Komplexní čísla. Komplexní číslo je uspořádaná dvojice [x, y], kde číslo x představuje reálnou část a číslo y imaginární část. Pokud je reálná část nulová, jedná se o ryze imaginární komplexní číslo. Samotná čísla x, y jsou reálná. Množina komplexních čísel se značí C. Algebraický tvar komplexního čísla. Komplexní číslo z = [x, y]  C je v algebraickém tvaru, jestliže píšeme z = x + iy. Při tom i je imaginární jednotka. Platí i2 = -1, tedy lze definovat i  . Příklad. Řešme rovnici x 2 + 1 = 0. Protože diskriminant D = -4 < 0, rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel. Lze však psát x 2 = - 1 = i 2 . Řešení rovnice v oboru komplexních čísel existuje, x =  i. Příklad. Řešme rovnici x 2 + x + 1 = 0. Protože diskriminant D = -3 < 0, rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel. Hledáme tedy řešení v oboru komplexních čísel.

Mějme rovnici ax 2 + bx + c = 0, a, b, c  R, kde diskriminant D = b2 – 4ac < 0. Pak . Tedy x1, x2 jsou komplexní čísla, která se liší znaménkem své imaginární části: , . Komplexní čísla z1 = x + iy, z2 = x – iy se nazývají komplexně sdružená. Řešením kvadratické rovnice v C je tedy dvojice komplexně sdružených čísel. Příklad – pokračování. Řešení rovnice x 2 + x + 1 = 0 v C jsou . Poznámka. Mezi R2 a C existuje prosté zobrazení jedné struktury na druhou (izomorfismus), které zachovává vlastnosti obou struktur. Stejně jako v R2 i v C platí, že lze definovat algebraické operace s komplexními čísly lze definovat rovnost mezi komplexními čísly lze definovat „velikost“ komplexního čísla neexistuje uspořádání komplexních čísel

Geometrické znázornění komplexních čísel. Vzhledem k izomorfismu R2 a C lze komplexní číslo znázornit v rovině. Na osu x vynášíme reálné části a na osu y imaginární části komplexního čísla. Komplexní rovina se nazývá také Gaussova nebo Argandova rovina. Rovnost komplexních čísel. Komplexní čísla z1 = x1 + y1, z2 = x2 + y2 se rovnají právě, když x1 = x2, y1 = y2. Součet (rozdíl) komplexních čísel. Jestliže a , pak . Násobení komplexních čísel. Jestliže a , pak . Poznámka. Absolutní hodnota komplexního čísla. Absolutní hodnota („velikost“) komplexního čísla z = x + iy je rovna . Absolutní hodnota je reálné nezáporné číslo, je rovna nule právě, když x = 0 a y = 0, tj. z = 0.

Dělení komplexních čísel. Pomocné tvrzení. Součin čísla zC a komplexně sdruženého čísla  C je číslo reálné. Součin čísla zC a komplexně sdruženého čísla  C je číslo nezáporné. Součin je roven 0 právě, když z = 0. Důkaz. Pomocné tvrzení. Ke každému z C, z  0, existuje z / C tak, že z.z / = 1. Důkaz. Nechť z = x + iy, hledané číslo z / = a+ib, x  0, y  0. Rovnici vynásobíme komplexně sdruženým číslem k z.

Nechť z = x+iy  C , z  0, r = a + ib  C. Pak . Dělení komplexních čísel. Nechť z = x+iy  C , z  0, r = a + ib  C. Pak . Pomocné tvrzení. Nechť z = x+iy  C , z  0, r = a + ib  C. Pak . Důkaz. Poznámka. Nechť z = x+iy  C. Z předchozího plyne, že . Nechť z1, z2  C. Pak pro z2  0 platí komplexní číslo takové, že se nazývá komplexní jednotka.

Příklad. Dokažte, že Příklad. Sledujte následující úpravy:

Příklad. Řešme v C rovnici . Zapište v algebraickém tvaru .   Pro která komplexní čísla c = a+ib, z = x+iy je podíl c / z : reálné číslo imaginární číslo (= imaginární část různá od nuly) ryze imaginární číslo ( = reálná část rovna 0) bx =ay bx ay ax = -by

