Lomené výrazy (2) Podmínky řešitelnost * 16. 7. 1996 Lomené výrazy (2) Podmínky řešitelnost Matematika – 9. ročník *

Lomené výrazy 𝟓 𝒙 𝟓−𝒙 𝒙−𝟐 𝟐 𝟐𝒙−𝟓 𝟑𝒂𝒃 𝒂𝒃−𝒃 𝒚 𝟐 − 𝒙 𝟐 𝟑𝒙−𝟐𝒚 𝟐𝒙−𝟓𝒚 𝟑𝒙𝒚 Algebraické výrazy, které jsou zapsány ve tvaru zlomku. 𝟓 𝒙 𝟓−𝒙 𝒙−𝟐 𝟐 𝟐𝒙−𝟓 𝟑𝒂𝒃 𝒂𝒃−𝒃 𝒚 𝟐 − 𝒙 𝟐 𝟑𝒙−𝟐𝒚 𝟐𝒙−𝟓𝒚 𝟑𝒙𝒚 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟒 𝒙−𝟔 𝒓+𝒔 𝒓𝒔 Lomené výrazy jsou výrazy zapsané ve tvaru zlomku, v jehož jmenovateli se vyskytuje proměnná.

Lomené výrazy S lomenými výrazy počítáme obdobně jako se zlomky. Jmenovatel žádného zlomku nesmí být roven nule => Totéž platí i pro lomené výrazy. Je nutné vždy vyloučit ty hodnoty jednotlivých proměnných, po jejichž dosazení by byl jmenovatel roven nule. Říkáme, že určujeme podmínky, pro které má lomený výraz smysl. 𝟓 𝒙 𝒙≠𝟎 𝟕 𝟐𝒙 𝟐𝒙≠𝟎⇒𝒙≠𝟎 𝟗 𝒙−𝟐 𝒙−𝟐≠𝟎⇒𝒙≠𝟐

Lomené výrazy Pro které hodnoty x není daný výraz roven nule? 𝒙−𝟐 𝟓−𝒙 𝟑+𝒙 𝒙+𝟕 𝒙≠𝟐 𝒙≠𝟓 𝒙≠−𝟑 𝒙≠−𝟕 Pro které hodnoty x je daný výraz roven nule? 𝟐𝒙−𝟔 𝟗𝒙+𝟕 𝟕−𝟓𝒙 Hledáme kořeny rovnice: 𝟐𝒙−𝟔=𝟎 𝟕−𝟓𝒙=𝟎 𝟗𝒙+𝟕=𝟎 𝟐𝒙=𝟔 𝒙= 𝟕 𝟓 𝒙=− 𝟕 𝟗 𝒙=𝟑

Lomené výrazy Kdy má lomený výraz smysl? 𝒙 𝟐𝒙−𝟔 𝟐𝒙−𝟔≠𝟎 𝟐𝒙≠𝟔 𝒙≠𝟔 :𝟐 𝒙≠𝟑 Výraz má smysl, když se 𝒙≠𝟑. Výraz má tedy smysl pro všechna reálná čísla 𝒙, kromě čísla 𝟑.

Lomené výrazy Kdy má lomený výraz smysl? 𝒙 𝟐𝒙+𝟔 𝟐𝒙+𝟔≠𝟎 𝟐𝒙≠−𝟔 𝒙≠−𝟔 :𝟐 𝒙≠−𝟑 Výraz má smysl, když se 𝒙≠−𝟑. Výraz má tedy smysl pro všechna reálná čísla 𝒙, kromě čísla −𝟑.

Lomené výrazy Kdy má lomený výraz smysl? 𝒙−𝒚 𝟓𝒙−𝟑 𝟓𝒙−𝟑≠𝟎 𝟓𝒙≠𝟑 𝒙≠ 𝟑 𝟓 Výraz má smysl, když se 𝒙≠ 𝟑 𝟓 . Výraz má smysl pro všechna reálná čísla 𝒙, kromě čísla 𝟑 𝟓 .

