Newtonovské a nenewtonovské kapaliny Renata Holubová, PřF UP, Olomouc

Vnitřní tření gradient rychlosti

Dynamická viskozita  – míra odporu tečení [] = kg m-1s-1 = Nm-2s = Pa s Starší jednotka Poise [P]=gcm-1s-1= 0.1 Pa s Převrácená hodnota se nazývá tekutost:  = 1/ Často se používá viskozita vztažená na hustotu, tzv. kinematická viskozita  = /

jde o tečnou sílu mezi vrstvami vztaženou na jednotku plochy, tok hybnosti hustota toku hybnosti jde o tečnou sílu mezi vrstvami vztaženou na jednotku plochy, což je tečné napětí t mezi vrstvami tekutiny. Existence tečného napětí t je příčinou vnitřního tření tekutin.

Velikost vnitřního tření můžeme měřit silou F, které je zapotřebí, aby se deska plochy S pohybovala rovnoměrnou rychlostí v  ve vzdálenosti z od klidné desky (stěny), je-li mezi nimi vyšetřovaná kapalina. Newtonův vzorec určuje sílu připadající na jednotku plochy desky a udává tečné (tangenciální) napětí, které vzniká uvnitř tekutiny při jejím pohybu. ….tangenciální napětí je přímo úměrné rychlostnímu spádu v daném místě. Jednotkou  je kg.m-1.s-1 = N.s.m-2 = Pa.s.

Viskózní kapaliny Při proudění reálných tekutin se sousední vrstvy ovlivňují tečným napětím, které závisí na vzájemné rychlosti vrstev a viskozitě tekutiny. Mějme tekutinu proudící ve směru osy x. Potom pro tečné napětí, čili napětí působící ve směru proudění, platí Newtonův zákon:

Pro přesné pochopení fyzikálního významu viskozity uvažujme například válcovou nádobu s míchadlem a tento vztah ve tvaru : Má-li se míchadlo točit stejnou rychlostí je pro viskóznější kapalinu potřeba většího momentu síly a tedy i výkonu motoru. Chceme-li pro danou kapalinu zvýšit rychlost míchání je opět potřeba většího momentu síly.

D je gradient rychlosti rovný časové změně deformace ve střihu   =  . D D je gradient rychlosti rovný časové změně deformace ve střihu

Dynamická a kinematická viskozita některých kapalin:  [Pa.s]  [m2/s] rtuť 1,5 .10-3 1,16 .10-7 benzín 2,9 .10-4 4,27.10-7 olej 0,26 2,79 .10-4 voda 1,005 .10-3 0,804 .10-6

Viskozita : - snižuje průtok kapaliny (za daných podmínek) - způsobuje, že rychlost v protékaném průřezu není konstantní, ale má určité rozložení, u krajů je minimální (nulová) a uprostřed maximální. Lze ukázat, že v (proudové) trubici kruhového průřezu je rozložení rychlosti v závislosti na vzdálenosti od osy parabolické.

Mysleme si v laminárně a rovnoměrně proudící kapalině váleček o poloměru y. Na podstavy působí tlakové síly (p1 > 0, p2 < 0) Na plášť působí síla způsobená třením okolních vrstev. Pohybuje-li se válec rovnoměrně, musí být všechny síly na něj působící, tedy síly působící na podstavy plus na plášť v rovnováze :

Výpočet objemu proteklé tekutiny potrubím při laminárním proudění Ft r F1 F2 2y p1 p2 Směr pohybu tekutiny

Předpokládejme, že p1 > p2 a tedy kapalina se pohybuje ve směru růstu souřadnice x. Znaménko + by znamenalo, že by třecí síla měla směr rychlosti. Protože první člen je kladný, musí být třecí síla záporná, čili brzdící a rychlost klesá směrem od osy.

Po zavedení p = p1 – p2 a úpravě : Po integraci :

Uvažujeme-li trubici o poloměru r, obdržíme hodnotu integrační konstanty k z okrajové podmínky v(r) = 0 : a celkově dostáváme parabolickou závislost :

Důležitou a snadněji měřitelnou veličinou je průtok Důležitou a snadněji měřitelnou veličinou je průtok. Celkový průřez musíme rozdělit na mezikruží o poloměru y, v nichž je vždy rychlost konstantní: Celkový průtok obdržíme integrací : To je Hagen-Poiseuillova rovnice.

