Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky 1

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI část první

Teorie pravděpodobnosti je matematická disciplína, popisující zákonitosti týkající se jevů, které (přinejmenším z hlediska pozorovatele) mohou a nemusí nastat, resp. jejichž výsledná hodnota není předem jistá. Příkladem může být výsledek hodu kostkou ještě předtím, než hodíme, anebo venkovní teplota zítra v poledne.

Rozvoj teorie pravděpodobnosti probíhal od 17 Rozvoj teorie pravděpodobnosti probíhal od 17. století, zpočátku inspirován hlavně hazardními hrami.

Základní pojmy Náhodný pokus Náhodný jev Množina všech možných výsledků pokusů

Pokus Každá opakovatelná činnost ve vědě, výzkumu, ale i v praktickém životě. Rozlišujeme pokusy: deterministické náhodné

Deterministické pokusy Pokusy, které při dodržení předepsaných podmínek vedou vždy k témuž, předem očekávanému výsledku. Například: Fyzikální zákon o změně skupenství vody zahřáté na 100 °C při tlaku 100 kPa.

Náhodné pokusy (NP) Pokusy, které při dodržení předepsaných podmínek vedou k různým výsledkům, tzn. výsledky pokusů se od jednoho provedení k druhému mohou měnit. Pokusy, jejichž výsledky závisí nejen na předepsaných podmínkách, ale také na náhodě. Častěji se vyskytující v praktické činnosti.

Náhoda a úkol pravděpodobnosti Náhoda (jako soubor drobných příčin) má svá pravidla a své zákonitosti. Studium a formulace těchto zákonitostí i jejich využívání je úkolem počtu pravděpodobnosti.

Náhodné pokusy důležité účinek nového léku na pokusných zvířatech, stanovení přesné hodnoty nějaké fyzikální konstanty (např. rychlosti světla ve vakuu), odhad výnosu nové zemědělské plodiny, …

Náhodné pokusy klasické slosování loterie, tahy sportky, hody hrací kostkou, mincí, míchání karet, … Přes důležitost prvně jmenovaných se v hodinách matematiky zaměříme na příklady z oblasti klasických náhodných pokusů pro jejich jednoduchost a názornost.

Náhodný jev (NJ), ozn. A, B, C, ... Jakékoliv tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze (po provedení pokusu) rozhodnout, zda je pravdivé. Každý jev, o kterém nejsme schopni předem rozhodnout, zda nastane. Zjednodušeně: Každý výsledek nebo skupina výsledků náhodného pokusu (NP).

Řešený příklad 1: Odlište u následujících situací náhodné pokusy (NP) od náhodných jevů (NJ). Dojdete-li k závěru, že jde o NP, vyslovte NJ a naopak: vylosování čísla vypěstování rostliny vybrání losu s číslem 5 hod kostkou vyrobení výrobku 1. jakosti padnutí šestky při hodu kostkou narození chlapce (NP) (NJ)

Množina možných výsledků pokusů Množinu označujeme Ω (její prvky ω) Předpokládáme, že se jedná o množinu výsledků náhodného pokusu takových, že jsme schopni je všechny předem vyjmenovat (tzn. ve středoškolské matematice vždy konečná), se navzájem vylučují (tzn. nastane-li jeden, nemůže nastat druhý), jeden z nich nastane vždy (tzn. nemůže nastat žádný jiný než jeden z jmenovaných), každý výsledek má stejnou možnost, aby nastal.

