Operace s vektory

Fyzikální veličiny: 1. skalární (skaláry, z lat. scalae - schody, stupnice) - jsou určeny číselnou hodnotou a jednotkou, např. čas, hmotnost, dráha, tlak, energie ... , 2. vektorové (vektory, z lat. vektor - nosič, jezdec) - jsou určeny číselnou hodnotou, jednotkou, směrem a polohou vektorové přímky, např. síla, rychlost ... Označení vektorů: - polotučné písmeno, např. F, v, ... - šipkou nad značkou veličiny, např.:

Grafické znázornění vektoru - graficky vektor znázorňujeme orientovanou úsečkou - přímka proložená koncovými body orientované úsečky je vektorová přímka. Měřítko: 1 cm ≈ 1 N. Velikost vektoru síly je F = 6 N, |F| = 6 N. Vektorová přímka a orientace určují směr vektoru. Velikost úsečky určuje velikost vektoru (ve zvoleném měřítku).

Operace s vektory: 1. Součet (skládání) vektorů. 2. Odčítání vektorů 3. Rozklad vektoru do daných směrů 4. Násobení vektoru skalárem (reálným číslem). 5. Skalární součin vektorů. 6. Vektorový součin vektorů.

1. Sčítání vektorů Výsledkem sčítání vektorů je vektor – tzv. výslednice vektorů. Skládání (sčítání) dvou vektorů znamená, že do koncového bodu prvního vektoru umístíme počátečný bod druhého vektoru. Výslednice vektorů je určena počátečním bodem prvního vektoru a koncovým bodem druhého vektoru. 2

1. Sčítání vektorů a) Vektory působí v jednom bodě a mají stejný směr. Řešení graficky: Řešení výpočtem: Velikost výslednice je rovna součtu velikostí skládaných vektorů. Směr výslednice je stejný jako směry skládaných vektorů. 2

1. Sčítání vektorů b) Vektory působí v jednom bodě a mají opačný směr. Řešení graficky: Řešení výpočtem: Velikost výslednice je rovna absolutní hodnotě rozdílu velikostí skládaných vektorů. Směr výslednice je stejný jako směr většího z vektorů, které skládáme. 2

1. Sčítání vektorů c) Vektory působí v jednom bodě a jsou navzájem kolmé. Řešení výpočtem: Řešení graficky: Velikost výslednice vektorů se určí Pytagorovou větou, její směr s využitím goniometrických funkcí. 2

1. Sčítání vektorů d) Vektory působí v jednom bodě různými směry. Řešení graficky: Z grafického řešení pomocí měřítka určíme velikost výslednice vektorů. 2

1. Sčítání vektorů sil d) Vektory působí v jednom bodě různými směry. Řešení graficky: Výslednici vektorů graficky určíme doplněním na vektorový mnohoúhelník. 2

2. Odčítání vektorů sil Při odčítaní vektor F1 složíme s vektorem -F2 Řešení graficky: Při odčítaní vektor F1 složíme s vektorem -F2 opačného směru k vektoru F2 ... 2

3. Rozklad vektoru na složky daných směrů Rozložte vektor F na složky F1 a F2 ve směrech polopřímek p a q. Hledáme vektory F1 a F2, jejichž složením vznikne vektor F. Vektory F1 a F2 nazýváme složkami vektoru F. Využíváme tzv. vektorový rovnoběžník. 2

3. Rozklad vektoru na složky daných směrů Rozložte vektor F na složky ve směrech os x a y. Hledáme vektory Fx a Fy, jejichž složením vznikne vektor F. Vektory Fx a Fy nazýváme složky vektoru F. 2

4. Násobení vektoru skalárem (reálným číslem) Součinem vektoru a skaláru n je vektor Výsledek násobení vektoru číslem lze odvodit pomocí sčítání vektorů. Velikost výsledného vektoru je Směr výsledného vektoru : - je totožný se směrem vektoru pro n>0. - je opačný ke směru vektoru pro n<0. 2

4. Násobení vektoru kladným reálným číslem Sestrojte vektor , kde n = 2. Určete velikost vektoru Řešení výpočtem: Řešení graficky: Při násobení vektoru reálným číslem je součin opět vektor téhož druhu. Výsledný vektor F2 má stejný směr jako F1 a jeho velikost je n-krát větší. 2

4. Násobení vektoru záporným reálným číslem Sestrojte vektor , kde n = -2. Určete velikost vektoru Řešení výpočtem: Řešení graficky: Výsledný vektor F2 má opačný směr než F1 a jeho velikost je n-krát větší. 2

4. Skalární součin dvou vektorů Skalárním součinem vektorů je skalár (číslo) kde α je úhel který svírají oba vektory. 2

5. Vektorový součin dvou vektorů Vektorovým součinem vektorů je vektor pro který platí: - pro velikost vektoru: kde α je úhel který svírají oba vektory. Geometrický význam: Velikost vektorového součinu je číselně rovna obsahu vektorového rovnoběžníku určeného vektory - pro směr vektoru: 2

Test 1 Skalární fyzikální veličiny: a) jsou určeny číselnou hodnotou a jednotkou, b) jsou určeny jednotkou a polohou vektorové přímky, c) jsou určeny velikostí, směrem a polohou vektorové d) jsou určeny značkou a číselnou hodnotou. 1

Test 2 Vektorové fyzikální veličiny: a) jsou určeny číselnou hodnotou a jednotkou, b) jsou určeny jednotkou a polohou vektorové přímky, c) jsou určeny číselnou hodnotou, směrem, jednotkou a polohou vektorové přímky, d) jsou určeny značkou a číselnou hodnotou. 2

Test 3 Působí-li dva vektory v jednom bodě a mají týž směr: a) velikost výslednice vektorů síly je rovna součtu velikosti vektorů sil, směr výslednice vektorů síly je stejný jako směry vektorů, které skládáme, b) velikost výsledného vektoru síly je rovna rozdílu stejný jako směr většího z vektorů, které skládáme, c) velikost výslednice vektorů síly je rovna rozdílu opačný než směr většího z vektorů, které skládáme. 3

Test 4 Působí-li dva vektory v jednom bodě a mají opačný směr: a) velikost výslednice vektorů síly je rovna součtu velikosti vektorů sil, směr výslednice vektoru síly je týž jako směry vektorů, které skládáme, b) velikost výslednice vektorů síly je rovna rozdílu je týž jako směr většího z vektorů, které skládáme, c) velikost výslednice vektorů síly je rovna rozdílu velikosti vektorů sil, směr výslednice vektoru síly je opačný než směr většího z vektorů, které skládáme. 4

Test 5 Při násobení vektoru kladným reálným číslem: a) výsledný vektor F2 má týž směr jako F1 a jeho velikost je n-krát větší, b) výsledný vektor F2 má týž směr jako F1 a jeho velikost je n-krát menší, c) výsledný vektor F2 má opačný směr jako F1 d) výsledný vektor F2 má týž směr jako F1 a jeho velikost je n-krát menší. 5

Test 5 Při násobení vektoru záporným reálným číslem: a) výsledný vektor F2 má týž směr jako F1 a jeho velikost je n-krát větší, b) výsledný vektor F2 má týž směr jako F1 a jeho velikost je n-krát menší, c) výsledný vektor F2 má opačný směr jako F1 d) výsledný vektor F2 má týž směr jako F1 a jeho velikost je n-krát menší. 5