Průměr 𝜇= 1 15 𝑖 𝑥 𝑖 = 𝑗 7 𝑓 𝑗 15 𝑥 𝑗 = 𝑗 7 𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 = 6.607 Neurčitý integrál. Příklad. Spotřeba paliva. spotřeba 5.3 6.3 6.5 6.6 6.8 6.9 7 Průměr 𝜇= 1 15 𝑖 𝑥 𝑖 = 6.607 spotřeba frekvence relativní frekvence pi 5.3 1 0.0666667 6.3 2 0.1333333 6.5 4 0.2666667 6.6 6.8 6.9 7 součet 15 Průměr 𝜇= 1 15 𝑖 𝑥 𝑖 = 𝑗 7 𝑓 𝑗 15 𝑥 𝑗 = 𝑗 7 𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 = 6.607

Průměr 𝜇= 1 50 𝑖 𝑥 𝑖 = 𝑗=1 20 𝑓 𝑗 50 𝑥 𝑗 = 𝑗 𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 = 6.388 spotřeba frekvence fi relativní frekvence pi 4.9 1 0.02 5.1 2 0.04 5.2 5.3 3 0.06 5.4 4 0.08 5.7 5.9 6.1 6.3 5 0.1 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7 7.1 7.3 7.4 7.6 7.7 součet 50 Průměr 𝜇= 1 50 𝑖 𝑥 𝑖 = 𝑗=1 20 𝑓 𝑗 50 𝑥 𝑗 = 𝑗 𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 = 6.388

𝑛 → +∞ 𝝁= −∞ +∞ 𝒙𝒑 𝒙 𝒅𝒙

Nechť F (x) je funkce, pro kterou platí F / (x) = f ( x ) Nechť F (x) je funkce, pro kterou platí F / (x) = f ( x ). Pak F je primitivní funkce k funkci f. Nechť F je primitivní funkce k f, tj. F / (x) = f ( x ). Jestliže c je libovolná konstanta, pak (F + c) / (x) = f ( x ), tedy F + c je rovněž primitivní fukce k f. Stručněji píšeme Integrace některých funkcí. Příklad. | | | | | |

Neurčitý integrál z funkce f lze počítat pouze na množině, kde je f definována!!!

Integrace per partes. Nechť f a g mají vlastní derivace v intervalu I. Pak f g' je integrovatelná v I právě tehdy, je-li f 'g integrovatelná v I, a platí Příklad.

Postup je stejný jako v předchozím případě. Příklad. Příklad. Postup je stejný jako v předchozím případě. Výsledek budeme potřebovat dále. 1 ( 𝑥 2 +1) 𝑛 𝑑𝑥 , 𝑛>2. 𝑔 / 𝑥 =− 2𝑛𝑥 ( 𝑥 2 +1) 𝑛+1 𝑓 / 𝑥 =1, 𝑔 𝑥 = ( 𝑥 2 +1) −𝑛 , 1 ( 𝑥 2 +1) 𝑛 = 2𝑛 𝑥 2 ( 𝑥 2 +1) −(𝑛+1) 𝑑𝑥 𝑥 ( 𝑥 2 +1) −𝑛 + 𝑥 2 ( 𝑥 2 +1) 𝑛+1 = 1 ( 𝑥 2 +1) 𝑛 − 1 ( 𝑥 2 +1) 𝑛+1

Proto 1 ( 𝑥 2 +1) 𝑛 =𝑥 ( 𝑥 2 +1) −𝑛 +2𝑛 ( 𝑥 2 +1 ) −𝑛 𝑑𝑥−2𝑛 ( 𝑥 2 +1 ) −(𝑛+1) 𝑑𝑥 Označíme 𝐼 𝑛 𝑥 = 1 ( 𝑥 2 +1) 𝑛 𝑑𝑥 . 𝐼 𝑛 𝑥 = 𝑥 ( 𝑥 2 +1) −𝑛 +2𝑛 𝐼 𝑛 𝑥 −2𝑛 𝐼 𝑛+1 (𝑥) Odtud 𝐼 𝑛+1 𝑥 = 1 2𝑛 𝑥 ( 𝑥 2 +1) 𝑛 + 2𝑛−1 2𝑛 𝐼 𝑛 𝑥 , 𝑛>1. 1 ( 𝑥 2 +1) 𝑛 𝑑𝑥= 1 2(𝑛−1) 𝑥 ( 𝑥 2 +1) 𝑛−1 + 2𝑛−3 2(𝑛−1) 1 ( 𝑥 2 +1) 𝑛−1 𝑑𝑥 , 𝑛>2

