Rovnice opakování Výukový materiál pro 9.ročník Autor materiálu: Mgr. Martin Holý Další šíření materiálu je možné pouze se souhlasem autora

Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů Čemu říkáme rovnice? Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů Rovnice s jednou neznámou (proměnnou) je zápis rovnosti dvou výrazů, které obsahují 1 neznámou (proměnnou). x + 2 Levá strana rovnice L = = = 6 Pravá strana rovnice P Řešit rovnici s jednou neznámou znamená hledat takové číslo, po jehož dosazení do rovnice bude platit rovnost. Takovému číslu říkáme kořen rovnice. Kořenem rovnice x + 2 = 6 je číslo 4, tedy x = 4

Řešení rovnice Řešit rovnici znamená provádět tzv. ekvivalentní úpravy, které vedou k nalezení kořene rovnice. Ekvivalentní úprava rovnice je úprava, při které se nemění kořen (řešení) rovnice. Jinými slovy: Změní se matematický zápis rovnice, nikoli však rovnost stran a řešení.

Ekvivalentní úpravy 1. Kořen rovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo (výraz). 2. Kořen rovnice se nezmění, jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo (výraz). 3. Kořen rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem (výrazem) různým od nuly. 4. Kořen rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem různým od nuly. 5. Kořen rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice.

Řešení rovnic Postup: 1. Všechny členy s neznámou převedeme pomocí ekvivalentních úprav na jednu stranu a všechny členy bez neznámé na stranu druhou 2. Obě strany rovnice zjednodušíme 3. Dopočítáme kořen rovnice 4. Provedeme zkoušku

Př. /-a 4a - 2 = a + 4 /+2 3a - 2 = 4 3a = 6 /:3 a = 2 /-3x 5x - 2 = 3x + 4 Zk: L = 5.3 - 2 = 13 /+2 P = 3.3 + 4 = 13 2x - 2 = 4 /:2 L = P 2x = 6 x = 3 /+4x 2 – 2x = - 4x + 4 Zk: L = 2 – 2.1 = 0 /-2 P = -4.1 + 4 = 0 2 + 2x = 4 L = P 2x = 2 /:2 x = 1 /-a 4a - 2 = a + 4 Zk: L = 4.2 - 2 = 6 /+2 3a - 2 = 4 P = 2 + 4 = 6 3a = 6 /:3 L = P a = 2

1) Řešte rovnice s neznámou x a proveďte zkoušku: /-8 a) 8 – 2x = 4 Zk: L = 8 – 2 . 2 = 4 /:(-2) - 2x = -4 P = 4 x = 2 L = P /-2x b) 5x - 9 = 2x Zk: L = 5.3 - 9 = 6 /+9 3x - 9 = 0 P = 2 . 3 = 6 3x = 9 /:3 L = P x = 3 /-x c) -10 – 6x = 4 + x Zk: L = -10 – 6.(-2) = 2 /+10 -10 - 7x = 4 P = 4 +(–2) = 2 -7x = 14 /:(-7) L = P x = -2

1) Řešte rovnice s neznámou x a proveďte zkoušku: d) 5x - 9 = x + 3 Zk: L = 5.3 - 9 = 15 – 9 = 6 /+9 4x - 9 = 3 P = 3 + 3 = 6 4x = 12 /:4 L = P x = 3 /+3x e) 8 – 5x = 4 – 3x Zk: L = 8 – 5 . 2 = 8 – 10 = -2 /-8 8 - 2x = 4 P = 4 – 3 . 2 = 4 – 6 = -2 -2x = -4 /:(-2) L = P x = 2 /-2x f) 3 – 5x = 2x - 4 Zk: L = 3 – 5 . 1 = 3 – 5 = -2 /-3 3 - 7x = -4 P = 2.1 - 4 = 2 – 4 = -2 -7x = -7 /:(-7) L = P x = 1

1) Řešte rovnice s neznámou x a proveďte zkoušku: g) -5x + 9 = -x - 3 Zk: L = -5.3 + 9 = -15 + 9 = -6 /-9 -4x + 9 = -3 P = -3 - 3 = -6 -4x = -12 /:(-4) L = P x = 3 /-3x h) -8 – 2x = 7 + 3x Zk: L = -8 – 2.(-3) = -8 + 6 = -2 /+8 -8 - 5x = 7 P = 7 + 3.(-3) = 7 – 9 = -2 -5x = 15 /:(-5) L = P x = -3 /-x i) -12 – 7x = 4 + x Zk: L = -12 – 7.(-2) = -12 + 14 = 2 /+12 -12 - 8x = 4 P = 4 +(–2) = 4 – 2 = 2 -8x = 16 /:(-8) L = P x = -2

