Příklad 1: Výpočet π podle Archiméda N=4 α Úkol 1a: Odvoďte rekurentní relaci yk+1=f(yk) přímou aplikací vzorce pro sinus polovičního úhlu. Je výsledek vhodný pro numerický výpočet?
Výsledek: Úkol 1b: Naprogramujte výpočet posloupnosti yk pomocí: prvního vzorce (yk))– citlivého na ztrátu přesnosti druhého vzorce (yk’)– stabilního Vypište do souboru tabulku s řádky obsahující k,yk,yk’, pro k=1,2,3,… Pozorujte konvergenci čísel k číslu π a zdůvodněte (i kvantitativně) ztrátu přesnosti. Z tabulky odhadněte řád konvergence posloupnosti (lineární, kvadratická, kubická, …)
Zefektivnění vzorce:
Urychlení konvergence: Úkol 2a: Využijte odhadu chyby yk=π+c4-k k urychlení konvergence. Richardsonova extrapolace:
Zobecnění do vyšších řádů (Romberg): Úkol 2b: Naprogramujte výpočet posloupnosti yk≡yk(0) a z této posloupnosti vypočtěte zpřesněné hodnoty yk(m). Sestavte hodnoty do následující tabulky (Rombergovo schéma) y1(0) y2(0) y2(1) y3(0) y3(1) y3(2) y4(0) y4(1) y4(2) y4(3) … Pozorujte urychlení konvergence