Nechť f je funkce spojitá na intervalu (a, b) libovolného typu Nechť f je funkce spojitá na intervalu (a, b) libovolného typu. Pak f má na tomto Intervalu primitivní funkci F. Jestliže 𝑎=−∞, nebo b=+∞, definujeme 𝐹 ±∞ = lim 𝑥→±∞ 𝐹 𝑥 . Substituce. Nechť z = f ( x ), x  A  D( f ) a f má derivaci v pro každé x  A y = g ( z ), z  B  D( g ) a existuje primitivní funkce G ( z ) na B f ( A )  B Pak Příklad. Stručněji a jednodušeji

Polynomy v R. Polynomem stupně n v R rozumíme funkci 𝑃:𝐑→𝐑, 𝐷 𝑃 =𝐑 tvaru 𝑃 𝑥 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 2 𝑥 2 +…+ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 , kde koeficienty 𝑎 𝑖 , 𝑖=0, …, 𝑛 jsou reálná čísla, 𝑎 𝑛 ≠0. Tvrzení. Je-li P polynom stupně n (v R), pak je možno psát 𝑃 𝑥 = (𝑥− 𝛼 1 ) 𝑘 1 (𝑥− 𝛼 2 ) 𝑘 2 … (𝑥− 𝛼 𝑖 ) 𝑘 𝑖 ( 𝑥 2 + 𝑝 1 𝑥+ 𝑞 1 ) 𝑙 1 … ( 𝑥 2 + 𝑝 𝑗 𝑥+ 𝑞 𝑗 ) 𝑙 𝑗 . Při tom 𝑘 1 + 𝑘 2 +…+ 𝑘 𝑖 ≤𝑛, 𝑚=1 𝑖 𝑘 𝑖 + 𝑟=1 𝑗 2 𝑙 𝑟 =𝑛 . diskriminant pro každý kvadratický člen ( 𝑥 2 + 𝑝 𝑟 𝑥+ 𝑞 𝑟 ) 𝑙 𝑟 rozkladu je menší než 0, 𝑟=1, …, 𝑗. 𝛼 𝑚 , 𝑚=1, …,𝑖 jsou kořeny polynomu P, 𝑘 𝑚 , 𝑚=1, …, 𝑖 jsou násobnosti kořenů 𝛼 𝑚 , 𝑚=1, …, 𝑖 . Poznámka. Tvar rozkladu vyplývá z faktu, že kvadratická rovnice 𝑥 2 +𝑝𝑥+𝑞=0 nemá v oboru reálných čísel řešení, je-li diskriminant menší než 0.

Racionální funkce v R. Nechť v oboru reálných čísel P a Q jsou polynomy. Racionální funkci R definujeme 𝑅 𝑥 = 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) . Nechť 𝑅 𝑥 = 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) je racionální funkce, st P < st Q. Nechť𝑄 𝑥 = 𝑄 1 𝑥 𝑄 2 𝑥 … 𝑄 𝑛 (𝑥),kde 𝑄 𝑗 𝑥 = ( 𝑎 𝑗 𝑥+ 𝑏 𝑗 ) 𝑘 𝑗 , nebo 𝑄 𝑗 𝑥 = ( 𝑎 𝑗 𝑥 2 + 𝑏 𝑗 𝑥+ 𝑐 𝑗 ) 𝑘 𝑗 , j = 1, …, n. Funkci R (x) lze pak vyjádřit jako součet racionálních funkcí 𝑅 𝑥 = 𝑅 1 (𝑥) + 𝑅 2 (𝑥) + …+ 𝑅 𝑛 (𝑥), kde 𝑅 𝑗 x = 𝑃 𝑗 (𝑥) 𝑄 𝑗 (𝑥) , j = 1, …, n. Tomuto rozkladu se říká rozklad racionální funkce na parciální zlomky. 𝑃 𝑗 𝑥 je konstanta, nebo 𝑃 𝑗 𝑥 = 𝐴 𝑗 𝑥+ 𝐵 𝑗 , j = 1, …, n Jestliže se v rozkladu funkce Q vyskytuje 𝑄 𝑗 𝑥 = ( 𝑎 𝑗 𝑥+ 𝑏 𝑗 ) 𝑘 𝑗 ,pak se v rozkladu racionální funkce R nacházejí členy 𝐴 1𝑗 𝑎 𝑗 𝑥+ 𝑏 𝑗 , 𝐴 2𝑗 ( 𝑎 𝑗 𝑥+ 𝑏 𝑗 ) 2 , … , 𝐴 𝑘 𝑗 𝑗 ( 𝑎 𝑗 𝑥+ 𝑏 𝑗 ) 𝑘 𝑗 Jestliže se v rozkladu funkce Q vyskytuje 𝑄 𝑗 𝑥 = ( 𝑎 𝑗 𝑥 2 + 𝑏 𝑗 𝑥+ 𝑐 𝑗 ) 𝑘 𝑗 ,pak se v rozkladu racionální funkce R nacházejí členy 𝐴 1𝑗 𝑥 + 𝐵 1𝑗 𝑎 𝑗 𝑥 2 + 𝑏 𝑗 𝑥+ 𝑐 𝑗 , 𝐴 2𝑗 𝑥+ 𝐵 2𝑗 ( 𝑎 𝑗 𝑥 2 + 𝑏 𝑗 𝑥+ 𝑐 𝑗 ) 2 , … , 𝐴 𝑘 𝑗 𝑗 𝑥+ 𝐵 𝑘 𝑗 𝑗 ( 𝑎 𝑗 𝑥 2 + 𝑏 𝑗 𝑥+ 𝑐 𝑗 ) 𝑘 𝑗 .