Goniometrický tvar komplexního čísla. Vzhledem k izomorfismu R2 a C lze komplexní číslo znázornit v rovině. Na osu x vynášíme reálné části a na osu y imaginární části komplexního čísla. Komplexní rovina se nazývá také Gaussova nebo Argandova rovina. Nechť z = x + iy je komplexní číslo. V Gaussově rovině ho znázorníme jako bod [x, y]. Vzdálenost tohoto bodu od bodu [0, 0] je rovna , což je podle definice . Příklad. Znázorněte v Gaussově rovině všechna komplexní z čísla, pro něž . Nerovnice lze přepsat do tvaru . V Gaussově rovině všechna z vyhovující oběma nerovnostem Leží v mezikruží definované kružnicemi s poloměry 1/2 a , se středy v počátku. Při tom body ležící na kružnici s poloměrem 1/2 nerovnostem nevyhovují. Příklad. Znázorněte v Gaussově rovině všechna komplexní z čísla, pro něž . z  0 a dále výraz na levé straně nerovnosti lze upravit Všechna z tedy leží uvnitř kružnice se středem v bodě [-1,0] a s poloměrem 2. Při tom bod [0,0] jsme předem vyloučili.

Komplexní číslo z = x + iy lze psát . Při tom komplexnímu číslu odpovídá v Gaussově rovině bod na jednotkové kružnici. Tento bod odpovídá bodu [cos , sin ], kde  je orientovaný úhel, který svírá průvodič bodu s osou x. Lze tedy psát = r (cos  + i sin ). Při tom r = , cos = , sin = . Tvaru z = r (cos  + i sin ) se říká goniometrický tvar komplexního čísla z . Příklad. Vyjádřete v goniometrickém tvaru číslo z = -1 + i . , cos  = -1/2, sin  = . Podle znaménka funkcí cos a sin je  v 2. kvadrantu,  = 2/3. z = 2(cos 2/3 + i sin 2/3). Příklad. V algebraickém tvaru vyjádřete číslo . , , z = - i/2.

Tvrzení. Nechť zk = rk(cos k + i sin k), k = 1, 2, …, n. Pak z1. z2. … zn = r1.r2. … rn (cos(1 + 2 + … + n) + i sin (1 + 2 + … + n) . Důkaz. Matematickou indukcí. n = 1  z1 = r1(cos 1+ i sin 1), tudíž formule je splněna triviálně s jedním činitelem. Nechť formule platí pro k činitelů. Číslo vzniklé součinem označím q = a(cos  + i sin ), kde a = r1.r2. … rk,  = 1 + 2 + … + k. To je však formule z tvrzení, kterou jsme měli dokázat. Tvrzení. Nechť zk = rk(cos k + i sin k), k = 1, 2. Nechť z2  0. Pak . Důkaz.

Moivreova věta. Pro každé přirozené číslo n a libovolné reálné číslo  platí (cos  + i sin )n = cos n + i sin n . Důkaz. Je důsledkem již dokázaného tvrzení o součinu komplexních čísel. Příklad. (cos(/3) + i sin(/3))62 = cos (62/3) + i sin(62/3) = cos 2/3 + i sin 2/3 = . (1-i)100 = .

Řešení některých rovnic v C. Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty, ax2 + bx + c = 0. Výraz D = b2 – 4ac se nazývá diskriminant: D  0  , 1 nebo 2 reálné kořeny D < 0 , 2 komplexně sdružené kořeny Binomická rovnice, xn – a = 0, a C, n > 1. Nechť , . Z Moivreovy věty vyplývá, že Odtud a . Binomická rovnice, xn – = 0 má řešení tvaru

Poznámka. Vzhledem k periodicitě funkcí cosinus a sinus je xn = x0. Lze to dokázat dosazením. Příklad. V C řešte rovnici x3 + 27 = 0. Podle předchozího můžeme psát , neboli Poznámka. Platí tedy: V C řešte rovnici x6 -1 = 0.

Příklad. V C řešte rovnici x6 -1 = 0. úhly v pravidelném šestiúhelníku x6 – 1 = (x + 1)(x - 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty, ax2 + bx + c = 0, a  0. Podobně jako v předchozím lze rovnici upravit: Označíme-li y = 2ax + b a D = b2 - 4ac, pak rovnici přepíšeme do tvaru binomické rovnice y2 – D = 0. Předpokládáme-li, že , pak pro kořeny yk této binomické rovnice platí

Zpětným dosazením za y dostáváme Kvadratická rovnice ax2 + bx + c = 0 s komplexními koeficienty má v oboru komplexních čísel právě dva kořeny tvaru , kde  je argument diskriminantu D pro D  0. Je-li D = 0, je  libovolné reálné číslo.