … oblastí typových členů (prvků) pro řešení …… A © VR - ZS 2010/2011

Základy teorie řízení T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Základní schema zpětnovazebního regulačního obvodu. - w x y e Regulátor člen zpětné vazby soustava u uy regulovaná veličina signál zpětné vazby žádaná hodnota regulační odchylka porucha © VR - ZS 2010/2011

Základní pojmy T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY PŘENOSOVÁ FUNKCE (PŘENOS) – Laplaceovou transformací vyjádřená diferenciální rovnice (Laplaceovými obrazy veličin) popisující časové (dynamické) vztahy mezi výstupní a vstupní veličinou systému FREKVENČNÍ PŘENOSOVÁ FUNKCE – Fourierovou frekven-ční transformací vyjádřená diferenciální rovnice (Fourierovy frek-venční obrazy veličin) popisující frekvenčně závislé vztahy mezi výstupní a vstupní veličinou systému – popisuje rychlost s jakou může systém reagovat na dynamické podněty © VR - ZS 2010/2011

Prvky regulačních obvodů – obecný matematický postup KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regulačních obvodů – obecný matematický postup - dynamické (časové) chování je popsáno diferenciální rovnicí bn*dxn(t)/dtn + … + b2*dx2(t)/dt2 + b1*dx(t)/dt + b0*x(t) = = am*dym(t)/dtm + … + a2*dy2(t)/dt2 + a1*dy(t)/dt + a0*y(t) - převod do tvaru Laplaceovy transformace bn * pn * X(p) + … + b2 * p2 * X(p) + b1* p * X(p) + b0* X(p) = = am* pm * Y(p) + … + a2* p2 * Y(p) + a1* p * Y(p) + a0* Y(p) přenosová funkce jako poměr Laplaceova obrazu výstupního signálu k Laplaceově obrazu vstupního signálu F(p) = ------------ = ------------------------------------------------- Y(p) bm * pn + … + b2 * p2 + b1 * p + b0 X(p) an * pm + … + a2 * p2 + a1 * p + a0 © VR - ZS 2010/2011

takto “TO“ bude trochu čitelnější… KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regulačních obvodů – obecný matematický postup - dynamické (časové) chování je popsáno diferenciální rovnicí bn*dxn(t) / dtn + … + b2*dx2(t) / dt2 + b1*dx(t) / dt + + b0*x(t) = am*dym(t) / dtm + … + a2*dy2(t) / dt2 + + a1*dy(t) / dt + a0*y(t) Její řešení dává rovnici (vztah) pro popis dynamického (časové- ho) chování systému takto matematicky popsaného. takto “TO“ bude trochu čitelnější… © VR - ZS 2010/2011

takto “TO“ bude trochu čitelnější… KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regulačních obvodů – obecný matematický postup převod do tvaru Laplaceovy transformace bn * pn * X(p) + … + b2 * p2 * X(p) + b1* p * X(p) + + b0* X(p) = am* pm * Y(p) + … + a2* p2 * Y(p) + + a1* p * Y(p) + a0* Y(p) Laplaceův tvar dává šanci pro matematicky „jednoduché“ způsoby řešení s nutností výsledek převést zpětnou Laplaceovou trans-formací zpět do časové oblasti. takto “TO“ bude trochu čitelnější… © VR - ZS 2010/2011

F(p) = ------------ = ------------------------------------------ KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regulačních obvodů – obecný matematický postup - přenosová funkce jako poměr Laplaceova obrazu výstupního signálu k Laplaceově obrazu vstupního signálu F(p) = ------------ = ------------------------------------------ Y(p) bm * pn + … + b2 * p2 + b1 * p + b0 X(p) an * pm + … + a2 * p2 + a1 * p + a0 takto “TO“ bude trochu čitelnější… © VR - ZS 2010/2011

Prvky regulačních obvodů – obecný matematický postup KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regulačních obvodů – obecný matematický postup po konkretizaci přenosové funkce prvku či celé soustavy a po odpovídajících matematických úpravách, se řeší problém zpětné Laplaceovy transformace, čili nalezení odpovídající časově závislé funkce k danému Laplaceovu obrazu pro vstupní signál (proměnná) x(t), kterou je „jednotkový skok“ Y (p) = F (p) * X (p) to v praxi znamená, že časově definovaná závislost je y (t) = integrál (pro čas od 0 do konečného, ustáleného času t ) z funkčního vztahu vstupní proměnné x (t) * dt. © VR - ZS 2010/2011

