Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 – Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Autor: Lenka Šálková Tematická oblast: Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika Název DUMu: Kombinace s opakováním Kód: VY_32_INOVACE_MA.2.09 Datum: Cílová skupina: Žáci středních škol Klíčová slova:kombinace, kombinace s opakováním, uspořádané n-tice Anotace: Zavedení pojmu kombinace s opakováním, definice, procvičovací příklady.

Kombinace s opakováním

K-členná kombinace s opakováním z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát. Počet K'(k, n) všech k-členných kombinací s opakováním z n prvků je: nezáleží na pořadí prvků v k-tici, prvky se mohou (ale nemusí) opakovat

Kombinace s opakováním 1) V osudí jsou černé, bílé a červené koule. Koule téže barvy jsou nerozlišitelné. Kolika způsoby lze vybrat 3 koule, jestliže v osudí je 5 černých koulí, 4 bílé koule a 2 červené koule. Koule jsou nerozlišitelné, proto půjde o trojčlennou kombinaci s opakováním ze tří prvků (tři barvy koulí). Jejich počet je K´(3,3) V osudí nejsou 3 červené koule, proto musíme možnost, že vytáhneme samé červené koule odečíst. Koule lze vybrat devíti způsoby.

Kombinace s opakováním 2) Vytvořte všechny možné dvoučlenné kombinace s opakováním z prvků a, b, c. Tvoříme neuspořádané dvojice ze tří prvků. Prvky se mohou opakovat. Jejich počet bude {a, a} {a,b} {b,b} {b, c} {a, c} {c, c}

Kombinace s opakováním 3) Kolika způsoby lze rozdělit 8 stejných hrušek mezi 6 lidí? Osmkrát vybereme mezi šesti lidmi. Někdo může dostat i více hrušek. Tvoříme osmičlenné kombinace ze šesti prvků. Jejich počet bude

Kombinace s opakováním 4) Řešte rovnici K´(2, n)+ K´(2, n +1) = 4 5) Zvětšíme-li počet prvků o jeden, zvětší se počet dvoučlenných kombinací s opakováním o 4. Určete původní počet prvků.

Kombinace s opakováním 6) Určete, kolika způsoby si může 5 žáků v hodině tělocviku rozdělit 6 stejných míčů a 7 stejných švihadel. 7) V hračkářství mají deset druhů stolních her, přičemž každou hru mají v 13 kusech. Kolika způsoby lze zakoupit 14 her?

6) Počet všech možností jak přiřadit pět žáků k šesti míčům (jedna osoba může dostat více míčů, přičemž nezáleží na tom, v jakém pořadí ty míče dostanou) je: K´(6,5) Počet všech možností jak přiřadit pět žáků k sedmi švihadlům (jedna osoba může dostat více švihadel, přičemž nezáleží na tom, v jakém pořadí ty švihadla dostanou) je: K´(7,5) Použijeme kombinatorické pravidlo součinu a oba počty vynásobíme. 7) Budeme vybírat 14 her z 10 druhů stolních her. Nezáleží nám na tom, v jakém pořadí si jednotlivé hry vybereme. Protože her je od každého druhu jenom 13, musíme od celkového počtu možností, jak časopisy vybrat, odečíst ty možnosti, kdy jsme vybrali 14 stejným časopisů od jednoho druhu. Protože časopisů mají 10 druhů, je počet možností, kdy bylo vybráno 14 časopisů stejného druhu 10. Počet všech možností, jak vybrat 14 časopisů je: K´(14,10)

Literatura: CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. 1. vyd. Praha: Jednota českých matematiků a fyziků, 1993, 163 s. ISBN FUCHS, Eduard a Josef KUBÁT. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. 1. vyd. Praha: Prometeus, 1998, 147 s. ISBN KUBÁT, Eduard, Josef HRUBÝ..: Sbírka úloh z matematiky pro střední školy – Maturitní minimum. Praha: Prometeus, 147 s. ISBN JIRÁSEK, František, BRANIŠ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a pro studijní obory SOU. 3., upr. vyd., dotisk. Praha: Prometheus, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN PETÁKOVÁ, Jindra, BRANIŠ. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometeus, 1989, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN Zápisy vzorců jsou mým vlastním dílem

Webové stránky: Kombinatorika Pravděpodobnost Statistika