Řešený příklad 2: V daném tvrzení rozpoznejte pojmy: náhodný pokus (NP), náhodný jev (NJ). Zapište množinu všech možných výsledků. V pořadí NP, , NJ. a) Při hodu kostkou vyhraješ, když padne pětka. NP: hod kostkou Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6} NJ: A = {5}

b) Při hodu kostkou vyhraješ, když padne liché číslo. NP: hod kostkou Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6} NJ: B = {1; 3; 5}

c) Při zkoušce pevnosti určitého vlákna v tahu se vlákno nepřetrhlo. NP: zkouška pevnosti vlákna Ω = {přetrhne, nepřetrhne} NJ: C = {nepřetrhne}

d) Pokud padne na minci orel, získám pro své mužstvo míč. NP: hod mincí Ω = {orel, panna} NJ: D = {orel}

e) Při hře dvěma kostkami vyhrajeme, padne-li šestka alespoň na jedné z nich. NP: hod dvěma kostkami NJ: E=

NP: hod dvěma kostkami = E NJ: výhra ... E Záleží na pořadí příslušného hodu, proto jsou kostky rozlišeny barevně: [Modrá; Žlutá]. = E NJ: výhra ... E

Závěr: Ve 2. příkladu jsme názorně předvedli, že sledovaný jev je podmnožinou všech možných výsledků, které v dané situaci mohou nastat. Pro jevy platí totéž co pro množiny a podmnožiny, jen se vžilo jiné názvosloví.

Jevy jako množiny Důvod, proč je označujeme velkými písmeny. Popisujeme je nějakou jistou vlastností, společnou všem prvkům daného jevu: Například asi zřejmě neřekneme: „Padla mi šestka a jednička.“, ale spíš použijeme: „Vyhrála jsem!“ (viz Př. 2e).

Jev jistý a nemožný V daném pokusu rozeznáváme tolik jevů, kolik je podmnožin množiny všech možných výsledků (Ω) a mezi ně počítáme také: celou množinu: A = Ω ... jev jistý (každá množina je sama sobě podmnožinou), prázdnou množinu: A = Ø ... jev nemožný (množina prázdná je podmnožinou každé množiny).

Náhodné jevy a vztahy mezi nimi      je výsledek množiny všech možných výsledků   A   je výsledek příznivý jevu A A  B  jev A je podjevem jevu B A  B  jev, který nastává právě tehdy, když nastane aspoň jeden z jevů A nebo B (sjednocení jevů A, B)

A  B. . jev, který nastává právě tehdy,. když nastanou oba jevy A, B A  B  jev, který nastává právě tehdy, když nastanou oba jevy A, B současně (průnik jevů A, B) A  B = Ø průnik jevů A, B je jev nemožný, tzn. jevy A, B se navzájem vylučují a říkáme, že A, B jsou jevy disjunktní A´  jev opačný k jevu A, tzn. jev, který nastane právě tehdy, když jev A nenastane (negace jevu A)

Znegujte dané věty: A: Vyber lístky, které nebudou mít stejnou barvu. A´: Vyber lístky, které budou mít stejnou barvu. B: Vyber skupinu, ve které nebudou pouze dívky. B´: Vyber skupinu, ve které budou pouze dívky. C: ... budou alespoň tři kuličky červené. C´: ... budou nejvýše dvě kuličky červené. D: ... budou maximálně čtyři dívky. D´: ... bude minimálně pět dívek. E: ... nebudou alespoň tři žáci připraveni. E´: ... budou alespoň tři žáci připraveni.

JEDNODUCHÁ PRAVDĚPODOBNOST

Pravděpodobnost náhodného jevu V pokusu, jehož všechny možné výsledky jsou stejně pravděpodobné, je pravděpodobnost (ozn. P) sledovaného jevu (např. A) rovna podílu počtu příznivých výsledků danému jevu A (ozn. mA) a počtu všech možných výsledků, které v daném pokusu mohou nastat (ozn. n).

Z definice plyne, že pravděpodobnost jevu nemožného se rovná nule: jevu jistého se rovná jedné: jevu libovolného je v rozmezí hodnot od nuly do jedné:

Výsledek pravděpodobnosti se uvádí ve tvaru zlomku, který vnímáme jako poměr, ve tvaru desetinného čísla, které ale daleko častěji převádíme na procenta.