Rozložení rychlosti při laminárním proudění potrubím kruhového průřezu v(y) r y vmax

Elegantní měření- pád kuličky ve viskózní kapalině Působící síly: tíha, vztlak, odpor FS FV G Koule nerovnoměrně zrychluje až do vyrovnání působících sil:

Poiseuilleův (Hagenův) zákon Stokesův zákon pro kouli padající kulička v tekutině

Viskozimetry : absolutní měření – z Poiseuilleova zákona, měříme všechny ostatní veličiny b) relativní měření – srovnání s kapalinou, jejíž dyn.viskozita je známa – Ostwaldův viskozimetr Hopplerův viskozimetr Englerův viskozimetr . .

Stokesův zákon: Na kuličku o poloměru r, která se pohybuje malou rychlostí v v kapalině působí brzdící síla F = 6rv Kulička o hustotě  bude po ustálení rovnováhy padat v kapalině 0 konstantní rychlostí vt :

Za mezí Stokesova zákona : Laminární proudění brzdící síla je úměrná rychlosti rychlost je úměrná r2 střední rychlost vyplývající z H-P rovnice <v>=Qv/S je také úměrná r2 a tlakovému spádu Za mezí Stokesova zákona : Často je brzdící síla úměrná v2 : Fd = CdSv2 Cd je parametr, který závisí na tvaru

Pro R >1000 se považuje proudění za turbulentní Pro posouzení, zda je proudění ještě laminární se používá tzv. Reynoldsovo číslo. pro kuličku o poloměru r, pohybující se rychlostí v pro kapalinu pohybující se střední rychlostí <v> v trubici o poloměru r platí : Pro R >1000 se považuje proudění za turbulentní (ve jmenovateli posledního výrazu je řecké  (ný), tedy kinematická viskozita!)

Základy reologie Reologie se zabývá deformacemi látek za reálných podmínek Tyto deformace mohou být obecně velmi komplikované a záviset na mnoha faktorech. Proto je reologie velice rozsáhlá a otevřená oblast výzkumu. Zde uvedeme příklad chování některých ne-Newtonovslých kapalin a visko-elastického chování.

Ideálně může být deformace elastická – při ní se těleso po odstranění napětí vrátí do původního stavu a nedochází ke ztrátám energie – modelujeme pružinou plastická – po odstranění napětí zůstává trvalá deformace a dochází ke ztrátám energie – modelujeme tělesem, které táhneme se třením viskózní tečení – trvalá deformace je velká – modelujeme nádobou s perforovaným pístem Reálné deformace jsou zpravidla jejich kombinací

neNewtonovské kapaliny – vliv proudění Klid Proudění Změna orientace Napřímení Deformace Rozmělnění

Typy ne-Newtonovských kapalin Pseudoplastické - viskozita klesá s rostoucím gradientem rychlosti Dilatantní - viskozita roste s rostoucím gradientem rychlosti Binghamské – k toku dochází po překročení určitého smykového napětí Tokové křivky Newtonovská τ dv/dx

Zdánlivá viskozita může záviset také na době namáhání Zdánlivá viskozita může záviset také na době namáhání. Tokové křivky mají potom hysterezní chování. Příkladem jsou látky: -tixotropní – u nichž viskozita s časem klesá (nátěrové hmoty, laky se po delším působení štětce snáze roztírají a po skončení roztírání nestékají) - reopektické – u nichž viskozita s časem roste

Základní typy nenewtonských kapalin jsou: Pseudoplastické kapaliny, jejichž zdánlivá viskozita se s rostoucím gradientem rychlosti zmenšuje. Jsou to např. roztoky a taveniny polymerů, roztoky mýdel a detergentů, některé suspenze ap. Z technického hlediska je pseudoplasticita zpravidla vítanou vlastností, poněvadž snižuje energetickou náročnost při míchání, toku kapalin potrubím apod. b) Viskoelastické tekutiny – tečou, ale zároveň si do určité míry „pamatují“ tvar a po odstranění napětí se částečně vrátí do původního tvaru

Dilatantní kapaliny, jejichž zdánlivá viskozita roste s rostoucím gradientem rychlosti. Toto chování je poměrně řídké a bylo pozorováno v některých vysoce koncentrovaných suspenzích (např. v PVC plastisolech). Poněvadž zpravidla komplikuje technologické procesy je žádoucí dilataci pokud možno potlačit Binghamské kapaliny, tj. kapaliny s plastickou složkou deformace u nichž dochází k toku až po překročení určitého prahového smykového napětí (suspenze křídy, vápna, odpadní kaly)

