Trojúhelníkové nerovnosti * 16. 7. 1996 Trojúhelníkové nerovnosti Matematika – 6. ročník *

Trojúhelníkové nerovnosti Sestrojte trojúhelníky: 1) ∆ABC: a = 6 cm; b = 8 cm; c = 9 cm 2) ∆DEF: d = 53 mm; e = 89 mm; f = 36 mm 3) ∆KLM: k = 6,4 cm; l = 42 mm; m = 12 cm

Trojúhelníkové nerovnosti Sestrojte trojúhelník: 1) ∆ABC: a = 6 cm; b = 8 cm; c = 9 cm k C l b a c A B

Bod E leží na úsečce DF => trojúhelník nelze sestrojit!!! Trojúhelníkové nerovnosti Sestrojte trojúhelník: 2) ∆DEF: d = 53 mm; e = 89 mm; f = 36 mm Bod E leží na úsečce DF => trojúhelník nelze sestrojit!!! l k E e F D

Bod M neexistuje => trojúhelník nelze sestrojit!!! Trojúhelníkové nerovnosti Sestrojte trojúhelník: ∆KLM: k = 6,4 cm; l = 42 mm; m = 12 cm Bod M neexistuje => trojúhelník nelze sestrojit!!! o m K L p

Trojúhelníkové nerovnosti Co platí pro délky stran trojúhelníků: 1) ∆ABC: a = 6 cm; b = 8 cm; c = 9 cm 𝒂+𝒃>𝒄 𝟔+𝟖>𝟗 𝟏𝟒>𝟗 𝒃+𝒄>𝒂 𝟖+𝟗>𝟔 𝟏𝟕>𝟔 𝒂+𝒄>𝒃 𝟔+𝟗>𝟖 𝟏𝟓>𝟖 2) ∆DEF: d = 53 mm; e = 89 mm; f = 36 mm 𝒅+𝒆>𝒇 𝟓𝟑+𝟖𝟗>𝟑𝟔 𝟏𝟒𝟐>𝟑𝟔 𝒆+𝒇>𝒅 𝟖𝟗+𝟑𝟔>𝟓𝟑 𝟏𝟐𝟓>𝟓𝟑 𝒅+𝒇=𝒆 𝟓𝟑+𝟑𝟔=𝟖𝟗 𝟖𝟗=𝟖𝟗 3) ∆KLM: k = 6,4 cm; l = 42 mm; m = 12 cm 𝒌+𝒎>𝒍 𝟔𝟒+𝟏𝟐𝟎>𝟒𝟐 𝟏𝟖𝟒>𝟒𝟐 𝒍+𝒎>𝒌 𝟒𝟐+𝟏𝟐𝟎>𝟔𝟒 𝟏𝟔𝟐>𝟔𝟒 𝒌+𝒍<𝒎 𝟔𝟒+𝟒𝟐<𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟎𝟔<𝟏𝟐𝟎

Trojúhelníkové nerovnosti V každém trojúhelníku je součet délek libovolných dvou stran větší než délka třetí strany Platí tedy: 𝒂+𝒃>𝒄 C 𝒃+𝒄>𝒂 𝒂+𝒄>𝒃 b a c A B

Trojúhelníkové nerovnosti Zjistěte, zda lze sestrojit trojúhelník z daných tří stran: a) 12 cm, 12 cm, 17 cm c) 85 cm, 7 dm, 1,2 cm 𝟏𝟐+𝟏𝟐>𝟏𝟕 𝟖𝟓+𝟕𝟎>𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟒>𝟏𝟕 𝟏𝟓𝟓>𝟏𝟐𝟎 Trojúhelník lze sestrojit. Trojúhelník lze sestrojit. b) 5,1 dm, 2,7 cm, 2,4 dm d) 22,17 dm, 27,52 dm, 5 m 𝟐,𝟕+𝟐,𝟒>𝟓,𝟏 𝟐𝟐,𝟏𝟕+𝟐𝟕,𝟓𝟐>𝟓𝟎 𝟓,𝟏>𝟓,𝟏 𝟒𝟗,𝟔𝟗>𝟓𝟎 Trojúhelník nelze sestrojit. Trojúhelník nelze sestrojit. Při porovnávání stačí porovnat součet dvou kratších stran se stranou nejdelší!