Řešený příklad 3: Házejme 3 mincemi, které umíme rozlišit, např. pětikorunou, desetikorunou a dvacetikorunou českou. Na každé minci může padnout líc (L) nebo rub (R). Určete prvky množiny všech možných výsledků: Ω, vypočtěte jejich počet: n.

… stará dobrá kombinatorika …

Kombinatorika – přehled vzorců

Na pořadí prvků ve skupině záleží nezáleží KOMBINACE VARIACE PERMUTACE

Při stanovení prvků množiny všech možných výsledků Ω je určitá libovůle podle toho, jak podrobné (jemné) chceme výsledky pokusů rozlišovat.

Řešený příklad 4: Ze třídy o 28 žácích určete losem 4 žáky, kteří se podrobí zkoušení. Určete počet n všech možných losování, neboli počet prvků množiny všech možných výsledků Ω, jestliže ...

jestliže určujeme pouze čtveřici žáků, kteří budou zkoušeni, aniž by nás zajímalo pořadí. Použijeme: KOMBINACE

určujeme čtveřici žáků, kdy chceme zajistit pevné pořadí zkoušených, například od nejslabšího po nejúspěšnějšího. Použijeme: VARIACE

Řešený příklad 5: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne šestka? n = 6, protože Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6} mA = 1, protože A = {6}

Řešený příklad 6: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne liché číslo? n = 6, protože Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6} mA = 3, protože A = {1, 3, 5}

Řešený příklad 7: Jaká je pravděpodobnost, jestliže je v osudí prvních 10 přirozených čísel že, a) vytáhnu prvočíslo, b) nevytáhnu prvočíslo? n = 10, protože Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} a) mA = 4, protože A = {2, 3, 5, 7} b) mB = 6, protože B = {1, 4, 6, 8, 9, 10}

Řešený příklad 8: Jaká je pravděpodobnost, jestliže je v osudí prvních 10 přirozených čísel že, vytáhnu číslo dělitelné dvojkou nebo trojkou? n = 10, protože Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} mA = 7, protože A = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}

Řešený příklad 9: Jaká je pravděpodobnost, jestliže je v osudí prvních 10 přirozených čísel že, vytáhnu číslo dělitelné dvojkou i trojkou? n = 10, protože Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} mA = 1, protože A = {6}

Řešený příklad 10: Jaká je pravděpodobnost, že z pěti obránců půjde do hry společně zrovna Petr s Pavlem? n = C2(5) = 10 mA = 1, protože A = {1 dvojice: [Petr, Pavel]}

Řešený příklad 11: Jaká je pravděpodobnost, že ze všech přirozených trojciferných čísel kamarád napíše zrovna číslo 123? n = V3´(10) – V2´(10) = 900 mA = 1, protože A = {jedno číslo:123}

Řešený příklad 12: Ve třídě je 5 chlapců a 13 dívek. Jaká je pravděpodobnost, že ve čtyřčlenné skupině žáků této třídy budou a) tři chlapci a jedna dívka, b) právě dva chlapci?

výběr: 4 členná skupina  n = C4(18) = 3 060 a) jedna skupina: 3 CH, 1 D mA = C3(5).C1(13) = 10.13 = 130

výběr: 4 členná skupina  n = C4(18) = 3 060 b) právě (přesně) dva chlapci, tzn. musíme dobrat do skupiny ještě 2 dívky: 2 CH, 2 D mB = C2(5).C2(13) = 10.78 = 780

PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Jednoduchá pravděpodobnost

13. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou padne a) číslo 3, b) číslo sudé, c) dělitelné třemi, d) dělitelné dvěma i třemi? 14. Jaká je pravděpodobnost, napíšeme-li libovolné přirozené číslo od 1 do 15, že to a) bude prvočíslo, b) nebude prvočíslo? [1/6; 1/2; 1/3; 1/6] [6/15; 9/15] 50

