Dynamické systémy

Dynamické systémy obecné dynamické modely chování systémových jevů často se vychází ze struktury systému, na které se popisuje chování úlohy formulovány tak, aby byly řešitelné pomocí známých matematických metod a univerzálních algoritmů (např. matematické a dynamické programování), využijí se pojmy z teorie diferenciálních a diferenčních rovnic teorie pravděpodobnosti a stochastických procesů teorie automatů výsledkem často soustavy rovnic a nerovností

Základní pojmy časová množina T={t} množina stavů X={x} spočetná T={…, t0, t1, … tk, …} nespočetná T={t : t0t tk} omezená/neomezená množina stavů X={x} může být definována jako X = X1 x X2 x … Xn x … stavový vektor, popisuje stav systému externí proměnné popisují interakci systému s okolím vstupní proměnné u = (u1, u2 …, um), výstupní proměnné v = (v1, v2 …, vr) vektor externích proměnných y = (u, v)

Základní pojmy externí funkce popisují interakci systému s okolím vstupní funkce U’ – vektorová funkce zobrazující T do U, kde U je množina všech vektorů u = (u1, u2 …, um) výstupní funkce V’ – vektorová funkce zobrazující T do V, kde V je množina všech vektorů v = (v1, v2 …, vr) vstupní/výstupní prostor – množina všech definovaných vstupních/výstupních funkcí

Základní pojmy definice dynamického systému pomocí množin (Štach, 1982) S = M1 x M2 x … x Mn soustava množin M1, M2, .. Mn obsahuje časové množiny (T) nebo množiny funkcí času (např. množiny U’, V’) dělení dynamických systémů typu vstup-výstup: S = U’ x V’ stavové systémy: S = M1 x M2 x … x Mn, alespoň jedna množina je množina stavů X spojitý systém diskrétní systém x’(t) = f( x(t), u(t), t) x(n+1) = f( x(n), u(n), n) v(t) = g( x(t), u(t), t) v(n) = g( x(n), u(n), n)

Základní pojmy přechodová transformace T x T x X x X’ x U’ x V’  X’’ T x T … množina počátečních a koncových časových okamžiků X … množina stavů X’ … množina funkcí zobrazující T  X U’, V’ … množiny vstupních a výstupních funkcí X’’ … koncová množina množina stavů X – deterministické systémy pravděpodobnostní rozdělení X – stochastické systémy

Základní pojmy stavová trajektorie funkce x popisující vývoj stavů v čase (v závislosti na příčinách změn i na minulých stavech systému) x10 x11 x20 x21 x0 x1 x(t)

výstupní transformace Základní pojmy výstupní transformace T x X x U  V T x X  V soustava omezujících podmínek f(x, y, t) ≥ 0, t  T fyzikální, ekonomická, institucionální a další omezení týkající se zdrojů systému

jednoduchý dynamický systém Základní pojmy jednoduchý dynamický systém definován pomocí relace, např. R(T, T, X, U, U’, V, V’) složený dynamický systém množina jednoduchých dynamických systémů v13 u31 u21 u32 S1 S2 S3 v12 u v23 v u23 v32

Dynamický systém G = (P, A, T, τ, ) P … množina disjunktních množin objektů systému a okolí A … množina vztahů mezi objekty T … časová množina τ … množina přechodových funkcí (měnících strukturu systému, popisuje pohyb objektů mezi skupinami z P)  … funkce přechodu stavů (definuje nový stav systému na základě nových vztahů vzniklých působením τ) Kenneth R. Thompson: “General System” Defined for Predictive Technologies of A-GSBT (Axiomatic-General Systems Behavioral Theory), Scientific Inquiry, vol. 7, No. 1, June, 2006, pp. 1 – 11

Definice dynamického systému (Štecha, 2002) S = (T, X, U, U’, Y, Y’, φ, g) T … množina časových okamžiků T X … množina stavů systému U … množina okamžitých hodnot vstupních veličin U’ … množina přípustných vstupních funkcí U’ = {u(t): T  U} Y … množina okamžitých hodnot výstupních veličin Y’ … množina přípustných výstupních funkcí Y’ = {y(t): T  Y} φ … přechodová funkce g … výstupní zobrazení y(t) = g(x(t), u(t), t) (t, x(t)), t  T, x  X … událost T x X … prostor událostí