Prvky regulačních obvodů - rozdělelní KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regulačních obvodů - rozdělelní Základní rozdělení je na: - STATICKÉ ČLENY - ASTATICKÉ ČLENY © VR - ZS 2010/2011

Prvky regulačních obvodů - rozdělelní KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regulačních obvodů - rozdělelní STATI CKÉ ČLENY - 0 – tého řádu (proporcionální) - 1 – ho řádu (ideální integrál) - 2 – ho řádu (reálný integrál – integrál se setrvačností) © VR - ZS 2010/2011

Prvky regulačních obvodů - rozdělelní KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regulačních obvodů - rozdělelní ASTATICKÉ ČLENY - 1 – ho řádu (setrvačný) - 2 – ho řádu (kmitavý) – podle koeficientu tlumení - ξ > 1 … aperiodicky tlumený - ξ = 1 … mez aperiodicity - 0 < ξ < 1 … harmonické kmity - ξ = 0 … netlumené (rostoucí amplituda kmitů) © VR - ZS 2010/2011

Prvky regul. obvodů – proporcionální – statický 0-tého řádu KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regul. obvodů – proporcionální – statický 0-tého řádu DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY y(t) = Kp * x(t) PŘENOSOVÁ FUNKCE výstup = konstanta * vstup … F(p) = Y(p) / X(p) = Kp ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina kopíruje vstupní bez časové prodlevy (časového ovlivnění ) jen s Kp násobkem amplitudy vstupního signálu FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová – konstantní hodnota - úroveň dána konstantou zesílení Fázová – nulové fázové zpoždění - pro všechny frekvence = 0º © VR - ZS 2010/2011

Prvky regulačních obvodů - derivační KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regulačních obvodů - derivační DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY y(t) = TD * (dx(t) / dt ) PŘENOSOVÁ FUNKCE F(p) = Y(p) / X(p) = TD * p TD …. časová konst. derivace ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina v okamžiku změny vstupního signálu (čas t0 ) dosáhne „nekonečné“ hodnoty, aby v čase (t0+lim td) - pro td jdoucí k nule (čili pro nekonečně krátký časový interval) - opět klesla k původní úrovni – prakticky vytvoří nekonečně krátký impuls s velmi vysokou amplitudou – využití: k urychlení počátku přechodového děje - počáteční akcelerace) FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová – úroveň s rostoucí frekvencí roste (sklon + 20 dB/dek) Fázová – konstantní kladné zpoždění – pro všechny frekvence = + 90o © VR - ZS 2010/2011

Prvky regul. obvodů – integrační – astatický KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regul. obvodů – integrační – astatický DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY a0 * y(t) = b1 * dx(t) / dt y(t) = (1 / TI) * integrál ( x(t) * d(t) ) … v mezích pro t od 0 do T PŘENOSOVÁ FUNKCE F(p) = 1 / ( TI * p ) = KI * 1 / p TI …. časová konst. integrace KI … rychlostní konst. ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina s rostoucím časem a po počáteční časové prodlevě (zpomalení růstu v čase od t0 do tI (dáno TI) ) roste nade všechny meze – využití: k dosažení nulové konečné odchylky FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová – úroveň s rostoucí frekvencí klesá (sklon – 20 dB/dek) Fázová – konstantní záporné zpoždění pro všechny frekvence = - 90o © VR - ZS 2010/2011

Prvky regulačních obvodů - kombinované - PI KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regulačních obvodů - kombinované - PI DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY y(t) = Kp * x(t) + (1 / TI ) * integrál ( x(t) * d(t) ) PŘENOSOVÁ FUNKCE F(p) = Kp + 1 / (TI * p ) = ( Kp * TI * p + 1 ) / TI * p ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina v okamžiku změny vstupního signálu (čas t0 ) začne postupně (pozvolna) narůstat – časový průběh (tvar změny) a rychlost nárůstu závisí na hodnotách konstant Kp a TI - s růstem času bude na-růstat nade všechny meze FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová – úroveň s rostoucí frekvencí klesá (sklon - 20 dB/dek) a od kritické frekvence fI je konstantní Fázová – pro rostoucí frekvence se bude plynule měnit od - 90o do 0o © VR - ZS 2010/2011

