KINEMATIKA Autor: Ing. Tomáš Krásenský Výukový modul projektu: Nové formy výuky ve školách kraje Vysočina Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Fyzika pohybu bez působení síly Kinematika Fyzika pohybu bez působení síly

Základní pojmy Kinematika se zabývá pohybem, nezkoumá však působící síly, hmotnosti těles, energie, … Trajektorie: čára, po které pohyb probíhá (přímka, kružnice, parabola, …) Dráha: délka trajektorie, kterou pohyb proběhl; vzdálenost mezi dvěma body trajektorie, měřená podél trajektorie. Rychlost: měří změnu polohy v průběhu času. dráha za jednotku času Zrychlení: měří změnu rychlosti v průběhu času; změna rychlosti za jednotku času

Trajektorie Přímočarý pohyb: trajektorií je přímka nebo úsečka Křivočarý pohyb: trajektorií je některá křivka Rotační pohyb: trajektorií je kružnice Složený pohyb: trajektorie vzniká kombinací dvou nebo více jednodušších pohybů Obecný pohyb: vždy lze po částech vyjádřit jako složení přímočarého a rotačního pohybu

Poloha bodu v ploše a prostoru Je dána průvodičem - vektorem, spojujícím počátek souřadného systému se sledovaným bodem. M – sledovaný bod x, y, z – souřadné osy r0, r – počáteční a konečná poloha průvodiče rx,y,z – průměty průvodiče do směrů souřadných os s – dráha podél trajektorie z y x M r rx ry rz r0 s = r - r0

Důležité křivočaré trajektorie Cykloida (pohyb bodů na kutálejícím se kole) Parabola (čára ideálního šikmého vrhu) Balistická křivka (čára skutečného pohybu střely) Šroubovice (točité schodiště) Elipsa (planety okolo Slunce) Kubická parabola (profil přechodu s vodorovného do šikmého úseku silnice, železnice, …) Lemniskáta (trajektorie zatáček na silnici nebo železnici)

Dráha Obvyklé označení: s ve směru souřadných os – označení: sx, sy, sz, případně pouze x, y, z Jednotka: metr, případně násobné či dílčí hodnoty (km, mm, …) Dráha je vektor s = s – s0: (malá) délka dráhy z místa s0 do s

Rychlost Měří změnu polohy v průběhu času Označení: v případně ve směrech souřadných os vx, vy, vz Rychlost šíření vlnění (světlo, zvuk, …) se často označuje písmenem c. Jednotkou je metr za sekundu (m/s) případně jiné: km/h, míle/h = uzel, … Rychlost je vektor! Důležitá je velikost i směr Záporná rychlost jde proti směru souřadných os

Výpočet rychlosti Okamžitá rychlost: Průměrná rychlost: v = s/t s, t: velmi malé – blíží se nule Průměrná rychlost: v = „celková“s/“celkový“t v = s/t = (s1 + s2 + … + sn)/(t1 + t2 + … + tn) POZOR! Průměrnou rychlost NELZE počítat průměrováním rychlostí!

Výpočty s rychlostí Jestliže je rychlost stálá, mluvíme o rovnoměrném pohybu; pak Rychlost: v = s/t = (s – s0)/t Dráha: s = v. t + s0 Čas: t = s/v

Cvičení Rychlost je 25 m/s; jak dlouho bude trvat projetí dráhy 2 km? (klikni na správnou odpověď) 80 sekund 125 sekund Rychlost je 10 m/s; kolik je to v km/h? (klikni na správnou odpověď) 36 km/h 360 km/h Kolo ujelo za 2 minuty 0,5 km; jaká je to rychlost? (klikni na správnou odpověď) 15 km/h 25 km/h

Některé zajímavé rychlosti - příroda Pohyb kontinentů: cm/rok Hlemýžď: mm/s Nejrychlejší ptáci (rorýs, ostříž), ryby (mečoun, plachetníci), savci (gepard): přes 100 km/h, to je asi 30 m/s Slon, medvěd, hroch, nosorožec: víc než člověk! Rychlost růstu rostlin: bambus 5 dm/den