Konstrukce trojúhelníků Postup při konstrukcích trojúhelníků: 1) Pozorně si přečteme a analyzujeme zadání úlohy. 2) Náčrt a Rozbor úlohy, kde si načrtneme a zakreslujeme postup budoucí konstrukce. 3) Postup konstrukce je přesný postup zapsaný pomocí matematických značek - symbolů, písmen a čísel. 4) Konstrukce – samotné (přesné) narýsování trojúhelníku. 5) Důkaz – ověření, zda sestrojený trojúhelník odpovídá zadání. 6) Diskuze – zjištění možného počtu řešení za daných podmínek (využití především od 8. ročníku)

Sestrojte trojúhelník ABC je-li: a = 45 mm; b = 72 mm a c = 56 mm. Konstrukce trojúhelníků Sestrojte trojúhelník ABC je-li: a = 45 mm; b = 72 mm a c = 56 mm. 1) Pozorně si přečteme a analyzujeme zadání úlohy. Abychom trojúhelník mohli sestrojit musí platit trojúhelníková nerovnost (trojúhelníkové nerovnosti). a + c > b 45 + 56 > 72 101 > 72 ∆ 𝐥𝐳𝐞 𝐬𝐞𝐬𝐭𝐫𝐨𝐣𝐢𝐭

Sestrojte trojúhelník ABC je-li: a = 45 mm; b = 72 mm a c = 56 mm. Konstrukce trojúhelníků Sestrojte trojúhelník ABC je-li: a = 45 mm; b = 72 mm a c = 56 mm. 2) Náčrt a Rozbor úlohy, kde si načrtneme a zakreslujeme postup budoucí konstrukce. 3) Postup konstrukce je přesný postup zapsaný pomocí matematických značek - symbolů, písmen a čísel. A Postup konstrukce: Rozbor: k2 1. BC; |BC| = 45 mm k1 2. k1; k1(B; c = 56 mm) c 3. k2; k2(C; b = 72 mm) 4. A; A ∈ k1 ∩ k2 b 5. △ ABC B a ∈  leží na; je prvkem; náleží ∩  průnik; průsečík C

Sestrojte trojúhelník ABC je-li: a = 45 mm; b = 72 mm a c = 56 mm. Konstrukce trojúhelníků Sestrojte trojúhelník ABC je-li: a = 45 mm; b = 72 mm a c = 56 mm. 4) Konstrukce – samotné (přesné) narýsování trojúhelníku. Konstrukce: k2 Postup konstrukce: A k1 1. BC; |BC| = 45 mm 2. k1; k1(B; c = 56 mm) 3. k2; k2(C; b = 72 mm) b 4. A; A ∈ k1 ∩ k2 c 5. △ ABC a B C

Sestrojte trojúhelník ABC je-li: a = 45 mm; b = 72 mm a c = 56 mm. * 16. 7. 1996 Konstrukce trojúhelníků Sestrojte trojúhelník ABC je-li: a = 45 mm; b = 72 mm a c = 56 mm. 5) Důkaz – ověření, zda sestrojený trojúhelník odpovídá zadání. Konstrukce: k2 Ověříme (měřením), zda jsou délky stran v souladu se zadáním. A k1 6) Diskuze – zjištění možného počtu řešení za daných podmínek. Počet řešení závisí na počtu průsečíků kružnic k1 a k2. Vzhledem k tomu, že průsečík v jedné polorovině (určené přímkou BC) je pouze jediný, má úloha (v jedné polorovině) jediné řešení. b c a B C *