15. Ze třídy, ve které je 14 chlapců a 17 dívek, byla vybrána náhodně skupina pěti studentů. Jaká je pravděpodobnost, že v ní byli a) dva chlapci a tři dívky, b) tři chlapci a dvě dívky, c) čtyři chlapci a jedna dívka? 16. V urně je 8 bílých a 6 černých koulí. Náhodně vytáhneme 4 koule. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou a) 2 bílé koule, b) 3 bílé koule, c) 4 bílé koule? [0,3642; 0,29135; 0,10015] [0,4196; 0,33566; 0,0699] 51

a) dva zmetky, b) jeden zmetek, c) žádný zmetek? 17. V sérii 40 výrobků je 5 zmetků. Náhodně vybereme tři výrobky. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou a) dva zmetky, b) jeden zmetek, c) žádný zmetek? 18. Při hře 32 kartami (v sadě jsou 4 esa) bylo rozdáno 8 karet. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi byla a) čtyři esa, b) dvě esa, c) jedno eso? [0,0354; 0,3011; 0,66245] [0,00195; 0,2149; 0,45028] 52

a) 2 bílé, 2 červené a 2 zelené lístky, 19. V osudí je 12 lístků bílých, 10 červených a 14 zelených. Náhodně vytáhneme 6 lístků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou a) 2 bílé, 2 červené a 2 zelené lístky, b) 1 bílý, 2 červené a 3 zelené lístky, c) 3 bílé, 1 červený a 2 zelené lístky? 20. Ve Sportce je ze 49 čísel vylosováno šest. Určete pravděpodobnost výhry a) v prvním pořadí, b) ve druhém pořadí, c) ve třetím pořadí? [0,13876; 0,1009; 0,10278] [7,15.10-8; 1,845.10-5; 9,686.10-4] 53

21. V MATESu je losováno 5 čísel ze 35 21. V MATESu je losováno 5 čísel ze 35. Jaká je pravděpodobnost, že vyhraji na jeden vyplněný tiket a) první místo, b) druhé místo? [3,08.10-6; 4,62.10-4] 54

SOUČET PRAVDĚPODOBNOSTÍ

Vyhněte se nedorozumění V následující kapitole budeme odvozovat pravděpodobnost sjednocení více jevů, ale to je závislé na jejich průniku.

Pravděpodobnost sjednocení disjunktních jevů A1, A2 jevy se vylučují: muž  žena, vadný výrobek  dobrý výrobek, modrá kulička  žlutá kulička, číslo sudé  číslo liché, ...

Pravděpodobnost sjednocení jevů B1, B2, které nejsou disjunktní jevy se nevylučují: číslo dělitelné č. 2  číslo dělitelné č. 3, student AJ  student NJ, ...

Ať se jedná o jevy, které se navzájem vylučují či naopak, sčítat lze přímo počty možností, které jsou sledovaným jevům příznivé: Pozor! U jevů, které nejsou disjunktní (nevylučují se) prvky průniku započítáme jen jednou.

Řešený příklad 22: Ve třídě je 5 chlapců a 13 dívek (viz zadání řešeného příkladu 12). Jaká je pravděpodobnost, že ve čtyřčlenné skupině žáků této třídy a) bude nejvýše jeden chlapec, b) budou aspoň tři chlapci?

výběr: 4 členná skupina  n = C4(18) = 3 060 a) nejvýše 1 CH, tzn. buď 0 CH nebo 1 CH, 4 ve skupině  0 CH, 3 D nebo 1 CH, 4 D (jevy se vylučují) mA = C0(5). C4(13) + C1(5). C3(13) = = 1.715 + 5.286 = 715 + 1 430 = 2 145

výběr: 4 členná skupina  n = C4(18) = 3 060 b) aspoň 3 CH, tzn. buď 3 CH nebo 4 CH, 4 ve skupině  3 CH, 1 D nebo 4 CH, 0 D (jevy se vylučují) mB = C3(5). C1(13) + C4(5). C0(13) = = 10.13 + 5.1 = 130 + 5 = 135

Řešený příklad 23: V osudí je prvních 20 očíslovaných lístků. Jaká je pravděpodobnost, že si vytáhnu lístek s číslem, které bude dělitelné dvojkou nebo trojkou?

