Zajímavosti z 34. ASTIN Colloqia (2. část) Jakub Strnad

modelování závislostí kam příště Obsah modelování závislostí kam příště 35. ASTIN Colloquium 28. mezinárodní kongres aktuárů

Důvody modelování závislostí v pojišťovnictví a financích Co je nezbytné pro: chování portfolia aktiv moderní risk management dynamické finanční analýzy modelování závislostí mezi náhodnými veličinami a procesy Důvody závislostí: ekonomické cykly přírodní katastrofy …

WTC  dopad na: ENRON  dopad na: Příklady majetkové pojištění, životní pojištění, letecké pojištění, pojištění odpovědnosti …. ENRON  dopad na: akciové trhy dluhopisové trhy pojistitele auditory

Standardní míry korelace a jejich nedostatky korelační koeficient (Pearsonův) není invariantní vůči nelineární striktně rostoucí trans. Spearmanův korelační koeficient  je invariantní vůči nelineární striktně rostoucí trans. máme-li výběr (Xi,Yi),i=1,…,n, potom je  rovna korelačnímu koef. z (Ri,Oi), kde Ri resp. Oi je pořadí Xi resp. Yi Kendallův korelační koeficient 

Korelace popisuje „průměrnou závislost“ na všech grafech je korelační koeficient roven 85% je třeba znát rozsah podkladů získaných 15.10. 2001 => tj. zda-li nešlo stanovit lepší odhad rezervy než 100 tis. proč byl předpoklad renty 1rok??

Potřeba měřit závislosti chvostů rozdělení (tail dependence) závislost horních chvostů závislost dolních chvostů

Sdružená distribuční funkce náhodného vektoru Co je KOPULE Sdružená distribuční funkce náhodného vektoru kde Ui má rovnoměrné rozdělení na [0,1] Obecně: Funkce o n proměnných definovaná na [0,1]n s následujícími vlastnostmi: obor hodnot je [0,1] C(u) je rovna 0 pro všechna u z [0,1]n, pro které aspoň jedna souřadnice je rovna 0 C(u)=ui , jestliže všechny souřadnice, kromě i-té, jsou 1 C je n-rostoucí

Vlastnosti kopulí stejnoměrně spojité, existují všechny parciální derivace  lze definovat hustotu každá kopule je zdola a shora omezená tzv. Fréchet-Hoeffdingovou závorou: nezávislá kopule

Základní věta z teorie kopulí Theorem (Sklar 1959): Nechť H značí distribuční funkci n-rozměrného vektoru s marginálními distr. funkcemi F1,…, Fn , potom existuje kopule C taková, že jsou-li marginální rozdělní spojitá, potom je kopule určena jednoznačně. Současně platí

Kopule a závislost Věta: Nechť U, V jsou R(0,1) , potom jejich sdružená distribuční funkce je rovna: W  U je skoro jistě klesající funkcí V (tj. extrémní negativní závislost)  U a V jsou nezávislé M  U je skoro jistě rostoucí funkcí V (tj. extrémní pozitivní závislost) Kopule uchovávají informaci o struktuře závislosti Současně platí, že Definujeme-li uspořádání kopulí potom platí pro 2-rozměrné kopule:

Praktické použití kopulí - Prof. Pfeifer Risk management + dynamické modelování (Prof. Pfeifer) generování závislých náhodných veličin s Poissonovým rozdělením s využitím kopulí včetně počítačové algoritmizace generování závislých Poissonovských procesů s využitím bodových procesů Využití:  pojišťovnictví = několik různých událostí nastává téměř současně (impulsem může být např. živelná pohroma: silné deště  povodně  škody) událostí  finance = portfolio s put a call opcemi se stejnou realizační cenou

Praktické použití kopulí - F. Fabien „Ekonomický kapitál (VaR) a závislost“ (F. Fabien) modelování společnosti provozující 4 poj. odvětví závislost generována s využitím Normální, Studentovy a Gumblovy kopule a výsledek srovnám s předpokladem nezávislosti Normální kopule s korelační maticí (chvosty jsou asymptoticky nezávislé) Studentova se stejnou korel. maticí a 1 st. volnosti  silná závislost chvostu (intenzivně používána ve finančních modelech) Gumblova s parametrem =2  Kandallovo tau=50% + silná závislost chvostů

Výsledky - F. Fabien

CatXL zajištění vázané na index Praktické použití kopulí - F. Krieter CatXL zajištění vázané na index F .Krieter, Swiss Re Standardní krytí (ZS): Krytí vázané na index (ZI):

Praktické použití kopulí - CatXL - F. Krieter Předpoklady: X~df F, Y ~ df G závislost X a Y popisuje kopule C Speciálně: F=G a C(F(x),G(y))=min  ZS = ZI Obecně : kde H(z) je d.f. veličiny ZI

Praktické použití kopulí - CatXL - F. Krieter Silná závislost chvostů  volba kopulí z rodiny Gumbel-Hougaard

Praktické použití kopulí - CatXL - F. Krieter =1  nezávislá kopule kopule M (tj. max. závislá kopule) Předpoklad o marginálním rozdělní tj. Weibullovo rozdělění

Praktické použití kopulí - CatXL - F. Krieter Empirické DF Modelované DF čisté škody index odovzeno z Gumbelovy kopule hrubé škody

Praktické použití kopulí - CatXL - F. Krieter Závislost výsledku na parametru 

Praktické použití kopulí - CatXL - F. Krieter Měření rizika portfolia po aplikaci zajištění Míra: Efektivnost ZI Míra = snížení rizika díky ZI/snížení rizika díky ZS Počítáno pro vrstvu 100% z 500 xs 10000

35. ASTIN Colloquium 6. – 9.6. 2004 v Bergenu (Norsko) Kam příště? 35. ASTIN Colloquium 6. – 9.6. 2004 v Bergenu (Norsko)  oficiální web: www.astin2004.no Hlavní témata: Insurance fraud Genetics and Insurance Climatic changes: A challenge to actuaries

35. ASTIN Colloquium  Koho tam uvidíte Professor Jean Lemaire(Wharton school of business) jeden z hlavních řečníků téma: Aktuárská věda v 21. století

28. mezinárodní kongres aktuárů Kam dále 28. mezinárodní kongres aktuárů 28.5.-2.6.2004 Paříž oficiální web: www.ica2006.com

28. mezinárodní kongres aktuárů  Co tam uslyšíte Program: Vědecký Stochastic dependence Solvency measurements and asset-liability management. Profesní The responsibility of the Actuary The point of view and role of actuaries with respect to the new accounting standards Technická témata Actuarial problems related to the retirement of the baby-boom generation. High severity risks and insurability