VARIACE Mgr. Hana Križanová Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizace Tento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním školám - OP VK 1.5. Výuková sada – MATEMATIKA, DUM č. 11

Vk(n)= n·(n−1)·(n−2)·……..·(n−k+1) VARIACE Vk(n) – variace k-té třídy z n prvků, je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou. n∈N, k∈N, n≥k Vk(n)= n·(n−1)·(n−2)·……..·(n−k+1) ! ZÁLEŽÍ NA POŘADÍ PRVKŮ !

1) Ve třídě je 30 žáků. Je třeba zvolit tříčlenný výbor, z nichž každý má svoji funkci – předseda, místopředseda, pokladník. Tvoříme variaci třetí třídy ze třiceti prvků. Poslední v řadě (30−3+1) = 30−2 = 28 V3(30) – třetí třída také znamená, že násobíme tři po sobě jdoucí čísla V3(30) = 30·(30−1).(30−2) V3(30) = 30·29·28 = 24360 Výbor lze sestavit 24360 způsoby.

2) Určete počet všech 6-ti ciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá z číslic vyskytuje nejvýše jednou. Máme na výběr z deseti prvků. Dekadický zápis(desítková soustava) používá 10 číslic (0, 1, 2….9). 6-ti ciferné číslo nemůže mít na 1.pozici nulu, jednalo by se o 5-ti ciferné číslo. V6(10) = 10·9·8·7·6·5 = 151200 - všechna 6-ti ciferná čísla, včetně začínajících nulou V5(9) = 9·8·7·6·5 = 15120 - všechna 6-ti ciferná čísla začínající nulou V6(10)−V5(9) = 151200−15120 = 136080

Samostatná práce: 3) Ve sportovním oddíle je 26 sportovců. Kolika způsoby lze vytvořit 5-ti členná družstva, v nichž má každý svou pozici? řešení: V5(26) = 26·25·24·23·22 = 7 893 600 4) Kolik různých přirozených čísel lze vytvořit z číslic 1, 2, 3, 4, 5, jestli-že se číslice neopakují? jednociferná V1(5) = 5 dvojciferná V2(5) = 5·4 = 20 trojciferná V3(5) = 5·4·3 = 60 čtyřciferná V4(5) = 5·4·3·2 = 120 pěticiferná V5(5) = 5·4·3·2·1 = 120 Celkem: 5+20+60+120+120 = 325

5) Zmenšíme-li počet prvků o jeden, zmenší se počet variací druhé třídy bez opakování o šestnáct. Kolik bylo původně prvků? V2(n)−16 = V2 (n−1) n·(n−1)−16 = (n−1)·(n−2) n2−n−16 = n2−3n+2 2n = 18 n = 9 Zk. L: V2(9)−16 = 9·8−16 = 72−16 = 56 P: V2(8) = 8·7 = 56

Domácí úkol: Kolik existuje čísel menších než 600, které lze v dekadickém zápisu vytvořit z číslic 1, 3, 6, 9? Každá číslice se v zápisu vyskytuje pouze jednou. Kolik čtyřciferných čísel větších než 5000 lze vytvořit v dekadickém zápisu z číslic 2, 4, 5, 6, 8? Každá číslice se vyskytuje nejvýše jednou. Telefonní číslo je tvořeno devíti číslicemi. Víme, že začíná trojčíslím 736, je dělitelné dvěma a číslice se neopakují. Kolik takových telefonních čísel existuje?

Řešení DÚ: Příklad 1) jednociferné V1(4) = 4 dvojciferné V2(4) = 4·3 = 12 trojciferné 1 - - V2(3) = 3·2 = 6 3 - - V2(3) = 3·2 = 6 Celkem: 4 + 12 + 2·6 = 28

Příklad 2) 5 - - - V3(4) = 4·3·2 = 24 6 - - - V3(5) = 4·3·2 = 24 8 - - - V3(5) = 4·3·2 = 24 Celkem: 3· V3(5) = 3·4 = 72 Příklad 3) 7 3 6 - - - - - 0 V5(6) = 6·5·4·3·2 = 720 7 3 6 - - - - - 2 V5(6) = 6·5·4·3·2 = 720 7 3 6 - - - - - 4 V5(6) = 6·5·4·3·2 = 720 7 3 6 - - - - - 8 V5(6) = 6·5·4·3·2 = 720 Celkem: 4· V5(6) = 4·720 = 2880

POUŽITÁ LITERATURA Čermák, Pavel; Červinková, Petra. Odmaturuj z matematiky. Brno: Didaktis, 2002. ISBN 80-86285-38-3 Vošický, Zdeněk. Cvičení k matematice v kostce. Praha: Fragment, 1999. ISBN 80-7200-251-1 Obrázky: www.google.cz