Definice dynamického systému (Štecha, 2002) je dána orientace času – T je uspořádaná podmnožina množiny reálných čísel množina U’ vyhovuje podmínkám: je neprázdná sjednocení vstupních dějů (jsou-li dva vstupní děje na různých intervalech přípustné, vstupní děj vzniklý jejich sjednocením je také přípustný)

Definice dynamického systému (Štecha, 2002) přechodová funkce φ: x(t) = φ(t, τ, x(τ), u) v intervalu <τ, t) působí funkce u orientace času – funkce φ je definována pro t ≥ τ identičnost – φ(t, t, x(t), u) = x(t) vlastnost pologrupy – φ(t3, t1, x, u) = φ(t3, t2, φ(t2, t1, x, u), u) pro t1 ≤ t2 ≤ t3 kauzalita – φ(t2, t1, x, u) = φ(t2, t1, x, u’) pro u, u’  U, u(t) = u’(t) na intervalu t1 ≤ t ≤ t2 je dáno výstupní zobrazení g y(t) = g(x(t), u(t), t) y(t) = g(x(t), t) – nezávislé na řízení (ryze dynamický systém)

Dělení dynamických systémů podle typu přechodové transformace (zobrazení T x T x X x U’  X) deterministické – jednoznačné nedeterministické – víceznačné stochastické – náhodné adaptivní – závisí i na minulosti systému podle typu časové množiny spojité diskrétní

Dělení dynamických systémů podle typu množiny stavů s konečnou množinou (konečné systémy) s nekonečnou množinou podle typu změny stavů se spojitými změnami s nespojitými změnami podle stacionarity stacionární (invariantní v čase) – jejich struktura a definiční relace se v čase nemění nestacionární (proměnné v čase) další typy reverzibilní – přechodová funkce f(…t1, t2…) je definována pro t1, t2 T, ne pouze pro t1 ≤ t2 konečný automat – množina stavů, vstupních a výstupních veličin jsou konečné množiny

Vlastnosti dynamických systémů řešení stavových rovnic x’(t) = f(x, u, t) y(t) = g(x, u, t) řízení systému schopnost ovlivňovat hodnoty vstupních proměnných dosažitelnost u(t) – řídicí veličina způsobující změnu počátečního stavu do stavu koncového dosažitelný stav – existuje řízení u(t), které za konečný čas převede poč. stav x(t0) = 0 do stavu x dosažitelný systém – všechny stavy systému dosažitelné

Úlohy na dynamických systémech řiditelnost u(t) – řídicí veličina způsobující změnu určitého stavu řiditelný stav – existuje řízení u(t), které převede stav x do počátku (nulový stav) řiditelný systém – všechny stavy řiditelné pozorovatelnost a rekonstruovatelnost mají význam z důvodu častého skrytí a tedy nemožnosti měření vnitřních veličin systému (stavu) pozorovatelnost – změřením vstupu a výstupu na určitém časovém intervalu lze určit hodnotu stavu na počátku měření rekonstruovatelnost (obnovitelnost, identifikovatelnost) –změřením vstupu a výstupu na určitém časovém intervale lze určit hodnotu stavu na konci měření

Úlohy na dynamických systémech úlohy o stabilitě stabilita vlastnost systému vzhledem ke množině rovnovážných stavů (konstantní stavy, stavy, kde se určité systémové proměnné v čase nemění, jsou splněny podmínky rovnováhy) schopnost vrátit se do původního stavu po odeznění působení vstupního signálu rušivý vliv – vstup znamenající vychýlení z rovnovážného stavu hledají se rovnovážné stavy stabilní vůči konkrétním/všem rušivým vlivům