Některé zajímavé rychlosti - člověk Běžná chůze: 1 – 2 m/s, to je asi 4 – 7 km/h Běh, jízda na kole: okolo 5 m/s, to je 18 km/h Nejrychlejší sprint: asi 44 km/h, to je 12 m/s Růst v dospívání: cm/rok Úder cvičené ruky: 10 m/s Volný pád: 150 – 180 km/h, to je 40 – 50 m/s

Některé zajímavé rychlosti - vesmír Vzdalování Měsíce od Země: cm/rok Rychlost rotace Země na rovníku: 0,5 km/s Rychlost oběhu Země okolo Slunce: 28 km/s Rychlost světla ve vakuu: 299 792 458 m/s PŘESNĚ (je brána jako základní fyzikální konstanta vesmíru); přibližně 300 000 km/s Rychlost zvuku ve vzduchu: 340 m/s - ve vodě 1500 m/s - v oceli 5 km/s

Zrychlení Říká, jak se rychlost mění v průběhu času Označení: a (podle slova akcelerace = zrychlení) Definiční vztah: a = v/t = (v – v0)/t s, t: změna rychlosti, změna času (časový interval) Jednotka: m/s2 Zrychlení říká, o kolik metrů za sekundu se pohyb změní za 1 sekundu Dopravní prostředky: akcelerace – 100 km/h za x sekund

Vlastnosti zrychlení Zrychlení je vektor – je důležitý jeho směr! Jestliže je směr zrychlení opačný, než směr rychlosti, mluvíme někdy o zpomalení (toto zrychlení pak danou rychlost zmenšuje) Zrychlení nastává vždy, když se mění rychlost- stačí změna směru rychlosti protože i rychlost je vektor

Výpočty se zrychlením a = v/t = (v – v0)/t s, t: velmi malé – blíží se nule => okamžité zrychlení s, t: velké => průměrné zrychlení Okamžitá rychlost: v = a. t + v0 Dráha: s = a. t2/2 + v0.t + s0 Pro rovnoměrné zrychlení lze použít i vztah s = (v + v0).t /2

Cvičení Zrychlení je 2,5 m/s2; jaké rychlosti dosáhne pohyb za 10 s? (klikni na správnou odpověď) 25 m/s 4 m/s Zrychlení je 2,5 m/s2; kdy dosáhne pohyb rychlosti 10 m/s? (klikni na správnou odpověď) 25 s 4 s Auto dosáhlo z nuly rychlosti 90 km/h za 5 sekund; jaké mělo zrychlení? (klikni na správnou odpověď) 5 m/s2 18 m/s2

Cvičení Zrychlení je 0,5 m/s2 a počáteční rychlost 2 m/s; jaké rychlosti dosáhne pohyb za 10 s? (klikni na správnou odpověď) 7 m/s 20,5 m/s Zrychlení je 0,5 m/s2 a počáteční rychlost 2 m/s; kdy dosáhne pohyb rychlosti 10 m/s? (klikni na správnou odpověď) 7 s 16 s Auto dosáhlo z 15 m/s rychlosti 25 m/s za 5 sekund; jaké mělo zrychlení? (klikni na správnou odpověď) 2 m/s2 50 m/s2

Cvičení Zrychlení je -2 m/s2 a počáteční rychlost 30 m/s; jaké rychlosti dosáhne pohyb za 10 s? (klikni na správnou odpověď) 10 m/s 50 m/s Zrychlení je -2 m/s2 a počáteční rychlost 30 m/s; kdy zastaví? (klikni na správnou odpověď) 60 s 15 s Auto dosáhlo z 30 m/s rychlosti 6 m/s za 8 sekund; jaké mělo zrychlení? (klikni na správnou odpověď) -3 m/s2 240 m/s2

