MATEMATIKA Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli

Název projektu: Nové ICT rozvíjí matematické a odborné kompetence Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0228 Název školy: Střední odborná škola Litovel, Komenského 677 Číslo materiálu: III-2-04-04_Rovnice_a_nerovnice Autor: Mgr. Jitka Vyhlídalová Tematický okruh: Matematika Ročník: II. Datum tvorby: 04. 2013 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Jitka Vyhlídalová

Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli ! Součástí řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli je stanovení podmínek, tzn. určíme, pro které hodnoty neznámé má daná rovnice smysl, a získané řešení s podmínkami porovnáme nebo provedeme zkoušku, při které se přesvědčíme, zda se po dosazení kořenů jmenovatelé zlomků nerovnají nule. Př.: Řešte rovnice v R: 𝟐− 𝟑 𝒙+𝟑 = 𝟓𝒙+𝟏𝟐 𝒙+𝟑 Stanovíme podmínky - z čeho budeme vycházet? JMENOVATEL ZLOMKU NESMÍ BÝT ROVEN NULE! 𝑥+3≠0

Podmínka: 𝑥≠−3 Rovnici vynásobíme vhodným společným jmenovatelem všech zlomků v rovnici – který to je výraz? 2− 3 x+3 = 5x+12 x+3 /∙ 𝑥+3 2 𝑥+3 −3=5𝑥+12 2𝑥+6−3=5𝑥+12 2𝑥+3=5𝑥+12 /−2𝑥 3=3𝑥+12 /−12 −9=3𝑥 /÷3 𝑥=−3 Porovnáním s podmínkami je zřejmé, že rovnice nemá řešení, po dosazení čísla -3, by jmenovatel zlomku byl roven nule.

Př.: Řešte rovnici a proveďte zkoušku: 𝟐𝒙 𝒙−𝟏 =𝟏+ 𝟐 𝒙−𝟏 Jestliže budeme provádět zkoušku, nemusíme stanovovat podmínky /∙ 𝑥−1 2𝑥=𝑥−1+2 2𝑥=𝑥+1 /−𝑥 𝑥=1 𝐿= 2∙1 1−1 Zk.: Číslo jedna není kořen rovnice, protože po dosazení je jmenovatel zlomku roven nule! Závěr: Rovnice nemá řešení.

Př.: Řešte rovnici: 𝟐 𝒙 + 𝟑 𝒙 + 𝟓 𝒙 = 𝟏𝟎 𝒙 𝑥≠0 Podmínka: 2 𝑥 + 3 𝑥 + 5 𝑥 = 10 𝑥 /∙𝑥 2+3+5=10 Rovnost platí, řešením je každé reálné číslo různé od nuly. 10=10

Př.: Řešte rovnici: 𝒙+𝟐 𝟐 𝒙−𝟏 − 𝟐𝒙 𝟑 𝒙−𝟏 = 𝟏 𝟐𝟒 Podmínka: 𝑥≠1 𝒙+𝟐 𝟐 𝒙−𝟏 − 𝟐𝒙 𝟑 𝒙−𝟏 = 𝟏 𝟐𝟒 Podmínka: 𝑥≠1 𝑥+2 2 𝑥−1 − 2𝑥 3 𝑥−1 = 1 24 /∙24 𝑥−1 12 𝑥+2 −8∙2𝑥=𝑥−1 12𝑥+24−16𝑥=𝑥−1 24−4𝑥=𝑥−1 /+4𝑥 24=5𝑥−1 /+1 25=5𝑥 /÷5 𝑥=5 Vyhovuje podmínce

Př.: Určete co nejvýhodněji společného jmenovatele zlomků a rovnice vyřešte 𝟏 𝒙−𝟐 − 𝟏 𝒙+𝟐 = 𝟕−𝟐𝒙 𝒙 𝟐 −𝟒 a) Výraz rozložíme na součin 1 𝑥−2 − 1 𝑥+2 = 7−2𝑥 𝑥−2 𝑥+2 / 𝑥+2 𝑥−2 𝑥+2− 𝑥−2 =7−2𝑥 𝑥+2−𝑥+2=7−2𝑥 4=7−2𝑥 /−7 −3=−2𝑥 /÷ −2 𝑥= 3 2

Zkouška: 𝐿= 1 3 2 −2 − 1 3 2 +2 = 1 3−4 2 − 1 3+4 2 = 1 − 1 2 − 1 7 2 =−2− 2 7 = −14−2 7 =− 16 7 𝑃= 7−2∙ 3 2 3 2 2 −4 = 7−3 9 4 −4 = 4 9−16 4 = 4 − 7 4 =− 16 7 𝐿=𝑃 𝑥= 3 2

𝟑𝒙−𝟒 𝟏−𝟒 𝒙 𝟐 − 𝟏 𝟐𝒙−𝟏 + 𝟑 𝟏+𝟐𝒙 =𝟎 b) ? 𝑎 2 − 𝑏 2 = 𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 3𝑥−4 1−2𝑥 1+2𝑥 − 1 2𝑥−1 + 3 1+2𝑥 =0 ? 2𝑥−1=− −2𝑥+1 =− 1−2𝑥 3𝑥−4 1−2𝑥 1+2𝑥 + 1 1−2𝑥 + 3 1+2𝑥 =0 / 1−2𝑥 1+2𝑥 3𝑥−4+1+2𝑥+3 1−2𝑥 =0 3𝑥−4+1+2𝑥+3−6𝑥=0 −𝑥=0 𝑥=0 Zkouška: 𝐿= 3∙0−4 1−4∙0 − 1 2∙0−1 + 3 1+2∙0 = −4 1 − 1 −1 + 3 1 =−4+1+3=0 𝑃=0 𝐿=𝑃

Anotace: Tato prezentace slouží k výkladu lineárních rovnic s neznámou ve jmenovateli. Žáci řeší jednoduché rovnice s využitím ekvivalentních úprav a stanovují podmínky řešení. Provádí zkoušku správnosti řešení. Použité zdroje: doc. RNDr. Emil Calda, CSc.: Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU, 2. díl, 1. vydání 2003, Prometheus, ISBN 80-7196-260-0 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Jitka Vyhlídalová