Počet všech výsledků, které mohou nastat: vytáhnu jedno z dvaceti  n = 20 Počet možností příznivých sledovanému jevu: č. děl. 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} = 10 č. děl. 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18} = 6 jevy se evidentně NEVYLUČUJÍ č. děl. 2 i 3 = { 6, 12, 18} = 3 mA = 10 + 6 – 3 = 13

PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Součet pravděpodobností

24. V urně je 5 bílých a 7 černých kuliček. Vytáhneme náhodně 3 kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že budou mít tutéž barvu? 25. Jaká je pravděpodobnost, že ve Sportce vyhraji při jednom vyplněném tiketu druhou nebo třetí cenu? [0,2045] [9,871.10-4] 66

26. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma hracími kostkami padne a) součet 3, b) součet 4, c) součet 6, d) součet 8, e) součet 10, f) součet 12? 27. Jaký součet má nejmenší (resp. největší ) pravděpodobnost při hodu a) třemi kostkami, b) čtyřmi kostkami, c) pěti kostkami, d) šesti kostkami? [1/18; 1/12; 5/36; 5/36; 1/12; 1/36] [3,18,(10,11); 4,24,(14); 5,30,(17,18); 6,36,(21)] 67

28. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi hracími kostkami padne a) součet 3, b) součet 5, c) součet 7, d) součet 8, e) součet 10, f) součet 13, g) součet 15? 29. Vypočítejte pravděpodobnost, že při hodu třemi hracími kostkami padne a) součet dělitelný čtyřmi, b) součet dělitelný pěti? [1/216; 1/36; 5/72; 7/72; 1/8; 7/72; 5/108] [0,2546; 0,199] 68

30. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi hracími kostkami padne součet 8, 10 nebo 12? 31. V sérii 28 výrobků jsou 3 zmetky. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 4 náhodně vybranými výrobky bude nejvýše jeden zmetek? 32. V sérii 45 výrobků je 5 zmetků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 4 náhodně vybranými výrobky budou nejméně tři zmetky? [0,3333] [0,9548 ] [0,00272] 69

33. Při hře 32 kartami bylo rozdáno 6 karet 33. Při hře 32 kartami bylo rozdáno 6 karet. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou alespoň dvě esa? 34. V osudí je 10 bílých, 5 černých a 6 zelených kuliček. Náhodně vytáhneme 4 kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou nejméně 2 černé? 35. V urně je 5 černých, 7 bílých a 8 zelených koulí. Náhodně vybereme 3 koule. Jaká je pravděpodobnost, že a) budou mít tutéž barvu, b) každá koule bude mít jinou barvu? [0,1504] [0,228] [0,0886; 0,24561 ] 70

PRAVDĚPODOBNOST OPAČNÉHO JEVU

Řešený příklad 36: V osudí je 6 kuliček modrých a 4 žluté. Jaká je pravděpodobnost, že vylosujeme 1 kuličku a) modrou, b) žlutou?

 = { } mB = 4 (vytáhnu jednu ze čtyř, ze žlutých) Počet všech výsledků, které mohou nastat: n = 10 (vytáhnu jednu z deseti) Počet výsledků příznivých jevu mA = 6 (vytáhnu jednu ze šesti, z modrých) mB = 4 (vytáhnu jednu ze čtyř, ze žlutých) Výsledek:

Všimněte si Součet pravděpodobností obou jevů A, B v příkladu 19 se rovná jedné: Jevy A, B jsou tzv. doplňkové. (Obdobně také jevy A, B v zadání příkladu 7.)