Tíhové zrychlení Jeden z nejdůležitějších fyzikálních údajů o okolí Obvykle označováno „g“ Obvyklá hodnota je 9,81 m/s2, často zaokrouhlovaná na 10 m/s2 Normální tíhové zrychlení na Zemi je stanoveno na 9,80665 m/s2 Metoda geologického průzkumu: Menší g značí lehké hmoty pod zemí (voda, ropa, …) Vyšší g značí těžké hmoty pod zemí (rudy kovů) Krom toho hodnota g závisí i na zeměpisné šířce a postavení Slunce a Měsíce vůči Zemi

Volný pád a svislý vrh V ideálních podmínkách - homogenním gravitačním poli a bez přítomnosti odporových sil (ve vakuu) je pohyb všech těles volným pádem stejný (Galileo) Jedná se o rovnoměrně zrychlený pohyb se zrychlením g, směřujícím svisle dolů (tedy proti obvyklému směru osy – proto většinou znaménko minus) y = a. t2/2 + vy0.t + y0

Šikmý vrh Předpokládáme-li homogenní gravitační pole a prostředí bez odporu (vakuum), je trajektorií parabola Ve skutečném prostředí a na skutečné Zemi je trajektorie mnohem složitější a nazývá se balistická křivka

Šikmý vrh v ideálních podmínkách Výsledná parabola je složena z rovnoměrně zrychleného pohybu ve směru osy y (svislý vrh) – zrychlení je rovno –g = -9,81 m/s2 … a rovnoměrného přímočarého pohybu ve směru osy x y v0 V0y = v0*sin() y0 – počáteční výška  - elevační úhel v0 – počáteční rychlost  y0 V0x = v0*cos() x

Šikmý vrh - rovnice Svislý směr – osa y: Vodorovný směr – osa x: ay = -g = -9,81 m/s2 vy = ay. t + vy0 y = ay. t2/2 + vy0.t + y0 Vodorovný směr – osa x: ax = 0 vx = vx0 x = vx. t + x0 (obvykle x0 = 0) y Významná místa: Nejvyšší bod dráhy: vy = 0 z rovnice pro vy se spočte čas a z něj ostatní hodnoty Dostřel – nejvzdálenější bod dráhy: z rovnice pro y se spočte čas a z něj ostatní hodnoty v0 V0y = v0*sin()  y0 V0x = v0*cos() x

Skládání pohybů Jiné složené pohyby: Eliptický Cykloidální kmitavé pohyby po úsečce ve dvou osách Cykloidální rotační a přímočarý pohyb Balistická křivka nerovnoměrné vzájemně kolmé přímočaré pohyby …

Rotační kinematika – základní pojmy s  a at an v  [rad] úhel [rad/s] úhlová rychlost [rad/s2] úhlové zrychlení f[otáčky/s; Hz] frekvence otáček T[s] perioda otáček at[m/s2] tečné (tangenciální) zrychlení an[m/s2] dostředivé (normálové) zrychlení a[m/s2] celkové zrychlení r[m] poloměr křivosti s[m] dráha po oblouku v [m/s] obvodová rychlost

Úhel a jeho měření Běžně používáme čtyři jednoty pro měření úhlů: Stupně: tradiční 90° je pravý úhel, 360° je plný úhel Grady: geodézie, dělostřelba: 100grad je pravý úhel, 400grad je plný úhel Otáčky: přirozené, ale málo užívané: ¼ otáčky je pravý úhel, 1 otáčka je plný úhel Radiány: oblouková míra; fyzika, matematika; velmi usnadňuje výpočty: /2 radiánu je pravý úhel, 2. radiánu je plný úhel Stoupání silnice se udává v % Je dáno poměrem rozdílu výšky a vodorovné vzdálenosti 10% znamená, že na 1 m vodorovné délky silnice stoupe (klesne) o 10 cm 45° má pak 100% stoupání Na ostatní úhloměrné jednotky nelze snadno přepočítat

Převody úhlů 1 otáčka = 360° = 400 grad = 2 rad toto je první řádek trojčlenky … napíšeme-li ve druhém řádku na správné místo převáděnou hodnotu a neznámou, snadno získáme výpočet Úhel obvykle značíme písmenem  a ve fyzice zásadně vyjadřujeme v radiánech 1 radián je takový úhel, při kterém oblouk příslušné kružnice má právě délku poloměru (radián je v překladu poloměr nebo paprsek)