Příklad. 𝑅 𝑥 = 5 3 𝑥 2 −9𝑥+6 Rozložte na parciální zlomky funkci 𝑅 𝑥 = 5 3 𝑥 2 −9𝑥+6 = 5/3 𝑥 2 −3𝑥+2 = 5/3 (𝑥−2)(𝑥−1) = 5 3 ( 𝐴 𝑥−2 + 𝐵 𝑥−1 ) Vynásobíme společným jmenovatelem (x – 2)(x – 1) rovnici 5 3 𝑥 2 −9𝑥+6 = 5 3 ( 𝐴 𝑥−2 + 𝐵 𝑥−1 )  1= 𝐴+𝐵 𝑥−(𝐴+2𝐵) Na levé straně je koeficient u členu s x roven 0, tedy A + B = 0, na levé straně je absolutní člen roven 1, tedy 1 = - A - 2B. Řešením soustavy rovnic je A = 1, B = -1. 𝑅 𝑥 = 5 3 𝑥 2 −9𝑥+6 = 5 3 1 𝑥−2 − 1 𝑥−1 . Příklad. 𝑅 𝑥 = 3 3𝑥+2 2 (𝑥−1) Rozložte na parciální zlomky funkci 𝑅 𝑥 = 3𝑥+1 3𝑥+2 2 (𝑥−1) = 𝐴 3𝑥+2 + 𝐵 3𝑥+2 2 + 𝐶 𝑥−1 . Vynásobíme společným jmenovatelem. 3𝑥+1=𝐴 3𝑥+2 𝑥−1 +𝐵 𝑥−1 +𝐶 (3𝑥+2) 2

Stejně jako v předchozím případě roznásobíme a porovnáme koeficienty: A = -12/25, B = 15/25, C = 4/25. 𝑅 𝑥 = 3𝑥+1 3𝑥+2 2 (𝑥−1) = −12/25 3𝑥+2 + 3/5 3𝑥+2 2 + 4/25 𝑥−1 . Příklad. Rozložte na parciální zlomky funkci R(x) = 𝑥+5 (𝑥 2 +1) 𝑥 2 . R(x) = 𝑥+5 (𝑥 2 +1) 𝑥 2 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 2 + 𝐶𝑥+𝐷 𝑥 2 +1 Vynásobíme společným jmenovatelem. 𝑥+5=𝐴𝑥 𝑥 2 +1 +𝐵 𝑥 2 +1 +(𝐶𝑥+𝐷) 𝑥 2 Porovnáme koeficienty. A = 1, B = 5, C = -1, D = -5  R(x) = 𝑥+5 (𝑥 2 +1) 𝑥 2 = 1 𝑥 + 5 𝑥 2 − 𝑥+5 𝑥 2 +1 Nechť 𝑅 𝑥 = 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) je racionální funkce, st P ≥ st Q. Pak (dělením polynomů) lze psát 𝑅 𝑥 = 𝑃 1 𝑥 + 𝑃 2 (𝑥) 𝑄(𝑥) , kde st P2 < st Q. Rozklad racionální funkce 𝑃 2 (𝑥) 𝑄(𝑥) probíhá podle předchozího.

