Množina bodů dané vlastnosti Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dané přímky. Autor obrázků © Mgr. Radomír Macháň

Množina bodů dané vlastnosti Budeme se zabývat množinami (skupinami) bodů, které spojuje nějaká společná vlastnost. Tato vlastnost je pro všechny body této množiny (skupiny) charakteristická a body, které tuto vlastnost nemají, do této množiny (skupiny) nepatří.

Množina bodů dané vlastnosti Množinou M všech bodů dané vlastnosti V rozumíme takový geometrický útvar G, jehož všechny body splňují následující dvě podmínky: 1) Každý bod útvaru G má danou vlastnost V. 2) A obráceně, každý bod, který má danou vlastnost V, je bodem útvaru G. Co říkáte? Že tomu nerozumíte? Ano. Vypadá to složitě jako většina nejen matematických definicí. Ve skutečnosti v tom však nic složitého hledat nemusíte. Však uvidíte sami na konkrétních základních množinách bodů dané vlastnosti, o nichž se postupně budeme učit.

Množina bodů dané vlastnosti Pokusíme si však problematiku množin bodů dané vlastnosti nejprve osvětlit na příkladu, který s geometrií vůbec nesouvisí.

Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech celých čísel. Tzn. že máme čísla: … -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … Př. 1: Zapište množinu (skupinu) všech nezáporných celých čísel. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují danou podmínku: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících jednu zadanou podmínku (majících danou vlastnost): jsou nezáporná.

Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech množinu (skupinu) všech nezáporných celých čísel. Tzn. že máme čísla: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech celých kladných čísel. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují danou podmínku: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících jednu zadanou podmínku (majících danou vlastnost): jsou kladná.

Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu (skupinu) všech celých kladných čísel. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech celých kladných čísel menších než devět. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují dané podmínky: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících dvě zadané podmínky (mající dvě dané vlastnosti): 1) jsou kladná 2) jsou menší než 9.

Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu (skupinu) všech celých kladných čísel menších než devět. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech celých sudých kladných čísel menších než devět. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují dané podmínky: 2, 4, 6, 8 Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících tři zadané podmínky (mající tři dané vlastnosti): 1) jsou kladná 2) jsou menší než 9 3) jsou sudá. Pokud byste si to už nepamatovali, jsou to čísla, která jsou dělitelná beze zbytku číslem 2.

Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech celých sudých kladných čísel menších než devět. Tzn. že máme čísla: 2, 4, 6, 8 Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech celých sudých kladných čísel menších než devět, která jsou prvočísly. Máme tedy vypsat jen ta celá čísla, která splňují dané podmínky: 2 Vypsali jsme množinu všech celých čísel splňujících čtyři zadané podmínky (mající čtyři dané vlastnosti): 1) jsou kladná 2) jsou menší než 9 3) jsou sudá 4) jsou prvočísla. Čísla dělitelná beze zbytku jen jedničkou a samy sebou.

Množina bodů dané vlastnosti Doufám, že už jste pojem množina prvků (čísel) dané vlastnosti dostatečně dobře pochopili, a proto již přejdeme ke konkrétním v geometrii nejčastěji používaným množinám bodů dané vlastnosti.

Množina bodů dané vlastnosti Tak nejprve k čemu nám znalost množin bodů dané vlastnosti bude. Při řešení konstrukčních úloh vždy hledáme dvě i více množin, z nichž každá je množinou všech bodů jisté vlastnosti požadované v zadání úlohy, a každý společný bod (průnik) hledaných množin pak vede k řešení úlohy samotné.

Množina bodů dané vlastnosti Tak, a teď už se zamyslete nad následující otázkou. Co je množinou všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dané přímky?

Množina bodů dané vlastnosti Nejdřív bude asi dobré si připomenout, co nazýváme vzdáleností bodu od dané přímky.

Množina bodů dané vlastnosti Mějme přímku p a bod A, který na ní neleží? Na přímce zvolíme body B, C, E. Které vzdálenosti říkáme vzdálenost bodu A od přímky p? |AE| Správně. Žádné. |AC| Slovem vzdálenost obvykle myslíme nejmenší délku, vzdálenost měřenou na kolmici. |AB| Vzdáleností bodu A od přímky p je tedy vzdálenost |AD|. Vzdálenost bodu od přímky je tedy kolmá, tj. nejkratší (nejmenší) vzdálenost bodu a přímky.