Prvky regulačních obvodů – kombinované - PD KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regulačních obvodů – kombinované - PD DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY y(t) = Kp * x(t) + TD * (dx(t) / dt ) PŘENOSOVÁ FUNKCE F(p) = Kp + (TD * p ) ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina v okamžiku změny vstupního signálu (čas t0 ) začne velmi rychle narůstat = bude se chovat jako u prostého „D“ členu - pak se ustálí na nové hodnotě s respektováním proporcionální konstanty Kp FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová – úroveň je s rostoucí frekvencí konstantní a od kritické frekvence fD roste (dána sklonem + 20 dB/dek) Fázová – pro rostoucí frekvence se bude plynule měnit od 0o do + 90o © VR - ZS 2010/2011

Prvky regulačních obvodů – kombinované - PID KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regulačních obvodů – kombinované - PID DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY y(t) = Kp* x(t) + (1/TI ) * integrál ( x(t) * d(t)) + TD * (dx(t) /dt) PŘENOSOVÁ FUNKCE F(p) = Kp + (TD * p ) + 1 / (TI * p ) ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina v okamžiku změny vstupního signálu (čas t0 ) začne narůstat = bude se chovat jako u „D“ členu - pak po poklesu začne plynule růst nade všechny meze s respektováním konstant Kp ; TI ; TD FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová – úroveň s rostoucí frekvencí klesá (sklon - 20 dB/dek) od kritické frekvence fI bude konstantní a od kritické frekvence fD roste (sklon + 20 dB/dek) Fázová – pro rostoucí frekvence se bude plynule měnit od - 90o do + 90o © VR - ZS 2010/2011

Prvky regul. obvodů – statický 1-ho řádu - setrvačný KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regul. obvodů – statický 1-ho řádu - setrvačný DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY b0 * y(t) = a1 * dx(t) / dt + a0 * x(t) PŘENOSOVÁ FUNKCE F(p) = b0 / ( a1 * p + a0 ) = Kp / ( 1 + T1 * p ) ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina v okamžiku změny vstupního signálu (čas t0 ) začne aperiodicky narůstat s respektováním konstant Kp ; T1 – v čase T1 dosáhne 63,7% z ustálené hodnoty FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová – úroveň konstantní a od kritické frekvence f1 klesá (sklon - 20 dB/dek) Fázová – pro rostoucí frekvence se bude plynule měnit od 0o do - 90o © VR - ZS 2010/2011

Prvky regul. obvodů – statický 2-ho řádu - kmitavý KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Prvky regul. obvodů – statický 2-ho řádu - kmitavý DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DYNAMIKY b0 * y(t) = a2 * dx2(t) / dt2 + a1 * dx(t) / dt + a0 * x(t) PŘENOSOVÁ FUNKCE F(p) = b0 / ( a2 * p2 + a1 * p + a0 ) = = Kp / ( 1 + T * ξ * p + T2 * p2 ) = Kp / ( ( T1 * p + 1 ) * ( T2 * p + 1 ) ) ODEZVA NA JEDNOTKOVÝ VSTUPNÍ SKOK Výstupní veličina v okamžiku změny vstupního signálu (čas t0 ) začne narůstat s respektováním konstant Kp ; T1 a T2 – aperiodicky, s překmitem nebo více překmity nebo s ustálenými oscilacemi FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA Amplitudová – úroveň konstantní a od kritické frekvence fk klesá (sklon - 40 dB/dek) – nebo má dvě kritické frekvence s poklesem - 20 dB/dek a - 40 dB/dek Fázová – pro rostoucí frekvence se bude plynule měnit od 0o do - 180o © VR - ZS 2010/2011

........ (?) 5.210... vše … a to by bylo zatím T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR … a to by bylo zatím vše ........ (?) 5.210... © VR - ZS 2010/2011

KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Témata © VR - ZS 2009/2010