Rozložte na parciální zlomky Příklad. R(x) = 3 𝑥 3 − 𝑥 2 −18𝑥−10 𝑥 2 −2𝑥−3 Rozložte na parciální zlomky 3 𝑥 3 − 𝑥 2 −18𝑥−10 : 𝑥 2 −2𝑥−3 =3𝑥+5+ 𝑥+5 𝑥 2 −2𝑥+3 =3𝑥+5+ 𝑅 1 (𝑥) 𝑅 1 𝑥 = 𝑥+5 (𝑥+1)(𝑥−3) = 𝐴 𝑥+1 + 𝐵 𝑥−3 Poslední rovnost vynásobíme společným jmenovatelem. 𝑥+5=𝐴 𝑥−3 +𝐵(𝑥+1) x+5 = (A+B)x – 3A + B 1=𝐴+𝐵, 5=−3𝐴+𝐵 𝐴=−1, 𝐵=2. R(x) = 3 𝑥 3 − 𝑥 2 −18𝑥−10 𝑥 2 −2𝑥−3 =3𝑥+5 − 1 𝑥+1 + 2 𝑥−3 Příklad. Rozložte na parciální zlomky R(x) = 2 𝑥 2 −1 ( 𝑥 2 +1) 2 𝑥 2 . R(x) = 2 𝑥 2 −1 ( 𝑥 2 +1) 2 𝑥 2 = 2 ( 𝑥 2 +1) 2 − 1 𝑥 2 +1 2 𝑥 2 = 2 𝑥 2 +1 2 + 𝑅 1 𝑥 𝑅 1 𝑥 =− 1 𝑥 2 +1 2 𝑥 2 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 2 + 𝐶𝑥+𝐷 𝑥 2 +1 + 𝐸𝑥+𝐹 ( 𝑥 2 +1) 2 Postupujeme stejně jako v předchozím. A = 2, B = -1, C =-2, D = 1, E = -2, F = -1. 𝑅 𝑥 = 2 𝑥 2 +1 2 + 2 𝑥 − 1 𝑥 2 − 2𝑥−1 𝑥 2 +1 − 2𝑥+1 𝑥 2 +1 2 = 2 𝑥 − 1 𝑥 2 − 2𝑥−1 𝑥 2 +1 − 2𝑥−1 ( 𝑥 2 +1) 2 .

Příklady k procvičení. Vypočítejte , jestliže

Vypočítejte 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , jestliže 𝑓 𝑥 = 1 (𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3) 𝑓 𝑥 = 1 (𝑥−1)( 𝑥 2 −9𝑥+20) 𝑓 𝑥 = 1 (𝑥−1) (𝑥−2) 2 𝑓 𝑥 = 𝑥 (𝑥−1)( 𝑥 2 +𝑥−1) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +3 ( 𝑥 2 +1)( 𝑥 2 +2𝑥+1) 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 ( 𝑥 2 +1)( 𝑥 2 +2𝑥+1) Všechny předchozí integrály zkuste vypočítat, jestliže zaměníte x za 𝑒 𝑥 .

Určitý integrál. Příklad. Na ploše 10 m x 10 m se vysazuje stejný typ rostlin ve 2 barvách. Obě barvy jsou odděleny křivkou y = x ( 1 – 0.1x ). Kolik procent celkové plochy tvoří jednotlivé barevné plochy. Potřebujeme spočítat plochu pod křivkou a % z 100 m 2 Plocha se počítá pomocí určitého integrálu (100 – a) % Princip výpočtů – neurčitý integrál

Možný postup. Nechť funkce f má na intervalu (a, b) primitivní funkci F. Definujeme (Newtonův) (určitý) integrál na intervalu (a, b) (𝑁) 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑥→ 𝑏 − 𝐹 𝑥 − lim 𝑥→ 𝑎 + 𝐹 𝑥 Poznámka. Newtonův integrál 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 existuje právě když existuje primitivní funkce na tomto intervalu existují lim 𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 a lim 𝑥→𝑏− 𝑓 𝑥 Poznámka. Interval (a, b) je libovolného druhu, tj. uzavřený, polouzavřený, otevřený.

Příklad. Příklad. Příklad (úvodní). tj. zhruba 16.7% (ze 100m2).

Integrace per partes pro určitý integrál. Nechť funkce f a g jsou diferencovatelné v intervalu (a, b). Nechť existuje . Pak Příklad. Určete velikost plochy pod křivkou f (x) = x sin(x) na intervalu (0, ).