Suspenze škrobu Vlastnosti dilatantních kapalin: • Pokud se suspenze deformuje pomalu, neklade téměř žádný odpor, při rychlé deformaci se však chová téměř jako pevná látka. Velký rozdíl je tak vidět např. při pomalém/rychlém ponoření ruky nebo při pomalém/rychlém průchodu tyčky kapalinou. Stejná vlastnost dovoluje z této kapaliny vytvořit v dlaních kouli apod. • Jsou-li suspenze vylity na reproduktor připojený k zesilovači a tónovému generátoru, začnou se při frekvenci 20 – 80 Hz deformovat, vytvářet zajímavé útvary a mají snahu z reproduktoru uniknout. Při vypnutí generátoru se suspenze rozteče zpět na původní kapalinu. • Weissenbergův efekt: Při míchání newtonovské kapaliny (např. vody) vznikne kolem míchačky povrchová prohlubeň. Při míchání nenewtonovské kapaliny leze naopak kapalina vzhůru po tyčce. Konkrétní pokus byl prováděn s gluepem a dřevěnou tyčkou roztáčenou vrtačkou, směs vystoupala do výšky 8 cm.

Příklady praktického života: Variabilní orgánový průtok Nutnost regulace spotřeby kyslíku jednotlivými orgány v různých situacích Jaký je princip regulace krevního průtoku orgány ??

Analogie elektrickým proudem Ohmův zákon I = U/R Q = ∆P/R Rozdíl tlaků na začátku a na konci cévy Periferní odpor [Pa.ml-1] Průtok krve [ ml.s-1]

Poiseullův – Hagenův zákon Q = ∆P. πr4 / 8ηl Poloměr průsvitu cévy Viskozita Délka cévy

R = 8 .η .l / π .r4 Tedy… Q = ∆P. πr4 / 8ηl Q = ∆P/R ∆P/R = ∆P. πr4 / 8ηl R = 8 .η .l / π .r4

…a tedy R = 8 .η .l / π .r4

…a tedy R = 8 .η .l / π .r4 Organismus uskutečňuje změnu průtoku krve orgány prostřednictvím změny průřezu cévy

R = 8 .η .l / π .r4 Čím větší odpor, tím menší průtok Co z toho plyne… Čím menší průřez cévy, tím větší odpor Q = ∆P/R Čím větší odpor, tím menší průtok ( p = konst.) I malá změna průřezu způsobí velkou změnu v odporu -> v průtoku

Viskozita Závisí na hematokrytu Definována jako odpor kapaliny kladený síle, která se ji snaží rozpohybovat Závisí na hematokrytu

Charakteristika toku krve 1) Laminární proudění – směr toku všech vrstev krve v cévě je rovnoběžný s dlouhou osou cévy krev céva

2) Turbulentní proudění – krev proudí cévou ve směrech, které svírají s dlouhou osou cévy různé úhly včetně pravého Obrázek z ultrasonografického vyšetření a. carotis interna. Zde významná stenóza 70%. Barevný a dopplerovský mód.

Důsledky turbulentního proudění I turbulentní proudění je v některých případech fyziologické - konkrétně v aortě Důsledky turbulentního proudění Vznik vírů změny tokových charakteristik (odpor kladený krevnímu toku je zvětšen o tzv. rigidní odpor) riziko poškození cévní stěny Turbulentní proudění je hlučné – způsobuje šelesty

Re = r. v. ρ / η Reynoldsovo číslo Je-li Re > 200, objevují se ojedinělé turbulence. Při Re > 1000 je proudění plně turbulentní Re = r. v. ρ / η viskozita poloměr cévy rychlost proudění specifická hmotnost krve

Dynamika krevního oběhu Krevní oběh je udržován srdcem. Levá část síň -> komora pumpuje krev do velkého (tělního) oběhu a pravá část do malého oběhu (plic). Krev v aortě : <v> = 0.3 ms-1 r = 0.01 m  = 1060 kg m-3  = 3.3 10-3 Pa s R  970 proudění je těsně ještě laminární.