Lomené výrazy 𝒙−𝟒 𝟓+𝒙 𝒙−𝟒 𝟓+𝒙 =𝟎 𝟓𝒙+ 𝒙 𝟐 −𝟐𝟎−𝟒𝒙=𝟎 𝒙 𝟐 +𝒙−𝟐𝟎=𝟎 𝒙−𝟒=𝟎 Pro které hodnoty x je daný výraz roven nule? 𝒙−𝟒 𝟓+𝒙 Kdy je součin roven nule. Součin je roven nule za podmínky, že alespoň jeden z činitelů je roven nule. Hledáme kořeny rovnice: 𝒙−𝟒 𝟓+𝒙 =𝟎 Užití: 𝟓𝒙+ 𝒙 𝟐 −𝟐𝟎−𝟒𝒙=𝟎 𝒙 𝟐 +𝒙−𝟐𝟎=𝟎 𝒙−𝟒=𝟎 nebo 𝟓+𝒙=𝟎 𝒙=𝟒 𝒙=−𝟓 Kvadratická rovnice => => zatím řešit neumíte. nebo

Lomené výrazy 𝟗 𝒙 𝟐 −𝟏𝟔 𝟗 𝒙 𝟐 −𝟏𝟔 𝟑𝒙−𝟒 𝟑𝒙+𝟒 ≠𝟎 𝟑𝒙−𝟒≠𝟎 𝟑𝒙+𝟒≠𝟎 𝒙≠ 𝟒 𝟑 Pro které hodnoty x není daný výraz roven nule? 𝟗 𝒙 𝟐 −𝟏𝟔 Rozlož mnohočlen na součin. 𝟗 𝒙 𝟐 −𝟏𝟔 𝟑𝒙−𝟒 𝟑𝒙+𝟒 ≠𝟎 𝟑𝒙−𝟒≠𝟎 a zároveň 𝟑𝒙+𝟒≠𝟎 𝒙≠ 𝟒 𝟑 𝒙≠− 𝟒 𝟑 a zároveň 𝒙≠± 𝟒 𝟑

Lomené výrazy 𝟐𝟓−𝟐𝟎𝒙+𝟒 𝒙 𝟐 𝟓−𝟐𝒙 𝟐 ≠𝟎 𝟓−𝟐𝒙≠𝟎 𝒙≠ 𝟓 𝟐 Pro které hodnoty x není daný výraz roven nule? Rozlož mnohočlen na součin. 𝟐𝟓−𝟐𝟎𝒙+𝟒 𝒙 𝟐 𝟓−𝟐𝒙 𝟐 ≠𝟎 𝟓−𝟐𝒙≠𝟎 𝒙≠ 𝟓 𝟐

Lomené výrazy 𝟑 𝒙 𝟐 −𝟏𝟐𝒙 𝟑𝒙 𝒙−𝟒 ≠𝟎 𝟑𝒙≠𝟎 𝒙−𝟒≠𝟎 𝒙≠𝟎 𝒙≠𝟒 Pro které hodnoty x není daný výraz roven nule? 𝟑 𝒙 𝟐 −𝟏𝟐𝒙 Rozlož mnohočlen na součin. 𝟑𝒙 𝒙−𝟒 ≠𝟎 𝟑𝒙≠𝟎 𝒙−𝟒≠𝟎 a zároveň 𝒙≠𝟎 𝒙≠𝟒 a zároveň

Lomené výrazy Kdy má lomený výraz smysl? 𝒙 𝒙 𝟐 −𝟒 𝒙 𝟐 −𝟒≠𝟎 𝒙 𝟐 −𝟒≠𝟎 𝒙 𝒙 𝟐 −𝟒 𝒙 𝟐 −𝟒≠𝟎 nebo (lépe) 𝒙 𝟐 −𝟒≠𝟎 𝒙 𝟐 ≠𝟒 𝒙−𝟐 𝒙+𝟐 ≠𝟎 𝒙≠ 𝟒 𝒙−𝟐≠𝟎 𝒙+𝟐≠𝟎 𝒙≠±𝟐 𝒙≠𝟐 𝒙≠−𝟐 Výraz má smysl, když 𝒙≠𝟐 a 𝒙≠−𝟐. Výraz má tedy smysl pro všechna reálná čísla 𝒙, kromě čísel 𝟐 a −𝟐. 𝒙≠±𝟐

Lomené výrazy Kdy má lomený výraz smysl? 𝒙 𝒙 𝟐 +𝟒 𝒙 𝟐 +𝟒≠𝟎 𝒙 𝟐 ≠−𝟒 𝒙 𝒙 𝟐 +𝟒 𝒙 𝟐 +𝟒≠𝟎 𝒙 𝟐 ≠−𝟒 𝒙 𝟐 >−𝟒 Výraz má smysl pro všechna reálná čísla. Nemůže nastat případ, že by druhá mocnina byla záporným číslem.

