Úhly v trojúhelníku Vlastnosti úhlů v trojúhelníku α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC. C γ2 Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α. γ1 γ Pro úhly α, α1 platí: α + α1 = 180° α1 α A Označíme β1 vedlejší úhel k úhlu β. α2 β β1 Pro úhly β, β1 platí: Trojúhelník označujeme ∆. β2 B β + β1 = 180° trojúhelník ABC ..... ∆ ABC Označíme γ1 vedlejší úhel k úhlu γ. α, β, γ jsou vnitřní úhly ∆ ABC. Pro úhly γ, γ1 platí: α1, α2 γ + γ1 = 180° β1, β2 jsou vnější úhly ∆ ABC. Vrcholové úhly k úhlům α2, β2, γ2 jsou také vedlejšími úhly k úhlům α, β, γ v trojúhelníku ABC. γ1, γ2 Vnější úhly jsou vedlejšími úhly k vnitřním úhlům ∆ ABC. Procvičení: učebnice strana 33 – 34, cvičení 1, 2, pracovní sešit strana 142, cvičení 1, 2.

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku Ve čtverci ABCD jsou všechny úhly pravé, součet vnitřních úhlů čtverce je tedy 4 · 90° = 360°. D C 90° 45° 90° 45° Čtverec je osově souměrný podle osy AC. Přímka AC je současně i osou úhlů BAD a BCD. Úhly CAD a ACB mají tedy poloviční velikost, to je 45°. 45° 90° 45° 90° A B o Součet vnitřních úhlů v ∆ ABC je 45°+ 90°+ 45° = 180°. Totéž platí i pro ∆ ACD, součet jeho vnitřních úhlů je 45°+ 90°+ 45° = 180°. Pro libovolný ∆ ABC platí: // C Bodem C vedeme rovnoběžku s přímkou AB. α' γ β' α' + γ + β' = 180° Úhly α, α' a β, β' jsou střídavé úhly, platí tedy α = α', β = β'. α A β Součet vnitřních úhlů ∆ ABC je // B α + β + γ = 180°

Urči velikost zbývajících úhlů v ∆ ABC, je-li α1 = 127° a γ' = 72°. α1 a α jsou vedlejší úhly. γ2 γ' α + α1 = 180° α = 180° – α1 γ1 γ α = 180° – 127° α1 α α = 53° A α2 β α1 a α2 jsou vrcholové úhly. β1 β1 B α1 = α2 = 127° γ a γ' jsou vrcholové úhly. γ = γ' = 72° Pro součet úhlů v trojúhelníku platí: α + β + γ = 180° γ + γ1 = 180° γ1 = 180° – γ γ1 = 180° – 72° β = 180° – (α + γ) γ1 = 108° β = 180° – (53° + 72°) γ1 a γ2 jsou vrcholové úhly. β = 55° γ2 = γ1 = 108° β1 = β2 = 180° – 55° β1 = β2 = 125°

Další vlastnosti úhlů trojúhelníku α = 53° α1 = α2 = 127° C γ2 β = 55° β1 = β2 = 125° γ1 γ γ = 72° γ1 = γ2 = 108° α1 α A α2 α + β = 53°+ 55° = 108° β β1 α + β = γ1 = 108° β2 B α + γ = 53°+ 72° = 125° Součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu. α + γ = β1 = 125° β + γ = 55°+ 72° = 127° Proti většímu úhlu leží delší strana. β + γ = α1 = 127° Rozdělení úhlů menších než 180°: 0° < α < 90° α = 90° 90° < α < 180° ostrý úhel pravý úhel tupý úhel α α α

Kolik tupých, pravých a ostrých úhlů může být v trojúhelníku? 90° < α < 180° tupý úhel Potom β + γ < 90°, to znamená, že úhly β a γ musí být ostré. γ α β Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní úhel tupý a dva vnitřní úhly ostré. α = 90° pravý úhel γ Potom β + γ = 90°, to znamená, že úhly β a γ musí být ostré. α β Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní úhel pravý a dva vnitřní úhly ostré. 0° < α < 90° ostrý úhel Není-li žádný z úhlů β nebo γ tupý ani pravý (tzn. trojúhelník není tupoúhlý ani pravoúhlý), musí být oba úhly β i γ ostré. γ α β Ostroúhlý trojúhelník má všechny vnitřní úhly ostré.

Urči velikost úhlu β v ∆ ABC, je-li α = 27° 32' a γ = 72° 54'. Pro součet úhlů v trojúhelníku platí: α + β + γ = 180° γ α + γ = 27° 32' + 72° 54' α + γ = 100° 26' α β β = 180° – (α + γ) β = 180° – 100° 26' 27° 32' 72° 54' β = 79° 34' Zkouška: 99° 86' = 99° + 1° 26' 27° 32' 72° 54' 79° 34' = 100° 26' 180° ‒ 100° 26' 179° 60' ‒ 100° 26' 178°120' = 178° + 2° = 180° Velikost úhlu β je 79° 34'. 79° 34' Procvičení: učebnice strana 36 – 38, cvičení 3 – 10, pracovní sešit strana 142 – 144, cvičení 3 – 13.