* 16. 7. 1996 Lineární funkce Matematika – 9. ročník *

Funkce Definice Funkce je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřadí právě jedno číslo y z množiny H. Funkci obvykle zapisujeme ve tvaru y = f(x), x ∈ D nebo f: x → y, x ∈ D (čteme: Prvku x množiny D je funkcí f přiřazeno reálné číslo y)

Funkce Definiční obor a obor hodnot funkce Definiční obor (značíme D(f)), je množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x nabývat. Obor hodnot (značíme H(f)) je poté množina všech přípustných y, tedy množina všech prvků, kam může ukazovat funkce f.

Funkce Zadání Funkce může být zadána: Rovnicí y = 2x – 3, x ∈ D Tabulkou Grafem t (h) 1 2 3 4 5 6 s (km) 5, 5 11,0 16,5 22,0 27,5 33,0

Funkce Graf Grafem funkce y = f(x), x ∈ D nazýváme množinu všech bodů roviny, které mají souřadnice [x; y].

Lineární funkce Definice Každá funkce y = ax + b, kde a a b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá lineární funkce. Grafem lineární funkce je přímka. Oborem hodnot je množina všech reálných čísel.

Lineární funkce Graf x y -1 2 -3 3 Grafem lineární funkce je přímka. Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body. Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje. Sestrojte graf funkce: y = 2x – 1 x   y -1 2 -3 3

Lineární funkce Přímá úměrnost Lineární funkce y = ax + b, kde a ≠ 0 a b = 0, (tj. y = ax) jejímž definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá přímá úměrnost. Grafem přímé úměrnosti je přímka, procházející počátkem soustavy souřadnic. Oborem hodnot je množina všech reálných čísel.

Přímá úměrnost Graf x y -1 2 -2 4 Grafem přímé úměrnosti je přímka, procházející počátkem soustavy souřadnic. Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body. Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje. Sestrojte graf funkce: y = 2x x   y -1 2 -2 4

Lineární funkce Konstantní funkce Lineární funkce y = ax + b, kde a = 0 a b je libovolné reálné číslo, (tj. y = b), jejímž definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá konstantní funkce. Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x. Oborem hodnot je číslo b.

Konstantní funkce Graf Grafem konstantní funkce je přímka, rovnoběžná s osou x. Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body. Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje. Sestrojte graf funkce: y = 2 x   y -1 2 2 2

Funkce Funkce rostoucí a klesající Rostoucí funkce je funkce, pro kterou platí: Zvětšují-li se hodnoty proměnné x, zvětšuje se hodnota funkce. Klesající funkce je funkce, pro kterou platí: Zvětšují-li se hodnoty proměnné x, zmenšuje se hodnota funkce.

Lineární funkce Funkce rostoucí a klesající Do jedné soustavy souřadnic sestrojte grafy funkcí a) y = x + 2 b) y = - x + 2 x   y -2 2 4 x   y -2 2 4 y = - x + 2 y = x + 2

Lineární funkce Funkce rostoucí a klesající Lineární funkce y = ax + b je rostoucí, když a > 0. Lineární funkce y = ax + b je klesající, když a < 0. Lineární funkce y = ax + b je konstantní, když a = 0.

Lineární funkce Příklad č. 1 1. Určete, zda jde o zápis lineární funkce (D = R): a) 𝑦 = 5𝑥 – 7 b) 𝑦 =−2 𝑥 2 + 1 c) 𝑦 = 3𝑥 −2 4 a) ANO b) NE c) ANO d) 𝑦 = – 7 −𝑥 e) 𝑦 = 2+3𝑥 4 f) 𝑦 = 2 𝑥 +1 d) ANO e) ANO f) NE g) 𝑦 = 2𝑥 2 +3𝑥 −4 5 h) 𝑦 = 2𝑥 −3 𝑥 i) 𝑦 = − 3 −2𝑥 7 g) NE h) NE i) ANO