Lomené výrazy 𝟐𝒙+𝒚 𝟐𝒙+𝒚≠𝟎 𝒚≠−𝟐𝒙 𝟐𝒙≠−𝒚 𝒙≠− 𝒚 𝟐 Pro které hodnoty y a x není daný výraz roven nule? 𝟐𝒙+𝒚 𝟐𝒙+𝒚≠𝟎 Vyjádříme závislost jedné proměnné na druhé. 𝒚≠−𝟐𝒙 nebo 𝟐𝒙≠−𝒚 𝒙≠− 𝒚 𝟐

Lomené výrazy 𝟑𝒙−𝟐𝒚 𝟑𝒙−𝟐𝒚≠𝟎 −𝟐𝒚≠−𝟑𝒙 𝟑𝒙≠𝟐𝒚 𝒚≠ 𝟑 𝟐 𝒙 𝒙≠ 𝟐 𝟑 𝒚 Pro které hodnoty y a x není daný výraz roven nule? 𝟑𝒙−𝟐𝒚 𝟑𝒙−𝟐𝒚≠𝟎 Vyjádříme závislost jedné proměnné na druhé. −𝟐𝒚≠−𝟑𝒙 nebo 𝟑𝒙≠𝟐𝒚 𝒚≠ 𝟑 𝟐 𝒙 𝒙≠ 𝟐 𝟑 𝒚

To znamená, kdyby například 𝒚≠𝟓 , 𝒙≠±𝟓 , nebo 𝒚≠−𝟐 , 𝒙≠±𝟓 a podobně. Lomené výrazy Kdy má lomený výraz smysl? 𝒙 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐 ≠𝟎 𝒙−𝒚 𝒙+𝒚 ≠𝟎 Součin dvou výrazů není roven nule, pokud ani jeden z výrazů není roven nule. 𝒙−𝒚≠𝟎 𝒙+𝒚≠𝟎 𝒙≠𝒚 𝒙≠−𝒚 Výraz má smysl, když se 𝒙≠𝒚 , 𝒙≠−𝒚. To znamená, kdyby například 𝒚≠𝟓 , 𝒙≠±𝟓 , nebo 𝒚≠−𝟐 , 𝒙≠±𝟓 a podobně.

Lomené výrazy Kdy má lomený výraz smysl? 𝒙 𝟗𝒙 𝟐 −𝟒 𝒚 𝟐 𝟗𝒙 𝟐 −𝟒 𝒚 𝟐 ≠𝟎 𝒙 𝟗𝒙 𝟐 −𝟒 𝒚 𝟐 𝟗𝒙 𝟐 −𝟒 𝒚 𝟐 ≠𝟎 𝟑𝒙−𝟐𝒚 𝟑𝒙+𝟐𝒚 ≠𝟎 Součin dvou výrazů není roven nule, pokud ani jeden z výrazů není roven nule. 𝟑𝒙−𝟐𝒚≠𝟎 𝟑𝒙+𝟐𝒚≠𝟎 𝒙≠ 𝟐 𝟑 𝒚 𝒙≠− 𝟐 𝟑 𝒚 Výraz má smysl pro 𝒙≠ 𝟐 𝟑 𝒚 𝐧𝐞𝐛𝐨 𝒙≠− 𝟐 𝟑 𝒚.

Lomené výrazy Kdy má lomený výraz smysl? 𝒚 𝟏𝟖𝒙−𝟐𝒙 𝒚 𝟐 𝟏𝟖𝒙−𝟐𝒙 𝒚 𝟐 ≠𝟎 𝟐𝒙 𝟗− 𝒚 𝟐 ≠𝟎 𝟐𝒙 𝟑−𝒚 𝟑+𝒚 ≠𝟎 Součin výrazů není roven nule, pokud ani jeden z výrazů není roven nule. 𝟐𝒙≠𝟎 𝟑−𝒚≠𝟎 𝟑+𝒚≠𝟎 𝒙≠𝟎 𝒚≠𝟑 𝒚≠−𝟑 Výraz má smysl pro 𝒙≠𝟎 𝐧𝐞𝐛𝐨 𝒚≠𝟑 𝐧𝐞𝐛𝐨 𝒚≠−𝟑.

