Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 – Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940 Autor: Lenka Šálková Tematická oblast: Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika Název DUMu: Permutace s opakováním Kód: VY_32_INOVACE_MA.2.08 Datum: 10. 11. 2012 Cílová skupina: Žáci středních škol Klíčová slova: permutace, permutace s opakováním, uspořádané n-tice Anotace: Zavedení pojmu permutace s opakováním, definice, procvičovací příklady.

Permutace s opakováním

Permutace s opakováním Určete kolik různých seskupení písmen je možné vytvořit přemísťováním písmen slova KAKAO. Slovo má 5 písmen ⇒ vyrábíme různá pořadí z pěti prvků ⇒ permutace Řešení: Písmena ve slově si oindexujeme ⇒ K1A1K2A2O1 ⇒ 5! možností. Jak se počet možností změní, když indexy zrušíme? Například slova: K1A1K2A2O1 a K2A2K1A1O1 budou stejná ⇒ ze dvou slov máme jediné. Vzájemné prohození písmen K1a K2nezpůsobí vznik nového slova ⇒ po zrušení indexů se počet slov zmenší na polovinu. Podobně u A1 a A2 Celkový počet možností:

Permutace s opakováním Kolik různých čtyřmístných čísel je možné vytvořit z cifer čísla 8388? Řešení: Čtyřmístné číslo = uspořádaná čtveřice ze čtyř cifer ⇒ 4! možností. Tři cifry jsou stejné (jedničky) ⇒ jejich prohazování (3! možností) získáváme stejná čísla ⇒ čísel je 3! krát méně než kdyby byly cifry různé ⇒ celkem

Permutace s opakováním Permutace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje alespoň jednou. Počet opakování jednotlivých prvků si označujeme čísly k1; k2; k3; k4 ;…; kn Kolika způsoby je možné rozdělit mezi deset dětí pět jablek, dvě hrušky a tři banány tak, aby každé dítě dostalo jeden kus ovoce. Určete konkrétní hodnoty proměnných n, k, k1, k2,…, kn Co platí pro čísla k, k1, k2,…, kn?

Permutace s opakováním Počet P´(k1, k2,…, kn) všech k -členných permutací s opakováním z n prvků (k > n), kde se první prvek opakuje k1 -krát, druhý k2 -krát, atd. je: Platí k = k1 + k2 +…+ kn záleží na pořadí prvků v k-tici, prvky se mohou (ale nemusí) opakovat

Permutace s opakováním 1) Kolika způsoby lze přemístit písmena slova ARITMETIKA tak, aby obě písmena A byla vedle sebe? 2) Určete počet všech šesticiferných přirozených čísel, jež můžeme sestavit z číslic 1 a 2 tak, že v každém z nich je číslice 1 právě dvakrát.

Permutace s opakováním 3) Je všeobecně známo, že nejúčinnějším zaklínadlem je formule ABRAKADABRA. Určete: a) počet všech způsobů, jimiž lze přemístit písmena slova ABRAKADABRA a splést zaklínadlo b) počet všech způsobů, jimiž lze přemístit písmena tak, aby žádná pětice sousedních písmen nebyla tvořena pěti písmeny A 4) Kolika způsoby lze přemístit písmena slova TANGANIKA. Kolik z těchto přemístění nemá na prvním místě K.

Permutace s opakováním 5) Určete počet všech sedmiciferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je roven dvěma. 6) Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel sestavených z číslic 2 a 3 tak, že číslice 3 se v nich vyskytuje alespoň třikrát.

Literatura: CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. 1. vyd. Praha: Jednota českých matematiků a fyziků, 1993, 163 s. ISBN 80-701-5444-6. FUCHS, Eduard a Josef KUBÁT. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. 1. vyd. Praha: Prometeus, 1998, 147 s. ISBN 80-719-6095-0. KUBÁT, Eduard, Josef HRUBÝ. .: Sbírka úloh z matematiky pro střední školy – Maturitní minimum. Praha: Prometeus, 147 s. ISBN 80-719-6030-6. JIRÁSEK, František, BRANIŠ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a pro studijní obory SOU. 3., upr. vyd., dotisk. Praha: Prometheus, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6012-8. PETÁKOVÁ, Jindra, BRANIŠ. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometeus, 1989, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3. Zápisy vzorců jsou mým vlastním dílem

Webové stránky: Kombinatorika http://carolina.mff.cuni.cz/~jana/kombinatorika/ http://www.realisticky.cz/ http://www.mg-akademie.cz/stranky_profesori/horsky/stat/st_3_PVC.pdf Pravděpodobnost http://vrbova.webnode.cz/treti-rocnik2/pravdepodobnost/ Statistika http://www.gymkl.cz/web/cs-s1006--1_10-statistika http://matikabrdickova.sweb.cz/soubory_PDF/7/8_Zaklady_statistiky.pdf http://vrbova.webnode.cz/treti-rocnik2/statistika/