Modely hromadné obsluhy Modely front Základní pojmy Popis systémů hromadné obsluhy Parametry/charakteristiky Kendalova notace Analytické a simulační řešení Model M/M/1 Model M/M/c Optimalizace v modelech hromadné obsluhy

Úvod – základní pojmy

Úvod – základní pojmy systém obslužné linky požadavky ordinace lékaře pacienti banka Úředníci u přepážky klienti samoobsluha pokladny, nákupní vozíky zákazníci výrobní linka místa na výrobní lince výrobky dopravní systém křižovatky se semafory vozidla benzínová pumpa čerpací stojany nádraží pokladny cestující pojišťovna Úředníci pojistné případy telefonní centrála telefonní linky volající lyžařské středisko Vleky lyžaři

Popis systému hromadné obsluhy Příchod požadavků do systému Zpravidla jsou to náhodné veličiny s nějakým pravděpodob-nostním rozdělením a parametry. Příchody požadavků lze popsat buď pomocí intenzity příchodů, což je počet požadavků, které do systému přijdou za časovou jednotku, nebo pomocí intervalů mezi příchody, což je charakteristika, udávající čas mezi dvěma po sobě následujícími příchody. Pro popis intervalů mezi příchody často vyhovuje exponenciální rozdělení, jehož střední hodnota je E(X) = 1/λ. λ je potom průměrný počet příchodů za jednotku času – budeme označovat jako intenzita příchodů.

Popis systému hromadné obsluhy Doba trvání obsluhy Podobně jako pro popis náhodné veličiny intervalů mezi příchody požadavků, i pro popis doby trvání obsluhy lze použít často exponenciální rozdělení, jeho střední hodnota v tomto případě může být E(X) = 1/μ. μ je potom průměrný počet obsloužených požadavků za jednotku času – budeme označovat jako intenzita obsluhy.

Popis systému hromadné obsluhy Síť obslužných linek

Popis systému hromadné obsluhy Režim fronty 1. FIFO (first-in / first-out) představuje situaci, kdy požadavky přecházejí z fronty do obsluhy v tom pořadí, v jakém do systému přišly.. 2. LIFO (last-in / last-out). Požadavky jsou obsluhované v opačném pořadí než v jakém do systému vstoupily. 3. Náhodný způsob přechodu z fronty do obsluhy – SIRO (selection in random order). 4. Přechod z fronty do obsluhy podle zadaných priorit - režim PRI. V tomto režimu jsou požadavky obsluhovány podle definovaných priorit.

Popis systému hromadné obsluhy Zdroj požadavků Může být v zásadě konečný (cyklické systémy) nebo nekonečný. Speciální vlastnosti Systémy s omezenou nebo neomezenou trpělivostí požadavků, Systémy s omezenou kapacitou čekacího prostoru nebo zcela bez čekacích míst Cyklické systémy Systémy se skupinovou obsluhou požadavků, …

Kendalova notace A/B/C/D/E/F A charakterizuje typ pravděpodobnostního rozdělení, popisující intervaly mezi příchody požadavků do systému. Pro exponenciální rozdělení je používán symbol M, pro konstantní intervaly mezi příchody symbol D, B charakterizuje typ pravděpodobnostního rozdělení, popisující dobu trvání obsluhy. Používají se stejné symboly jako při popisu intervalů mezi příchody. C je počet paralelně uspořádaných obslužných linek. D je číslo udávající kapacitu systému hromadné obsluhy - pokud není tato kapacita omezená, použije se symbol . E je číslo udávající početnost zdroje požadavků - pokud je zdroj požadavků nekonečný, použije se opět symbol . F je režim fronty (FIFO, LIFO, PRI, SIRO).

Analýza systémů hromadné obsluhy Systém hromadné obsluhy závisí na jeho parametrech (intenzita příchodů, obsluhy, počet obslužných linek, atd.). Některé parametry jsou kontrolovatelné (manažerem ), jiné nekontrolovatelné. V závislosti na parametrech má systém nějaké chování, které lze popsat jeho charakteristikami. Ty lze rozdělit do několika skupin: Časové charakteristiky – T (průměrný čas strávený v systému), Tf (průměrný čas strávený ve frontě) Charakteristiky počtu požadavků - N (průměrný počet jednotek v systému), Nf (průměrný počet požadavků ve frontě) Pravděpodobnostní charakteristiky – pravděpodobnost, že linka pracuje/nepracuje, pst., že v systému je konkrétní počet požadavků, pst. že systém je plný (u kapacitně omezených systémů) a mnoho dalších. Nákladové charakteristiky.