Lomené výrazy Pozor na formulaci otázky! 𝒙−𝟓 𝟐 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙 𝟐𝒙 𝟐 −𝟒𝒙=𝟎 Příklad č. 1: Určete, pro která reálná čísla x nemá výraz smysl. 𝒙−𝟓 𝟐 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙 𝟐𝒙 𝟐 −𝟒𝒙=𝟎 𝟐𝒙 𝒙−𝟐 =𝟎 𝟐𝒙=𝟎 𝒙−𝟐=𝟎 𝒙=𝟎 𝒙=𝟐 Výraz nemá smysl pro 𝒙=𝟎 nebo 𝒙=𝟐 . Příklad č. 2: Určete, pro která reálná čísla x má výraz smysl. Řešení by bylo stejné, ale odpověď jiná. Výraz má smysl pro 𝒙≠𝟎 nebo 𝒙≠𝟐 .

Lomené výrazy Pozor na formulaci otázky! 𝒙−𝟓 𝒙−𝟐 𝒙−𝟐≠𝟎 𝒙≠𝟐 𝒙−𝟓=𝟎 𝒙=𝟓 Příklad č. 3: Určete, pro která reálná čísla x se výraz rovná nule. I zde musíme zjistit, kdy má výraz smysl! 𝒙−𝟓 𝒙−𝟐 𝒙−𝟐≠𝟎 𝒙≠𝟐 Kdy se zlomek rovná nule? Když se nule rovná čitatel! 𝒙−𝟓=𝟎 𝒙=𝟓 Výraz se rovná nule pro 𝒙=𝟓.

Lomené výrazy Pozor na formulaci otázky! 𝟑 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙 𝒙−𝟐 𝒙−𝟐≠𝟎 𝒙≠𝟐 Příklad č. 3a: Určete, pro která reálná čísla x se výraz rovná nule. Proč i zde musíme zjistit, kdy má výraz smysl? 𝟑 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙 𝒙−𝟐 𝒙−𝟐≠𝟎 𝒙≠𝟐 Opět platí, že výraz je roven nule, pokud se nule bude rovnat čitatel. 𝟑 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙=𝟎 Mělo by platit, že nule se rovná výraz pokud 𝒙=𝟎 nebo 𝒙=𝟐 . Číslo 𝟐 je však v rozporu s úvodní podmínkou. Číslo 𝟐 tedy řešením být nemůže, což znamená, že výraz je roven nule jen pro 𝒙=𝟎 ! 𝟑𝒙 𝒙−𝟐 =𝟎 𝒙−𝟐=𝟎 𝒙=𝟎 𝒙=𝟐

Lomené výrazy Určete, kdy dané výrazy mají (nemají) smysl: 𝟓−𝒙 𝒙 𝒓 𝒓 𝟐 −𝟑𝟔 𝒙≠𝟎 𝒓≠±𝟔 𝒚 𝟐−𝒚 𝒙 𝟐 +𝟒 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟒 𝒚≠𝟐 𝒙≠𝟐 𝒙−𝟕 𝟐𝒙 −𝟓 𝟐𝒂𝒃 𝟑𝒓 𝒔 𝟐 − 𝒓 𝟐 𝒔 𝒙≠𝟐,𝟓 𝒓≠𝟎;𝒔≠𝟎;𝒓≠𝟑𝒔 𝟓+𝒂 𝟑𝒂−𝟔 𝒂 𝟐 𝟑 𝒂 𝟐 −𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝒃 𝟐 −𝟐𝟕 𝒃≠± 𝟑 𝟐 𝒂≠𝟎; 𝒂≠𝟎,𝟓

Lomené výrazy Určete, kdy se dané výrazy rovnají nule: 𝟓−𝒙 𝒙 𝒓 𝒓 𝟐 −𝟑𝟔 𝒓 𝒓 𝟐 −𝟑𝟔 𝒙=𝟓 𝒓=𝟎 𝒚 𝟐−𝒚 𝒙 𝟐 +𝟒 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟒 𝒚=𝟎 𝒙∈𝑹 𝒙−𝟕 𝟐𝒙 −𝟓 𝟐𝒂𝒃 𝟑𝒓 𝒔 𝟐 − 𝒓 𝟐 𝒔 𝒙=𝟕 𝒂=𝟎;𝒃=𝟎 𝟓+𝒂 𝟑𝒂−𝟔 𝒂 𝟐 𝟑 𝒂 𝟐 −𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝒃 𝟐 −𝟐𝟕 𝒂=−𝟓 𝒂≠±𝟐