Lineární funkce Příklad č. 2 2. Určete, zda je daná lineární funkce rostoucí nebo klesající. a) 𝑦 = 5𝑥 – 7 b) 𝑦 =−2𝑥+ 1 c) 𝑦 =− 8 a) Rostoucí b) Klesající c) Konstantní d) 𝑦 = – 7 −𝑥 e) 𝑦 = 2+3𝑥 4 f) 𝑦 = −2𝑥 3 +1 d) Klesající e) Rostoucí f) Klesající g) 𝑦 = −3𝑥 −4 − 2 h) 𝑦 = 2𝑥 −3 4 i) 𝑦 =0 g) Rostoucí h) Rostoucí i) Konstantní

Lineární funkce Příklad č. 3 3. Zjisti, zda body A[1; 1]; B[-1; 1]; C[-2; 7] a D[2; -7] leží na grafu funkce y = -2x + 3. A[1; 1] A[-1; 1] A[-2; 7] A[2; -7] 1 = -2 · 1 + 3 1 ≠ -2 · (-1) + 3 7 = -2 · (-2) + 3 -7 ≠ -2 · 2 + 3 1 = -2 + 3 1 ≠ 2 + 3 7 = 4 + 3 -7 ≠ -4 + 3 1 = 1 1 ≠ 5 7 = 7 -7 ≠ -1 Bod A leží na grafu lineární funkce y = -2x + 3 Bod B neleží na grafu lineární funkce y = -2x + 3 Bod C leží na grafu lineární funkce y = -2x + 3 Bod D neleží na grafu lineární funkce y = -2x + 3

Lineární funkce Průsečíky grafu s osami y = 3 x Do jedné soustavy souřadnic sestrojte grafy funkcí a) y = 3x + 2 c) y = 3x - 2 b) y = 3x x   y -2 1 -4 5 x   y -2 1 y = 3 x – 2 -6 3 x   y -1 2 Průsečík s osou y má souřadnice [0; b] -5 4 y = 3x + 2

Lineární funkce Příklad č. 4, 5 4. Urči průsečíky grafu lineární funkce y = – x – 3 s osami. ⇒ Průsečík s osou y má souřadnice [0; b] Y[0; – 3] ⇒ Průsečík s osou x má souřadnice [x; 0] 0 = – x – 3 x = – 3 X[– 3 ; 0] 5. Urči rovnice lineární funkce jejíž graf protíná osy v bodech X[2; 0] a Y[0; – 1]. y = ax + b y = ax – 1 (průsečík s osou y má souřadnice [0; b] 0 = 2a – 1 (do rovnice dosadíme souřadnice bodu X ⇒ a = 0,5 y = 0,5x – 1

Lineární funkce Příklad č. 6 6. Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[– 2; 3] a B[2; – 1] . y = ax + b Do obecné rovnice lineární funkce dosadíme souřadnice bodu A 3 = – 2a + b / · (– 1) Do obecné rovnice lineární funkce dosadíme souřadnice bodu B ⇒ – 1 = 2a + b – 1 = 2 · (– 4) + b – 4 = 4a b = 7 Vyřešíme soustavu lineárních rovnic a = – 4 Řešením je rovnice y = – 4x + 7

Lineární funkce Příklad č. 7 – 10 7. Zjisti, zda body A[1; 2]; B[-1; -2]; C[-2; 7] a D[-1; -4] leží na grafu funkce y = 3x - 1. A – ANO, B – NE, C – NE, D - ANO 8. Urči průsečíky grafu lineární funkce y = –2x + 1 s osami. Y[0, 1], X[0,5; 0] 9. Urči rovnice lineární funkce jejíž graf protíná osy v bodech X[4; 0] a Y[0; 3]. 𝑦=− 3 4 𝑥+3 10. Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[– 1; – 3] a B[2; 1] . 𝑦= 4 3 𝑥 − 5 3