Ve velkých žilách proudí krev pomaleji, jen rychlostí <v> = 0 Ve velkých žilách proudí krev pomaleji, jen rychlostí <v> = 0.1 ms-1 a ve vlásečnicích dokonce jen rychlostí <v> = 0.001 ms-1. Pomocí rovnice kontinuity můžeme odhadnout, že celkový průřez vlásečnic je 300 krát větší než průřez aorty velkých žil je 3 krát větší než průřez aorty

Podle H-P zákona je tlakový spád nepřímo úměrný čtvrté mocnině poloměru trubice. K největšímu spádu tedy musí docházet v arteriální sekci : aorta plicnice Systola 16 kPa (120 torr) 3.3 kPa Diastola 10.5 kPa (80 torr) 1.3 kPa 62

Práce srdce bývá vyjadřována jako součet statické – objemové dodávající tlakovou energii kinetické – dodávající kinetickou energii odpovídající příslušné střední rychlosti : Pro střední hodnoty V = 70 ml a p = 13.3 kPa je Wo= 0.93 J a Wk= 0.003 J, tedy W = 0.94 J

Práce pravé komory je asi jedna pětina práce komory levé Práce pravé komory je asi jedna pětina práce komory levé. Celková mechanická práce srdce při jedné systole je tedy asi 1.13 J. Při tepové frekvenci 70 min-1 je výkon srdce přibližně 1.3 W. Tato hodnota představuje jen asi jednu desetinu celkového mechanického výkonu srdce. Převažující část se spotřebuje na udržování stálého napětí (tonusu) srdeční svaloviny.

Celkový srdeční výkon je tedy 13 W, což představuje přibližně 13% celkového klidového výkonu organismu. Srdce ale funguje nepřetržitě řadu let. Za 60 let života vykoná práci 2.5 GJ, což je : 3 s výkonu Chvaletické elektrárny Vyzdvižení 30 t břemene na Mt. Everest

Shrnutí Hlavním principem regulace průtoku krve je změna odporu řečiště Odpor klesá se 4.mocninou poloměru cévy 2 typy proudění – laminární – turbulentní Ve většině případů jsou turbulence patologií

Inteligentní plastelína Materiál s těmito vlastnostmi se označuje jako viskoelastická tekutina. Při působení malé síly po dlouhou dobu se chová viskózně – teče, deformuje se, vzdáleně připomíná med. Při větší síle nebo krátkém impulsu je elastický – pružný jako pryž; a když to dojde do extrému, chová se jako pevné těleso. Základní látkou, ze které byla Inteligentní plastelína vytvořena, je polydimethlylsiloxan (PDMS). Je to organický silikonový polymer, známý právě svými viskoelastickými vlastnostmi. Při chemické analýze bychom v plastelíně našli ještě oxid křemičitý, látku Thixotrol a v menším množství další chemické sloučeniny.

Historie této plastelíny sahá do doby druhé světové války, kdy se vědci snažili vynalézt syntetickou náhradu kaučuku. I když se jim to nepodařilo, výsledkem byla látka s velmi zvláštními vlastnostmi. Byla pružnější než guma, zároveň se ale chovala trochu jako tekutina. Na počátku vzniku nového materiálu byla náhoda. Chemik James Wright z General Electric hledal materiál, který by nahradil přírodní kaučuk, a smíchal kyselinu boritou se silikonovým olejem. Výsledná látka měla zajímavé vlastnosti, ale General Electric pro ni nenašel žádné využití. V roce 1949 ale Peter Hogson pochopil, jaké má nový materiál marketingové možnosti. Půjčil si 147 dolarů, koupil od General Electric práva na výrobu a na světě byla předchůdkyně inteligentní plastelíny Silly Puppy. Některé prameny dávají největší zásluhy doktorovi Earlu Warrickovi. Ten také během druhé světové války hledal náhradu kaučuku, a protože vsadil na silikonový základ, výsledek byl podobný.

Literatura Brdička, M., Samek, L. , Sopko, B.: Mechanika kontinua,Academia, 2000 Janalík, Jaroslav: Viskozita tekutin a její měření. VŠBTU, fakulta strojní Ostrava, 2010 Havránek, A.: Reologie a její aplikace na biolátky http://noveltrends4.ft.utb.cz/programme.html Springer handbook of experimental fluid mechanics, Cameron Tropea, Alexander L. Yarin, John F. Foss, Publisher: Springer, 9 October 2007, ISBN 3540251413, ISBN 978-3540251415, p.676 Springer handbook of experimental fluid mechanics, Cameron Tropea, Alexander L. Yarin, John F. Foss, Publisher: Springer, 9 October 2007, ISBN 3540251413, ISBN 978-3540251415, p.661. Rheology of Fluid and Semisolid Foods: Principles and Applications, M. A. Rao, Publisher: Springer, 2nd edition, 28 August 2007, ISBN 0387709290, ISBN 978-0387709291, p.8. http://fyzmatik.pise.cz/766-inteligentni-plastelina.html http://pravdu.cz/zabavna-fyzika/chuze-po-vode-zahada-nebo-zabava