Vlastnosti úhlů Přesně vzato je úhel vektor Kladný smysl otáčení je proti směru hodinových ruček Směr je pak kolmicí, vystupující z roviny otáčení Lze to určit i pravidlem pravé ruky: Prsty ukazují kladný smysl otáčení Palec ukazuje směr vektoru Na střední škole se obejdeme bez vektorového počítání s úhly

Cvičení 180° je 3π /2 radiánů je (klikni na správnou odpověď) π radiánů π/4 radiánů 3π /2 radiánů je (klikni na správnou odpověď) 135° 270° Auto dosáhlo z 30 m/s rychlosti 6 m/s za 8 sekund; jaké mělo zrychlení? (klikni na správnou odpověď) -3 m/s2 240 m/s2

Úhlová rychlost Udává, o kolik radiánů se pohyb po kružnici otočí za 1 sekundu  = /t Také tato veličina je vektorem a má stejný směr jako úhel Frekvence otáček f udává, o kolik otáček se pohyb otočí za 1 sekundu Přepočet:  = 2..f Perioda otáček T udává, počet sekund na jednu otáčku … je to veličina opačná k frekvenci: T = 1/f; f = 1/T

Úhlové zrychlení Udává, o kolik radiánů za sekundu se rotační pohyb zrychlí za 1 sekundu  = /t Také tato veličina je vektorem a má opět stejný směr jako úhel Úhlové zrychlení nastává pouze při nerovnoměrném pohybu po kružnici (křivce)

Dráhové veličiny rotačního pohybu Dráha rotačního pohybu s = .r Obvodová rychlost rotačního pohybu v = .r Tečné zrychlení rotačního pohybu at = .r Normálové zrychlení rotačního pohybu an = 2.r = v2/r

V čem je rotační pohyb výhodný? Velmi snadno se počítá Technicky vzato zabere málo místa – na rozdíl od pohybu přímočarého srovnej pásovou a kotoučovou pilu, kosu a bubnovou sekačku, … Složením několika rotačních pohybů lze získat vysokou obvodovou rychlost Snadno se transformuje na jinou rychlost (viz převody)

Zrychlení rotačního pohybu Normálové – dostředivé – zrychlení nastává u každého křivočarého pohybu! Je příčinou odstředivé síly. Příčinou tohoto zrychlení je, že rychlost je vektor … zrychlení je podíl změny rychlosti za určitý čas … a stačí tedy změna směru rychlosti, aby se rychlost měnila Tečné – tangenciální – zrychlení nastává jen při nerovnoměrném pohybu po kružnici Výsledné zrychlení dostaneme vektorovým sčítáním obou složek: a = at + an a = (at2+ an2)

Převody rotačního pohybu Pomocí ozubených nebo řetězových kol nebo řemenic můžeme snadno měnit vlastnosti rotačního pohybu Často to využíváme v převodovkách, přehazováčkách na kole, …

Rotace na společné hřídeli Tato kola mají stejnou frekvenci otáčení: f1 = f2 = f3 1 2 3

Rotace při dotyku na obvodu V místě dotyku mají tato kola stejnou obvodovou rychlost Kolikrát menší kolo (počet zubů), tolikrát vyšší frekvence otáček f1.r1 = f2.r2 = f3.r3 f1.z1 = f2.z2 = f3.z3 Počet zubů z3 Poloměr r3 Otáčky f3 Počet zubů z1 Poloměr r1 Otáčky f1 Počet zubů z2 Poloměr r2 Otáčky f2 3

Cvičení Všechna kolečka na zadním kole mají stejnou frekvenci otáček (klikni na správnou odpověď) ano ne Kolečko i talíř, zapojené do záběru, mají stejnou frekvenci otáček (klikni na správnou odpověď) ne ano Čím je kolečko menší, tím větší frekvencí se bude otáčet (klikni na správnou odpověď) ano ne

správně

Chyba