Kruh a kružnice Základní názvosloví Středová a osová souměrnost Vzájemná poloha bodu a kružnice Vzájemná poloha přímky a kružnice Vzájemná poloha dvou kružnic Thaletova kružnice Užití Thaletovy kružnice Délka kružnice, obvod kruhu Obsah kruhu Souhrnná cvičení Autor materiálu: Mgr. Martin Holý Další šíření materiálu je možné pouze se souhlasem autora

Základní názvosloví menu A r S k A r S K S … střed kružnice r … poloměr kružnice (r > 0) k(S;r) … kružnice k se středem v bodě S a poloměrem r S Kružnici k(S;r) tvoří všechny takové body A, pro které platí k IASI = r A S … střed kruhu r r … poloměr kruhu (r > 0) K(S;r) … kruh K se středem v bodě S a poloměrem r S Kruh K(S;r) tvoří všechny takové body A, pro které platí K IASI ≤ r

Základní názvosloví menu r… poloměr kružnice (kruhu) r d d (AB) … průměr kružnice (kruhu) A B S IABI = 2 . ISBI k d = 2 . r

Středová souměrnost Osová souměrnost Středová a osová souměrnost menu Kružnice je středově souměrná a středem souměrnosti je střed kružnice S k Osová souměrnost Kružnice je osově souměrná a osou souměrnosti je každá přímka procházející středem kružnice S k

Vzájemná poloha přímky a kružnice menu je dána počtem společných bodů 1) žádný společný bod 2) 1 společný bod 3) 2 společné body S S S k k X k t Y T s p s…sečna p … vnější přímka t…tečna T ... bod dotyku XY…tětiva

1) Ke kružnici k sestrojte: a) sečnu s b) vnější přímku v c) tečnu t Vzájemná poloha přímky a kružnice menu 1) Ke kružnici k sestrojte: a) sečnu s b) vnější přímku v c) tečnu t d) tětivu MN e) průměr AB t T N M v A S B s k

Thaletova kružnice menu C A B S k Pro libovolný trojúhelník ABC platí: jestliže je ABC pravoúhlý trojúhelník s přeponou AB, leží vrchol C na kružnici k s průměrem AB jestliže vrchol C leží na kružnici k s průměrem AB, je ABC pravoúhlý trojúhelník s přeponou AB C Kružnice k se nazývá Thaletova kružnice s průměrem AB A B S k

β = 550 Thaletova kružnice menu β 350 S k 2) Jaká bude velikost úhlu β vyznačeného na obrázku β 350 S k β = 550

o = π.d = 2.π.r Př. Vypočítejte délku kružnice s poloměrem 5 cm. Délka kružnice a obvod kruhu menu d … průměr kružnice (kruhu) r … poloměr kružnice (kruhu) o = π.d = 2.π.r π = 3,14 … Ludolphovo číslo Př. Vypočítejte délku kružnice s poloměrem 5 cm. kružnice r = 5 cm π = 3,14 o = ? cm o = 2.π.r o = 2 . 3,14 . 5 o = 31,4 cm Délka kružnice je přibližně 31,4 cm

o = π.d = 2.π.r kruh r = 3,5 cm π = 3,14 o = ? cm o = 2.π.r Délka kružnice a obvod kruhu menu d … průměr kružnice (kruhu) r … poloměr kružnice (kruhu) o = π.d = 2.π.r π = 3,14 … Ludolphovo číslo 3) Vypočítej obvod kruhu s poloměrem 3,5 cm. kruh r = 3,5 cm π = 3,14 o = ? cm o = 2.π.r o = 2 . 3,14 . 3,5 o = 21,98 cm Obvod kruhu je přibližně 21,98 cm-

o = π.d = 2.π.r kružnice d = 6 cm π = 3,14 o = ? cm o = π.d Délka kružnice a obvod kruhu menu d … průměr kružnice (kruhu) r … poloměr kružnice (kruhu) o = π.d = 2.π.r π = 3,14 … Ludolphovo číslo 4) Vypočítej délku kružnice vepsané do čtverce se stranou 6 cm kružnice d = 6 cm π = 3,14 o = ? cm d = 6 cm o = π.d o = 3,14 . 6 6 cm o = 18,84 cm Délka kružnice je přibližně 18,84 cm.