Substituce v určitém integrálu. Nechť funkce g má primitivní funkci na intervalu (a, b), nechť f je diferencovatelná funkce na intervalu (c, d), R( f )  (a, b). Pak Příklad. Určete obsah kruhu o poloměru r. Stačí vypočítat obsah horního půlkruhu a vypočtený obsah násobit 2. (Jinak by takto popsaný kruh měl obsah roven 0!!!!!!

Substituce x / r = y. Pak dx / r = d y. Když x = - r, pak y = - r / r = - 1. Když x = r, pak y = 1. = (*) Substituce y = sin z. Pak dy = cos z dz. Když y = -1, pak z = -/2, když y = 1, pak z = /2. Platí (ověřte!!) (*) = Substituce 2z =p, 2zdz = dp. Když z = /2, pak p =  (protože poslední integrál je roven 0 – ověřte!!!!) Plocha horního půlkruhu je tedy rovna r 2 / 2, tedy plocha kruhu je rovna r 2 .

Příklad. Určete plochu na intervalu (0, 1), která je pod křivkou f ( x ) = 0.5 - x (1 – x) a nad křivkou g ( x ) = x (1 - x). f ( x ) g ( x )

Příklad. Vpočítejte. Příklad. Vpočítejte. A (x – 3) + B (x + 1) = 1  A = -B = 0.25

= log (1/3)0.25  - 0.275 Příklad. Vypočítejte obsah oblasti ohraničené křivkami y = x 2, y 2 = x, x  0. Společné body křivek: [x, y] = [0, 0] [x, y] = [1, 1] Plocha je rovna 2/3 - 1/3 = 1/3.

Nechť f má spojitou derivaci na intervalu (a, b) Nechť f má spojitou derivaci na intervalu (a, b). Délka křivky daná grafem funkce f (tj. množinou {[x, y]  R2, y = f(x)}) je L = 𝑎 𝑏 1+ ( 𝑓 / 𝑥 ) 2 𝑑𝑥 . Nechť f je spojitá na intervalu (a, b), nechť 0 ≤ f (x), x  (a, b). Nechť M = {[x, y] (a, b) x (0, f(x)}. Objem tělesa vzniklého rotací M kolem osy x je V =  𝑎 𝑏 𝑓 2 𝑥 𝑑𝑥 . Nechť f má spojitou derivaci v intervalu (a, b). Velikost plochy vzniklé rotací množiny M kolem osy x je P = 2 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 1+ ( 𝑓 / 𝑥 ) 2 𝑑𝑥 . Příklad. Vypočtěte objem koule o poloměru r. Koule vznikne rotací kružnice x 2 + y 2 = r 2. Aby se integrály nevynulovaly, počítáme 2x rotaci půlkruhu. Objem koule tedy je 4  r 3 / 3.

Příklad. Vypočtěte povrch koule o poloměru r. Koule vznikne rotací kružnice x 2 + y 2 = r 2 okolo osy x. 𝑦= 𝑟 2 − 𝑥 2 , x<r je “horní půkružnice“. Necháme ji rotovat kolem osy x. 𝑦 / 𝑥 = −𝑥 𝑟 2 − 𝑥 2 , 1+ ( 𝑦 / ) 2 = 𝑟 2 𝑟 2 − 𝑥 2 . P = 2 −𝑟 𝑟 𝑟 2 − 𝑥 2 𝑟 2 𝑟 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 =2𝑟 −𝑟 𝑟 𝑑𝑥= 4 𝑟 2 . Příklad. Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené křivkami 𝑦= 𝑥 2 a 𝑦=2− 𝑥 2 kolem osy x. Nejprve je nutno zjistit průsečíky obou funkcí, tudíž integrační meze. 𝑥 2 =2− 𝑥 2  𝑥= ±1. 𝑉= 𝑉 2 − 𝑉 1 , kde 𝑉 2 = −1 1 (2− 𝑥 2 ) 2 𝑑𝑥= −1 1 4−4 𝑥 2 + 𝑥 4 𝑑𝑥= [4𝑥− 4 3 𝑥 3 + 𝑥 5 5 ] −1 1 = 86 15  . 𝑉 1 = −1 1 𝑥 4 𝑑𝑥=  [ 𝑥 5 5 ] −1 1 = 2 5 . 𝑉= 16 3 .

Příklady k procvičení. Určete objem a povrch tělesa, které vznikne rotací plochy pod f ( x ) = 0.5 - x (1 – x) na intervalu (0, 1) kolem osy x. Vypočtěte objem a povrch kužele, který vznikne rotací úsečky y = r x / v kolem osy x na intervalu (0, v ), v je výška kužele, r je poloměr podstavy.