Úlohy na dynamických systémech prognostické úlohy na základě počátečního stavu systému x(t0), hodnot externích proměnných y(t) na časové množině T hledáme budoucí hodnoty stavových proměnných x(t) optimalizační úlohy řeší matematická teorie optimalizace obsahují dynamický systém, kritérium optimality, soustavu omezení a množinu přípustných řešení úlohy o spojení systémů – hledá se zobrazení systému vzniklého spojeních vstupů a výstupů několika systémů simulace

Příklad – Solowův růstový model vnitřní proměnné s … míra spoření d … míra depreciace A … technologie H … lidský kapitál L … práce vnější proměnné C … spotřeba S … úspory D … odpisy NI … čisté investice výstup – produkční funkce Y = A*F(K, H, E*L) přechodová transformace vývoj kapitálové zásoby ΔK = s*F(K, H, E*L) – dK vývoj pracovní síly Lt+1 = Lt(1 + gL) Zdroj: http://www.fgn.unisg.ch/eurmacro/Tutor/solow.html

Proces identifikace identifikace = ztotožnění, aplikace systémových poznatků na objekt s cílem pomocí modelu zobrazit jeho systémové vlastnosti identifikace je jedním z rozhodujících metodologických znaků systémového inženýrství (Vlček, 1999) směry identifikace od objektu k modelu na základě rozpoznaných vlastností objektu (deduktivní, axiomatický postup) objekt se přizpůsobuje vzoru vzor je vyhledáván na objektu tento směr v rámci SI převažuje (zejména vyhledávání vzoru na objektu) směr od definice systému směrem k objektu (induktivní postup) vzor se přizpůsobuje objektu objekt je vyhledáván na vzoru

Kroky identifikace zvolení úrovně podrobnosti – význam pro zvládnutelnost rozsahu modelu výběr prvků na zvolené rozlišovací úrovni – rozlišení systému od jeho okolí přiřazení funkcí vybraným prvkům význam pro chápání systému jako dynamického objektu s určitými cíli F=(f) – množina disponibilních funkcí = schopnost systému ai := f(x)  y ai A (množina prvků), i=1, 2, … n (počet prvků) f … funkce, schopnosti jednotlivého prvku celku x … argumenty funkce (vstupy) y … výsledek funkce

vytvoření dvojic prvků, které spolu spolupracují, a jejich zřetězení Kroky identifikace vytvoření dvojic prvků, které spolu spolupracují, a jejich zřetězení produkční funkce zřetězení funkcí ai  aj představuje procesy na konkrétním objektu a nazývají se produkční funkce na jednom systému může být definováno více produkčních funkcí u produkční funkce rozlišujeme předmět, uplatněné schopnosti, nástroje transformující tento předmět

Kroky identifikace předmět produkční funkce nástroj produkční funkce týká se argumentů a výsledků funkce, hovoříme o tzv. bohatství obsah – nerostné, hmotné, energie, sociální prostředí (zdraví, vzdělanost, životní prostředí) rozložení – individuální, skupinové, státní nástroj produkční funkce formální tvar (jak je funkce zapsána) – např. numerická matematika smysl a cíle funkce reprodukce x  y = x transformace x  y <> x rozvoj x  y > x spotřeba x  y < x kapacita realizátora funkce

Kroky identifikace nástroj produkční funkce (pokračování) prostor = kde funkce působí (odpovídá složkám Vlčkovy definice systému) jednotlivé části funkce dvojic prvků = funkce spolupráce funkce zřetězení prvků = funkce procesů funkce v prostoru cílů chování = funkce formující účel funkce v prostoru přežití druhu = funkce formující smysl existence úroveň technologická (základní, prostý popis fungování), ekonomizovaná (zahrnuje směnu v rámci rozložení bohatství nezbytnou pro fungování funkce), normová atd.

Kroky identifikace stanovení metriky celého systému získání hodnot prvků funkcí, procesů závisí také na parametrech rozhraní vazeb mezi jednotlivými prvky identifikace cílů procesů „k čemu“ systém je nejobecněji definováno jako vztah mezi zdroji a produkty, je možno sledovat nákladovou, příjmovou či obě stránky základním cílem systému je přežití, udržitelný rozvoj identifikace druhových předpokladů systému silné funkce, dědičnost atd.