Řešení rovnic se závorkami V prvním kroku odstraníme závorky a zjednodušíme Dále postupujeme podle standardního postupu Př. 2.(2a + 1) - 4 = 4.(a + 1) – 3a 4a + 2 - 4 = 4a + 4 – 3a /-a + 2 4a - 2 = a + 4 3a = 6 /:3 a = 2 Zk: L = 2.(2.2 + 1) - 4 = 6 P = 4.(2 + 1) – 3.2 = 6 L = P

2) Řešte rovnice s neznámou x a proveďte zkoušku a) 2.(3x + 2) = 5.(2x - 3) - 5 6x + 4 = 10x – 15 - 5 /-10x - 4 6x + 4 = 10x - 20 -4x = -24 /:(-4) x = 6 Zk: L = 2.(3.6 + 2) = 40 P = 5.(2.6 - 3) - 5 = 40 L = P

2) Řešte rovnice s neznámou x a proveďte zkoušku b) 3x + 2.(2x + 4) = 3.(5x + 4) – 10x 3x + 4x + 8 = 15x + 12 – 10x /-5x - 8 7x + 8 = 5x + 12 2x = 4 /:2 x = 2 Zk: L = 3.2 + 2.(2.2 + 4) = 22 P = 3.(5.2 + 4) – 10.2 = 22 L = P

2) Řešte rovnice s neznámou x a proveďte zkoušku c) 8 - 3.(x + 2) = 17 - 3.(5x + 1) 8 - 3x - 6 = 17 - 15x - 3 /+15x - 2 -3x + 2 = -15x + 14 12x = 12 /:12 x = 1 Zk: L = 8 – 3.(1 + 2) = -1 P = 17 – 3.(5.1 + 1) = -1 L = P

2) Řešte rovnice s neznámou x a proveďte zkoušku d) 6 + 4.(x - 2) = 2.(3x + 1) – 4x 6 + 4x - 8 = 6x + 2 – 4x /-2x + 2 4x - 2 = 2x + 2 2x = 4 /:2 x = 2 Zk: L = 6 + 4.(2 - 2) = 6 P = 2.(3.2 + 1) – 4.2 = 6 L = P

2) Řešte rovnice s neznámou x a proveďte zkoušku e) 4x + 2.(3x - 1) = 3.(5x - 7) + 4 4x + 6x - 2 = 15x – 21 + 4 /-15x + 2 10x - 2 = 15x - 17 -5x = -15 /:(-5) x = 3 Zk: L = 4.3 + 2.(3.3 - 1) = 28 P = 3.(5.3 - 7) + 4 = 28 L = P

Rovnice se zlomky Př. / . 12 Zk. L = 3.4 4 −2=1 P = 4−1 3 =1 L = P Začneme tím, že odstraníme zlomek (zlomky) tedy vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem zlomku (společným násobkem jmenovatelů Př. 3x 4 −2= x−1 3 / . 12 Zk. L = 3.4 4 −2=1 12. 3x 4 −2 =12. x−1 3 P = 4−1 3 =1 3 4 12 1 . 3x 4 −12.2= 12 1 . x−1 3 L = P 9x - 24 = 4x - 4 / -4x +24 5x = 20 / :5 x = 4

3) Řešte rovnice se zlomky a proveďte zkoušku 2y 3 −1= y 2 / . 6 Zk. L = 2.6 3 −1=3 2 3 6 1 . 2y 3 −6.1= 6 1 . y 2 P = 6 2 =3 L = P 4y - 6 = 3y / -3y + 6 y = 6 b) 3y 5 = 2y 4 +2 / . 20 Zk. L = 3.20 5 =12 4 5 20 1 . 3y 5 = 20 1 . 2y 4 +20.2 P = 2.20 4 +2=12 L = P 12y = 10y + 40 / -10y 2y = 40 / :2 y = 20

3) Řešte rovnice se zlomky a proveďte zkoušku 3y 4 −1= y+4 2 / . 4 Zk. L = 3.12 4 −1=8 2 4 1 . 3y 4 −4.1= 4 1 . y+4 2 P = 12+4 2 =8 L = P 3y - 4 = 2y + 8 / -2y + 4 y = 12 d) 3y+1 4 = 4y−1 3 / . 12 Zk. L = 3.1+1 4 =1 3 4 12 1 . 3y+1 4 = 12 1 . 4y−1 3 P = 4.1−1 3 =1 L = P 9y + 3 = 16y - 4 / -16y - 3 -7y = -7 / :(-7) y = 1

3) Řešte rovnice se zlomky a proveďte zkoušku 5y 6 −1= 7y−3 9 / . 18 Zk. L = 5.12 6 −1= 9 3 2 18 1 . 5y 6 −18.1= 18 1 . 7y−3 9 P = 7.12−3 9 =9 L = P 15y - 18 = 14y - 6 / -14y + 18 y = 12 f) 3y−2 5 = 2y+1 3 −1 / . 15 Zk. L = 3.4−2 5 =2 3 5 15 1 . 3y−2 5 = 15 1 . 2y+1 3 −15.1 P = 2.4+1 3 −1=2 L = P 9y - 6 = 10y + 5 - 15 / -10y + 6 / .(-1) -y = -4 y = 4