Analýza systémů hromadné obsluhy V základních systémech hromadné obsluhy platí mezi časovými a „délkovými „ charakteristikami následující vztahy: N = T Nf = Tf T = Tf + 1/μ, (průměrný čas strávený v systému = průměrný čas strávený ve frontě + průměrná doba trvání obsluhy)

Analytické/simulační řešení Analytické řešení Požadované charakteristiky jsou získány jednoduše dosazením parametrů systému do vzorců – bohužel takové vzorce jsou k dispozici jen pro ty nejjednodušší systémy Simulace Simulace spočívá v experimentování s modelem daného systému na počítačích s využitím vhodných programových prostředků. Na základě sběru dat v průběhu simulačního běhu lze potom aproximativně odvodit charakteristiky simulovaného systému, které zajímají uživatele. Tímto způsobem lze analyzovat i velmi složité systémy hromadné obsluhy. Výhodou je, že to, co v realitě probíhá dlouho, může být při simulaci na počítačích hotové za několik málo sekund či minut.

M/M/1 – Jednoduchý exponenciální model Předpoklady modelu v systému je pouze jedna obslužná linka, intervaly mezi příchody požadavků lze popsat expo- nenciálním rozdělením s parametrem , doba trvání obsluhy je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením s parametrem , neomezená kapacita systému, neomezený zdroj požadavků a režim fronty FIFO. Podmínkou stabilizace systému M/M/1 je, že pro jeho intenzitu provozu platí  = / < 1

M/M/1 – Jednoduchý exponenciální model Pravděpodobnostní charakteristiky Pravděpodobnost, že v systému není žádný požadavek, tj. pravděpodobnost, že obslužná linka nepracuje p0 = 1  / . Z toho plyne, že pravděpodobnost, že v systému je alespoň jeden požadavek a tedy že linka pracuje, je  = / . Charakteristika  se označuje jako intenzita provozu systému hromadné obsluhy. Tato hodnota udává současně pravděpodobnost, že požadavek, který do systému přijde, bude muset na obsluhu čekat ve frontě. 2. Pravděpodobnost, že v systému je právě n požadavků, tj. jeden požadavek je obsluhován a (n  1) je ve frontě pn = p0 n = (1  )n .

M/M/1 – Jednoduchý exponenciální model Časové charakteristiky Průměrný čas, který požadavek stráví v systému (T) a ve frontě (Tf) Charakteristiky počtu jednotek Průměrný počet požadavků v systému (N) a ve frontě (Nf)

M/M/c – Exponenciální model s paralelně uspořádanými linkami Předpoklady modelu v systému je c identických obslužných linek, intervaly mezi příchody požadavků lze popsat expo-nenciálním rozdělením s parametrem , doba trvání obsluhy na každé z c obslužných linek je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením s parametrem , neomezená kapacita systému, neomezený zdroj požadavků a režim fronty FIFO. Podmínkou stabilizace systému M/M/c je, že pro intenzitu provozu celého systému platí  = /c < 1

M/M/c – Exponenciální model s paralelně uspořádanými linkami Všechny charakteristiky jsou nesrovnatelně složitější než u modelu M/M/1 – například: Pravděpodobnost, že v systému není žádný požadavek, tzn. pravděpodobnost, že žádná z c obslužných linek nepracuje, je NEUČIT SE!!! Platí ovšem vztahy: N = T Nf = Tf T = Tf + 1/μ,

Optimalizace v modelu M/M/c Optimalizace ve vztahu k počtu obslužných linek k1 náklady související s pobytem jednoho požadavku v systému hromadné obsluhy za jednotku času, k2 náklady provozu jedné obslužné linky za jednotku času, N průměrný počet jednotek v systému a c počet paralelně řazených obslužných linek, Nákladová funkce: NF(c) = k1N + k2c

Optimalizace v modelu M/M/c Příklad:  = 68, k1 = 200 Kč, μ = 25 , k2 = 500 Kč, Náklady počet linek pobyt klientů provoz Celkem c k1N k2c k1N + k2c 2  1000 3 2154 1500 3654 4 714 2000 2714 5 586 2500 3086 6 556 3000 3556