Množina bodů dané vlastnosti Narýsujme si více takových bodů, které mají stejnou kolmou vzdálenost od přímky p jako bod A. Kolik takových bodů je možné narýsovat? Ano, nepočítaně. Matematik by řekl nekonečně mnoho.  Když všechny body, které mají od přímky p stejnou vzdálenost spojíme, co dostaneme? Je to přímka, např. q. Jakou vlastnost má tato přímka q vzhledem k zadané přímce p? Je s ní rovnoběžná.

Množina bodů dané vlastnosti Vraťme se ještě jednou o pár kroků zpět. Našli byste ještě nějaké další body, které mají od přímky p stejnou vzdálenost jako bod A a tedy, jak již víme, také všechny body tvořící přímku q? Dalších nekonečně mnoho bodů, které mají stejnou vlastnost a které společně opět vytvoří další přímku (rovnoběžku) s přímkou p leží i na druhé straně od přímky p (v druhé polorovině vymezené přímkou p).

Množina bodů dané vlastnosti Ověříme si ještě jednou, že body na rovnoběžkách q a r mají od přímky p stejnou vzdálenost. Jelikož jde o kolmou vzdálenost, sestrojíme si několik kolmic a změříme vzdálenosti průsečíků.

Množina bodů dané vlastnosti Co je tedy množinou všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dané přímky? d d Množinou všech bodů, které mají od dané přímky p stejnou vzdálenost d cm, jsou dvě rovnoběžky q, r vzdálené o d cm od dané přímky p.

Konstrukce rovnoběžky - opakování Rovnoběžku lze nejsnadněji narýsovat pomocí trojúhelníku s ryskou a to tak, že se ryska přiloží na danou přímku a podle hrany trojúhelníku narýsujeme pomocnou kolmici k této přímce. Celý postup pak zopakujeme ještě jednou, ale tentokrát rýsujeme kolmici k pomocné kolmici. Druhá narýsovaná kolmice je rovnoběžkou k původní přímce. q p p  q

Konstrukce rovnoběžky procházející daným bodem mimo přímku I tentokrát lze nejsnadněji rovnoběžku narýsovat pomocí trojúhelníku s ryskou a to tak, že se ryska přiloží na přímku a podle hrany trojúhelníku narýsujeme pomocnou kolmici a k této pomocné kolmici pak další kolmici procházející již daným bodem A. q p A q  p A  q

Pár příkladů k procvičení Sestrojte množinu všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od přímky p jako body: 1) A; 2) B; 3) C

Pár příkladů k procvičení Sestrojte množinu všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od přímky p jako body: 1) A; 2) B; 3) C K sestrojení bodu A1 využijeme středové souměrnosti.

Pár příkladů k procvičení Sestrojte množinu všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od přímky p jako body: 1) A; 2) B; 3) C

Pár příkladů k procvičení Sestrojte množinu všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od přímky p jako body: 1) A; 2) B; 3) C

Užití „množin bodů“ v konstrukčních úlohách. Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém c = 8 cm, vc = 4 cm, b = 5 cm. Náčrt: vc c

Náčrt a rozbor: Úloha má 2 řešení Začneme zadanou stranou, v tomto případě stranou c. Následuje použití zadané výšky – sestrojíme množinu bodů, které mají od strany c vzdálenost danou velikostí výšky vc, tj. 4 cm – rovnoběžku se stranou c. Jako poslední použijeme ze zadání stranu b – sestrojíme množinu všech bodů, které mají od vrcholu A vzdálenost danou stranou b, tj. 5 cm – kružnici k(A;5 cm). Úloha má 2 řešení k C´ C q p

Zápis a konstrukce: 4. C, C´; C, C´ q  k 1. AB; AB = c = 8 cm 2. q; qAB, q,AB = vc = 4 cm 5. Trojúhelník ABC; ABC´ 3. k; k(A; b = 5 cm) k C´ C q p A B

Výsledný trojúhelník: Úloha má dvě řešení. (v polorovině určené úsečkou AB a bodem C) Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání a trojúhelníky vytáhneme silněji. A takto vypadá celá konstrukce.

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 1 Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, jestliže: |AB| = 5 cm, a = 8 cm ,va = 6 cm

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 2 Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, jestliže: c = 7 cm, vc = 3 cm,  = 120°

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 3 Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, jestliže: a = 65 mm, b = 55 mm ,va = 4 cm

Tak přesnou ruku při rýsování!