o = π.d = 2.π.r kruh d = 0,8 m π = 3,14 o = ? m o = π.d o = 3,14 . 0,8 Délka kružnice a obvod kruhu menu d … průměr kružnice (kruhu) r … poloměr kružnice (kruhu) o = π.d = 2.π.r π = 3,14 … Ludolphovo číslo 5) Vypočítej obvod kruhu s průměrem 0,8 m. kruh d = 0,8 m π = 3,14 o = ? m o = π.d o = 3,14 . 0,8 o = 2,512 m Obvod kruhu je přibližně 2,5 m.

o = π.d = 2.π.r kružnice d = 70 cm π = 3,14 o1 = ? cm o100 = 100 . o1 Délka kružnice a obvod kruhu menu d … průměr kružnice (kruhu) r … poloměr kružnice (kruhu) o = π.d = 2.π.r π = 3,14 … Ludolphovo číslo 6) Kolo má průměr 70 cm. Jakou vzdálenost v metrech urazíme, jestliže se kolo otočí 100x? kružnice d = 70 cm π = 3,14 o1 = ? cm o100 = ? cm o100 = 100 . o1 o100 = 100 . 219,8 o1 = π.d o100 = 21980 cm = 220 m o1 = 3,14 . 70 Při 100 otáčkách kola urazíme přibližně 220 m. o1 = 219,8 cm

Délka kružnice a obvod kruhu menu 7) Vypočítejte obvod obrazců ve čtvercové síti (čtverce mají stranu 1 cm) a) b) b) d) a o = 2 + ok o = 6 + ok/2 ok/2 = 2.π.r /2 o = 2 + 6,28 o = 6 + 3,14 ok/2 = 2.3,14.1/2 o = 8,28 cm o = 9,14 cm ok/2 = 3,14 cm ok = 2.π.r ok = 2 . 3,14 . 1 ok = 6,28 cm

S = π . r2 = π . d 2 2 Př. Vypočítejte obsah kruhu poloměrem 10 cm. menu d … průměr kružnice (kruhu) r … poloměr kružnice (kruhu) S = π . r2 = π . d 2 2 π = 3,14 … Ludolphovo číslo Př. Vypočítejte obsah kruhu poloměrem 10 cm. kruh r = 10 cm π = 3,14 S = ? cm2 S = π . r2 S = 3,14 . 102 S = 314 cm2 Obsah kruhu je přibližně 314 cm2.

S = π . r2 = π . d 2 2 8) Vypočítejte obsah kruhu s poloměrem 4 cm menu d … průměr kružnice (kruhu) r … poloměr kružnice (kruhu) S = π . r2 = π . d 2 2 π = 3,14 … Ludolphovo číslo 8) Vypočítejte obsah kruhu s poloměrem 4 cm kruh r = 4 cm π = 3,14 S = ? cm2 S = π . r2 S = 3,14 . 42 S = 50,24 cm2

S = π . r2 = π . d 2 2 9) Vypočítejte obsah kruhu s průměrem 0,6 m menu d … průměr kružnice (kruhu) r … poloměr kružnice (kruhu) S = π . r2 = π . d 2 2 π = 3,14 … Ludolphovo číslo 9) Vypočítejte obsah kruhu s průměrem 0,6 m kruh d = 0,6 m π = 3,14 S = ? m2 S = π . (d/2)2 S = 3,14 . 0,32 S = 0,28 m2

Obsah kruhu menu d … průměr kružnice (kruhu) r … poloměr kružnice (kruhu) S = π . r2 = π . d 2 2 π = 3,14 … Ludolphovo číslo 10) Vypočítejte obsah kruhu, do kterého je vepsán čtverec se stranou 10 cm d 2 = 10 2 + 10 2 S = π . (d/2)2 d 2 =100+100 S = 3,14 . 72 d 10 cm d= 200 S = 153,9 cm2 S = ? 𝐝= 14 cm 10 cm Obsah kruhu je přibližně 153,9 cm2.

Obsah kruhu menu 11) Vypočítejte obsah obrazce ve čtvercové síti (čtverce mají stranu 1 cm) S = 4 + Sk S = 4 + 3,14 S = 7,14 cm2 Sk = π.r 2 Sk = 3,14 . 12 Sk = 3,14 cm2

12) Vypočítejte obsah obrazců ve čtverci se stranou 10 cm Obsah kruhu menu 12) Vypočítejte obsah obrazců ve čtverci se stranou 10 cm S = 102 - Sk S = 100 - 78,5 S = 21,5 cm2 Sk = π.r 2 Sk = 3,14 . 52 Sk = 78,5 cm2