3) Řešte rovnice se zlomky a proveďte zkoušku g) 1 7 . y−2 +1= 1 5 . y+1 / . 35 Zk. L = 1 7 . 9−2 +1=2 5 7 35 1 . 1 7 . y−2 +35.1= 35 1 . 1 5 . y+1 P = 1 5 . 9+1 =2 5y – 10 + 35 = 7y + 7 / -7y - 25 L = P -2y = 18 / :(-2) y = 9 h) 1 8 . y+5 +2= 1 6 . 5y+3 / . 24 Zk. L = 1 8 . 3+5 +2=3 3 4 24 1 . 1 8 . y+5 +24.2= 24 1 . 1 6 . 5y+3 P = 1 6 . 5.3+3 =3 3y + 15 + 48 = 20y + 12 / -20y - 63 L = P -17y = -51 / :(-17) y = 𝟑

4) Řešte rovnice se zlomky a proveďte zkoušku 3.(x−1) 4 = 2x+7 5 +1 / . 20 Zk. L = 3.(9−1) 4 =6 15x - 15 = 8x + 28 + 20 / -8x + 15 P = 2.9+7 5 +1=6 7x = 63 / :7 L = P x = 9 b) 2. 3x −4 = x+4 3 +x / . 3 Zk. L = 2.(3.2 – 4) = 4 6.(3x - 4) = x + 4 + 3x P = 2+4 3 +2=4 18x - 24 = 4x + 4 / -4x + 24 L = P 14x = 28 / :14 x = 2

4) Řešte rovnice se zlomky a proveďte zkoušku x 2 + x 3 + x 9 +1=x / . 18 Zk. L = 18 2 + 18 3 + 18 9 +1=18 9x + 6x + 2x + 18 = 18x / -18x - 18 P = 18 -x = -18 / .(-1) L = P x = 18 d) x 6 + x+3 9 =2.(x−5) / .18 Zk. L = 6 6 + 6+3 9 =2 3x + 2x + 6 = 36x – 180 / -36x - 6 P = 2.(6 - 5) = 2 -31x = -186 / :(-31) L = P x = 6

4) Řešte rovnice se zlomky a proveďte zkoušku x−1 2 + x 3 + x+1 4 =x / . 12 Zk. L = 3−1 2 + 3 3 + 3+1 4 =3 6x - 6 + 4x + 3x + 3 = 12x P = 3 13x - 3 = 12x / -12x + 3 L = P x = 3 f) x+2 5 +3. x−6 = x 2 +4.(x−7) Zk. L = 8+2 5 +3.(8−6)=8 / . 10 P = 8 2 +4.(8−7)=8 2x + 4 + 30x - 180 = 5x + 40x - 280 L = P 32x - 176 = 45x - 280 / -45x + 176 -13x = -104 / :(-13) x = 8

4) Řešte rovnice se zlomky a proveďte zkoušku g) x−4 3 + x−3 4 =2.(x−6) / . 12 Zk. L = 7−4 3 + 7−3 4 =2 4x - 16 + 3x - 9 = 24x - 144 P = 2.(7−6)=2 7x - 25 = 24x - 144 / -18x + 25 L = P -17x = -119 / :(-17) x = 7 h) x 2 −4. x−4 = x−1 5 −x / . 10 Zk. L = 6 2 −4. 6−4 =−5 5x - 40x + 160 = 2x - 2 - 10x P = 6−1 5 −6=−5 -35x + 160 = -8x - 2 / +8x - 160 L = P -27x = -162 / :(-27) x = 6

Počet řešení rovnic Při řešení rovnic mohou nastat 3 případy: 1) Rovnice má jedno řešení – jeden kořen x + 5 = 8 / -5 x = 3 2) Rovnice má nekonečně mnoho řešení – kořenem je každé reálné číslo 2x + 4 = 2.(x + 2) 2x + 4 = 2x + 4 / -2x -4 0x = 0 Ve zkoušce dosadíme za x libovolné číslo 3) Rovnice nemá řešení – kořen rovnice neexistuje 3x - 4 = 3x + 1 / -3x +4 0x = 5 Zkoušku neděláme

Ekvivalentní úpravy rovnic Shrňme si tedy na závěr ještě jednou všechny již známé ekvivalentní úpravy rovnic: 1. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže zaměníme levou a pravou stranu rovnice. 2. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo nebo mnohočlen. 3. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže od obou stran rovnice odečteme stejné číslo nebo mnohočlen. 4. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly). 5. Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vydělíme stejným číslem nebo mnohočlenem (různým od nuly).