Doplňkové jevy Jevy, pro které platí:

Opačné jevy, ozn. A, A´ A´ je negace tvrzení A Jevy A, A´ se navzájem vylučují, tzn. Protože pro jevy A, A´ také platí: Jevy A, A´ jsou jevy doplňkové a tedy:

Použití jevů opačných Pravděpodobnost opačného jevu určujeme pouze tehdy, je-li to pro výpočet výhodnější. Tzn. počet možností příznivých opačnému jevu A´ je podstatně menší, než počet možností příznivých jevu výchozímu A. Pravděpodobnost výchozího jevu A nakonec dopočteme jako doplněk pravděpodobnosti jevu opačného A´ do jedné:

Řešený příklad 37: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami nepadne součet 2?

A … nepadne součet 2, A´… padne součet 2, tzn. padne součet: 3;4;5;6;7;8;9;10;11;12 tzn. 10 různých možností a každou z nich početně určit  určujeme jev opačný (negace výroku A) A´… padne součet 2, tzn. pouze jedna jediná možnost pro výpočet! n = V2´(6) = 36 mA´ = 1 {[1; 1] ... jediná uspořádaná dvojice}

PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Pravděpodobnost opačného jevu

38. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi hracími kostkami nepadne součet 13? 39. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi hracími kostkami nepadne součet dělitelný pěti? 40. V urně je 15 černých a 6 bílých koulí. Náhodně vybereme 5 koulí. Jaká je pravděpodobnost, že nebudou mít tutéž barvu? [0,9028] [0,801] [0,8521] 81

41. Ve třídě je 15 chlapců a 17 dívek 41. Ve třídě je 15 chlapců a 17 dívek. S jakou pravděpodobností mezi 4 vybranými zástupci nebudou samé dívky? 42. Ve třídě je 30 žáků, z nichž 8 není připraveno. V hodině budou zkoušeni 4 žáci. S jakou pravděpodobností, nebudou alespoň tři připraveni? 43. V krabici je 10 větrníků a 15 trubiček. Jaká je pravděpodobnost, že mezi pěti vybranými zákusky a) nebudou žádné trubičky, b) bude jedna trubička, c) budou aspoň dvě trubičky. [0,9338 ] [0,283525] [a) 0,004743, b) 0,059288; c) 0,935968] 82

PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Souhrnné opakování kapitoly: Jednoduchá pravděpodobnost

1. V bedně je 40 žárovek, z nichž jsou 4 vadné 1. V bedně je 40 žárovek, z nichž jsou 4 vadné. S jakou pravděpodobností nebude mezi 5 náhodně vybranými žárovkami ani jedna vadná? 2. V koši je 30 jablek, z nichž je 5 červivých. Jaká je pravděpodobnost, že z šesti tažených budou alespoň 2 dobrá? 3. Maminka přinesla 4 věnečky, 7 žloutkových řezů a 10 špiček. Každý smí sníst pouze 3 zákusky. Jaká je pravděpodobnost, že nedostanu pouze jeden druh? [0,572929] [0,999958] [0,880451] 84

4. V krabici je 15 bonbónů jahodových a 20 citrónových 4. V krabici je 15 bonbónů jahodových a 20 citrónových. Jaká je pravděpodobnost, že ze čtyř tažených bude nejvýše jeden citrónový? 5. V koši je 20 žárovek, z nichž je 6 rozbitých. Jaká je pravděpodobnost, že z pěti vybraných jsou alespoň tři dobré? 6. V urně je 20 losů červených a 30 modrých. Jaká je pravděpodobnost, že vyberu nejvýše čtyři modré ze šesti losovaných? [0,200] [0,869] [0,783] 85

7. Ve škole je 35 učitelů, z toho je 17 žen 7. Ve škole je 35 učitelů, z toho je 17 žen. Jaká je pravděpodobnost, že v šestičlenné delegaci budou alespoň 3 ženy? 8. Ze čtyřiceti výrobků je šest vadných. Jaká je pravděpodobnost, že z deseti tažených je nejvýše pět vadných? 9. Při hře 32 kartami bylo rozdáno pět karet. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými kartami nebude ani jedno eso? [0,6424] [0,9999] [0,488042] 86